關節一數與式的三項要點 ■ 1
第一編核心知識的再提公升
任何教學問題的解決都必以核心知識為基礎。
對知識的掌握是有層次高低之別的，只有上公升到「原理」層次的知識掌握，才能和心應手發揮作用。
關節一數與式的三項要點
「數與式」是初中數學的核心內容之一，不公在各中考試卷中占有相當比重，更重要的是它的作用體現與融合在諸多知識運用之中，其中三項要點，尤望同學們掌握與用好。
要點一、準確與靈活是「運算」之魂；
要點二、深入把握「教」、「式」的性質；
要點三、善於將情景中的數量或數量關係抽象為代數式；
一、 準確與靈活是「運算」之魂
1、 靈活運用運算法則，運算律和運算性質
對以個幾道中考試題，我們給出新的解法，請同學們感悟「靈活」的意義和作用。
例1 化簡：
解：原式（先把除法轉換成乘法，再用分配律乘入括號內）
2 ■ 中考數學高分的十八個關節
例2 計算：
解：原式（先從括號內提出「公因式」而後約分）
例3 已知是一元二次方程的實數根，求代數式的值。
解：原式（除式和被除式同乘以
以上三題是中考題，也都是較容易的題，從每一道題的解法可以看出：越是能適時而恰當運用「運算律」，「公式」「性質」等，則越可使運算步驟減少，過程簡化。所以，越是善於將演算法、算律、公式、性質聯合運用，越能提高運算的準確性和過程的簡約性。
2、善於把「非標準」算式轉化為「標準」算式
中考試題中不少數、式運算問題以「非標準」形式給出，解決的基本過程是先將其轉化為「標準」算式，然後計算。而這個「轉化」就提高了對靈活性和準確性的要求。
例4 在實數的原有運算法則基礎上我們又定義運算「」如下：
當.則當時，的值為和「一」仍為實數運算中的乘號和減號）
[ 觀察與思考]根據對新運算的規定，當時有
解：-2
可以看出，不管新運算規定得多麼新奇，它總是通過原有的運算來表達的。因此，解這類問題的基本過程是：先按新運算的規定轉化成原來的運算，再按原來的運算計算出結果。
這「兩步走」檢驗著我們是否很好地理解和
掌握了「演算法」的意義
例5 按下列程式計算，把答案寫在**內：
平方答案
（1）填寫答案：
(2)請將題中計算程式用代數式表達出來,並給予化簡.
[觀察與思考]經過審題之後,我們會發現,可以先解答第(2)問,因為將相應代數式得出化簡之後,就使(1)變成已熟悉的代數式求值問題了.
解: (1)在輸出答案的各欄中均填1.
(2)對應的代數式應為:,化簡後為1.
例6 如圖1------1, d , e分別是的邊bc和ab上的點, 的周長相等,設
(1) 求ae和bd的長;
(2) 若
[觀察與思考]本題表面上是圖形形問題,但實質是式的運算.
解: (1)
; 同理.
(2)由(1)知 .即.
由以上幾例可以看出:
數與式的運算能力,更體現於把」非標準」算式轉化為」標準」算式,這就要求我們對運算的意義和作用,有更深刻的認識
二、 深入把握「數」、「式」的性質
1、 用活數的構成和表示
例1 計算：歸納各計算結果中的個位數字規律，猜測的個位數是 （ ）
a、1 b、3 c、 7 d、5
[觀察與思考] 這實際是考查的個位數的出現規律，因為有：的個位數是2；的個位數是4；
的個位數字是8；的個位數字是16；的個位數字是2，……可見， （其中是非負整數且）
時，的個位數字與的個位數字是一樣的。現在，即的個位數字等於的個位數字，即6，當然的個位數字就是5。
解：選d
【說明】 本題的解答是以對的個位數字及迴圈情況分類認識與把握為基礎的。
例2 如果乙個數等於它的不包括自身的所有因數之和，那麼這個數就叫完全數。例如，6的不包括自身的所有因數為1，2，3.而且6=1+2+3，所以6是完全數。
大約2200多年前，歐幾里德提出：如果是乙個完全數，請你根據這個結論寫出6之後的下乙個完全數
【觀察與思考】 設是質數3，７。。。，則時，時，;
解：28
【說明】因數、質數等的概念的掌握和運用是本題獲解的基礎。
例3： 老師在黑板上寫出三個算式：王華接著又寫了兩個具有同樣規律的算式：1
（1） 請你再寫出兩個（不同於上面算式）具有上述規律的算式；
（2） 用文字寫出反映上述算式的規律：
（3） 證明這個規律的正確性。
【觀察與思考】由題目條件提供的5個等式，根據我們對整數性質的掌握，可以知道本題要揭示的就是「任意兩個奇數的平方差，都說8的倍數」。那麼，任意兩個奇數該如何用式子表示，就是解決本題的基礎準備。
解：（1）如等等
（2）規律為：任意兩個奇數的平方差都等於8的倍數。
（3）證明：兩個奇數可表示為（其中都是非負整數），則。
當同是奇數或偶數時，一定為偶數，所以一定是8的倍數。
當一奇一偶時，則一定為偶數，所以一定是8的倍數。
所以，任意兩個奇數的平方差都是8的倍數。
【說明】本題的順利獲解是基於這樣兩點：第一，能從提供的五個等式中歸納概括出規律，而這必須對整數及其性質有深刻的認識；第二，恰當地運用「式子」表示出「任意兩個奇數」。
2、 用活「數」、「式」的大小關係
例4 估算的值（ ）
a、在5和6之間 b、在6和7之間 c、在7和8之間 d、在8和9之間
【觀察與思考】本題實際上是考查在哪兩個整數之間，思考過程可以是這樣的：
解：應選c 。
【說明】這裡的估算依據是正整數間的大小關係經開方運算所導致的實數間的小大關係。
例5 設是大於1的實數，，在數軸上對應的點分別標為a，b，c，則a，b，c三點在數軸上自左自右的順序是（ ）
a、 c，b，a b、 b，c，a c、 a，b，c d、 c，a，b
【觀察與思考】方法一（性質推導法）
數軸上的點自左自右應為b，c，a。
方法二（特數值法）
可設，則a，b，c表示的數為當然有
解：應選b。
【說明】由本題可以看出，數與式的大小問題，都是以實數的大小關係為基礎的，所以，掌握實數的大小關係，是非常重要的。
啟示：掌握數，式的構成（即用其他需要的方法表示它）和掌握數，式的大小關係（基本不等關係和在此基礎上再經運算的不等關係），是進一步研究和運用數與式的重要根據。
三、 善於將情景中的數量或數量關係抽象為代數式
列式，即將某一情景中蘊含的數量或數量關係，用式表示出來，這是用數學研究該情景問題的基礎，也是用式，方程（不等式）、函式解決實際問題的起始步驟，其作用的重要性言而喻，學習好「數與式」，應把善於列式放在第一位。
1、 圖示化情景的列式
例1 如圖，表中的資料是按一定規律排列的，從中任意框出五個數字，請你用含其中乙個字母的代數式表示這五個數字和為
【觀察與思考】選c最好，因可知有
解：【說明】本題可有多種表示法。
例2 生活中，有人喜歡把傳送的便條折成形狀，摺疊過程是這樣的（陰影部分表示紙條的反面）：
如果由信紙折成的長方形紙條（圖①）長為26，寬為，分別回答下列問題：
（1）為了保證能折成圖④的形狀（即將紙條兩端均超過點p），試求的取值範圍。
（2）如果不但要折成圖④的形狀，而且為了美觀，希望紙條兩端超過點p的長度相等，即最終圖形是軸對稱圖形，試求在開始摺疊時起點與點a的距離（用表示）
【觀察與思考】關鍵是看到疊成的五邊形，每邊的長都為原紙條的寬。
解：（1）由摺紙過程知
（2）要圖④為軸對稱圖形，則應。即點
可以看出：圖示化情景的列式，要從圖示的特徵（如例1中每列，每行相鄰兩數的關係，例2的等邊五邊形等）出發，再結合要求才容易列出相應的代數式。
2、 文字語言情景的列式
對於較為複雜的文字語言情景的列式，可採用「逐步抽象法」。
例3 一種商品的成本為元，按成本增加25%作為銷售定價，後因庫存積壓減價，按定價的9折售出，這種商品可盈利多少元？
【用「逐步抽象法」思考列式】
第一步，從問題情景中，確定出「盈利數額」（所列出的表達物件）的基本表示法：
盈利數額=售出價—成本價
第二步，將表示法中的各項逐步用已知的數量取代，即
盈利數額售出價—成本價
定價逐步用已知的數量表示
第三步，整理合成，得「盈利數額」的代數式為：
所謂借助於「逐步抽象法」列式，就是不急於一下子寫出列的列子，而是如上邊的例子那樣，先確定出所求式子的基本表示，如上例的盈利數額=售出價—成本價（可用文字，數字，字母，混合的形式表示），然後對其中的每一項逐步拆解，依次用題目中提供的已知數量來替換，最後再以相反的過程「代入」，即得要求的式子。可以看出，用「逐步抽象法」列式，給出了乙個可以依循的思考層次和步驟，有助於準確，進而迅速地列出式子。
例4 某同學上學時步行，回家時乘車，路上共用90分鐘；若往返都乘車，則共用30分鐘，那麼，如果往返都步行，需要的時間是多少呢？
【用「逐步抽象法」思考列式】
第一步，先找到「步行乙個單程所需的時間」的基本表示法：
第二步，將上述表示法中的各項
用已知數量逐步替換90
關節1 數與式的三項要點人教版
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