廣州**中2012～2013學年度上學期高三月考
數學（理）試題
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）
1．設是集合a到集合b的對映，如果，那麼等於（ ）
a． b． c．或 d．或
2．已知向量，則（ ）
a．20 b．40 c． d．
3．函式的圖象（ ）
a．關於y軸對稱 b．關於直線對稱
c．關於原點對稱 d．關於直線對稱
4．在中，已知且，則（ ）
a． b． c． d．
5．已知等差數列的公差，若，則該數列的前n項和的最大值為（ ）
a．50 b．45 c．40 d．35
6．已知且，則是的（ ）
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
7．不等式的解集為（ ）
a． b．
c． d．
8．若o是在所在平面內一點，且滿足，則的形狀為（ ）
a．等腰直角三角形 b．直角三角形 c．等腰三角形 d．等邊三角形
9．已知，直線與直線互相垂直，則ab的最小值等於（ ）
a．1 b．2 c． d．
10．已知函式（m為常數）的圖象上p點處的切線與直線的夾角為，則點p的橫座標為（ ）
a．0 b．1 c．0或 d．1或
11．已知函式，則的大小關係是（ ）
a． b． c． d．
12．已知定義在r上的函式滿足：①是偶函式；②成立；③當時有，則（ ）
a．函式在上為增函式，在上為減函式
b．函式在上為增函式
c．方程在上有6個不相等的實根
d．方程在有4個不等的實根
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．不等式的解集為
14．已知函式，則滿足不等式的x的取值範圍是 。
15．已知三條直線，直線與直線不構成三角形，則a的值是
16．若函式在處連續，則的值為
三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程）
17．（10分）已知三個內角的對邊分別為，且。
⑴求的度數；
⑵若，求的面積。
18．（12分）如圖所示，學校有一塊形狀為邊長是2的等邊的地，現將其修成草坪，圖中de把草坪分成面積相等的兩個部分，d在ab上，e在ac上。
⑴設，求用x表示y的函式關係式；
⑵如果de是灌溉水管，為節約成本，希望它最短，則de的位置應該在哪？如果de是師生課餘散步路線，並希望它最長，de的位置又應該在哪？請給出你的結論，並予以證明。
19．（12分）解不等式。
20．（12分）已知直線，圓，在圓c上存在兩點p、q，使點p、q關於l成軸對稱，且（o為座標原點）。
⑴求m的值；
⑵求直線pq的方程。
21．（12分）已知數列為其前n項之和，且滿足，數列滿足
。⑴求數列的通項公式；
⑵證明數列不是等比數列；
⑶設，求數列的最小項的值。
22．（12分）已知函式時（為實常數）。
⑴若在上是單調函式，求的取值範圍；
⑵當時，求的最小值；
⑶設各項為正的無窮數列滿足，證明：。
高三第四次月考數學（理）答題卷
一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）
二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）
13141516
三、解答題（共6小題，第17小題10分，第18 ~22題每題12分，共70分）
17.18．
19.20.
21.22.
高三月考（四）數學（理）試題參***
1．d 解析：由題意得，集合a中與1對應的元素可能是1或，與2對應的元素可能是或，所以，集合a與集合b至多有公共元素1，或。
2．c 解析：
。3．c 解析：依題意，即，所以函式的定義域為，故其定義域區間關於原點對稱，又，故該函式為奇函式，從而其圖象關於原點對稱。
4．b 解析：由可得出，再由得。
5．b 解一：數列為等差數列，，又，公差，解得，因此
或10時，取得最大值，。
解二：數列為等差數列，，又，公差，解得，因此，則，由得，所以或時，取最大值，。
6．c 解析：依題意，①若，由知，所以；若，由知，所以，②若，則且或且，故。
7．b 解析：依題意有，由數軸標根法易得即或。
8．b 解析：
於是，所以，
即，從而。
9．b 解析：由兩條直線垂直的充要條件可得得
，又，當且僅當，即時取「=」。
10．c 解析：設p點橫座標為，則由已知得點處的切線的斜率，又該切線與直線的夾角為即，解得或。
11．d 解析：為偶函式，且在上為減函式，又
，由得。
12．d 解析：在中，令得為偶函式，函式的乙個週期為6，
即有在上為減函式，在上為增函式，在上為減函式，在上為增函式，由函式的週期性知，故方程在上有4個不等實根。
13． 解析：原不等式可變為原不等式的解集為。
14． 解析：由已知可作出函式的圖象，利用函式的單調性，分下列情況進行討論：①若且，即當時不等式成立；②若，即當時，不等式成立。綜上，可得x的取值範圍是。
15．或或解析：當//時，；當//時，；當過與交點時，。
16． 解析：由函式在處連續，知，則必含有因式，即必是方程的乙個根，，又，於是。
17．解：⑴由及正弦定理得
又，故為銳角4分）
⑵將代入，
得，從而有，
又7分）
由正弦定理，
從而有10分）
18．解：⑴在中， ①
又 ②
將②代入①得，即6分）
⑵如果de是灌溉水管，由⑴知，
當且僅當，即時，「=」號成立，此時，且為最短，
……………………（9分）
如果de是師生課餘散步路線，記，
可知函式在上單調遞減，在上單調遞增，
故，則，
此時de為ab或ac邊上的中線，且為最長12分）
19．解：原不等式
4分）又或
或或或8分）
原不等式組11分）
原不等式的解集為12分）
20．解：⑴曲線方程為，表示圓心為，半徑為3的圓，
點p、q在圓上且關於直線對稱
圓心在直線l上，代入直線方程得5分）
⑵直線pq與直線垂直，設，pq方程為，
將代入圓的方程得，
由韋達定理得
，即解得所求直線方程為12分）
21．解：⑴
又時3分）
⑵假設是等比數列，則，即矛盾，
不是等比數列6分）
⑶由得，即，
故是等比數列，，
，令，由，當時，；當時，；當時，，
經比較時為所求，此時最小項為 …………（12分）
22．解：⑴，顯然時，符合要求，
當時，令，
故此時，在只能是單調遞減函式，
故或，解得，可知
…………（4分）
⑵當時，時，；
時，，故7分）
⑶反證法：不妨設，由⑵知，
故，故又由⑵知當時，，故
這與上面的結論矛盾，故，同理 …………（12分）
第四次月考
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