數學全真模擬試卷二
試題ⅰ一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.
1． 已知為虛數單位，則 ▲ ．
2． 在區間內隨機選取乙個實數，則該數為正數的概率是 ▲ ．
3． 對某種電子元件使用壽命跟蹤調查，所得樣本頻率分布直方圖如圖，若一批電子元件中壽命在100~300小時的電子元件的數量為400，則壽命在500~600小時的電子元件的數量為 ▲ ．
4． 設定義在區間上的函式的圖象與圖象的交點橫座標為，則的值為 ▲ ．
5． 執行如圖所示的流程圖，則輸出的結果是 ▲ ．
6． 在△中，分別是角的對邊，若成等差數列，則的最小值為
▲ ．
7． 若定義在上的函式（為常數）滿足，則的最小值是 ▲ ．
8． 已知雙曲線（）的兩個焦點為、，點p是第一象限內雙曲線上的點，且，，則雙曲線的離心率為 ▲ ．
9． 函式的圖象在點處的切線與軸的交點的橫座標為，其中，，則 ▲ ．
10．如圖，在的方格紙中，若起點和終點均在格點的向量, ,
滿足（），則 ▲ .
11．記當時，觀察下列等式：
可以推測， ▲ ．
12．有乙個各條稜長均為的正四稜錐，現用一張正方形包裝紙將其完全包住，不能剪裁，但可以摺疊，則包裝紙的最小邊長是 ▲ ．
13．定義在上的函式滿足：①；②當時，，則集合中的最小元素是 ▲ ．
14．已知關於的實係數一元二次不等式的解集為，則的最小值是 ▲ ．
二、解答題：本大題共6小題，共90分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證
明過程或演算步驟．
15．（本題滿分14分）
已知集合，．
（1）若，求實數的值；
（2）設全集為，若，求實數的取值範圍．
16．（本題滿分14分）
如圖，在四稜錐中，平面，，且．
（1）若點為線段的中點，求證：平面；
（2）若二面角的大小為，求證：平面平
面．17．（本題滿分15分）
如圖，點在內， ，記．
（1）試用表示的長
（2）求四邊形的面積的最大值，並寫出此時的值．
18．（本題滿分15分）
在平面直角座標系中，已知圓：，圓：，點為圓上的乙個動點，現將座標平面摺疊，使得圓心恰與點重合，摺痕與直線交於點．
（1）求動點的軌跡方程；
（2）過動點作圓的兩條切線，切點分別為，求mn的最小值；
（3）設過圓心的直線交圓於點，以點分別為切點的兩條切線交於點，求證：點在定直線上．
19．（本題滿分16分）
已知整數列滿足，，前6項依次成等差數列，從第5項起依次成等比數列．
（1）求數列的通項公式；
（2）求出所有的正整數m，使得．
20．（本題滿分16分）
已知函式，，．
（1）若，，求實數的取值範圍；
（2）證明：「方程有唯一解」的充要條件是「」．
試題ⅱ（附加題）
21．【選做題】本題包括a、b、c、d四小題，請選定其中兩題，並在相應的答題區域內作答．若
多做，則按作答的前兩題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
a．（幾何證明選講）
如圖，以正方形的頂點為圓心，為半徑的圓
交的延長線於點、，且點為線段的中點．
求證：．
b．（矩陣與變換）
若直線在矩陣對應的變換作用下得到的直線過點，求實數的值．
c．（極座標與引數方程）
在極座標系中，求曲線與的交點的極座標．
d．（不等式選講）
設為互不相等的正實數，求證：．
【必做題】第22、23題，每小題10分，共計20分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文
字說明、證明過程或演算步驟．
22．如圖，在正方體中，，．
（1）若，求直線與所成角的正弦值；
（2）是否存在實數，使得直線平面？並說明理由．
23．我們知道，對乙個量用兩種方法分別算一次，由結果相同可以構造等式，這是一種非常有用的思想方法——「算兩次」（原理），如小學有列方程解應用題，中學有等積法求高
請結合二項式定理，利用等式證明：
（1）； （2）．
南通市教研室2023年數學全真模擬試卷二
參***
1．； 2．； 3．300； 4．； 5．2； 6．； 7．0；
8．； 9． 6； 10．； 11．； 12．； 13．12； 14．8．
答案解析：
1． i2+(i3+i4+i5+i6)+(i7+i8+i9+i10)=i2=；
2． 易得正數的取值區間長度是2，總長度是3，由幾何概型得所求概率為；
3． 壽命在100~300小時的電子元件的頻率是，故樣本容量是，
從而壽命在500~600小時的電子元件的數量為；
4． 易得銳角滿足，即，所以於是
．5． 變數i的值分別取1，2，3，4，…時，變數s的值依次為…，不難發現變數s的值是以3為週期在變化，當i的取值為2010時，，而後i變為2011退出迴圈．
6． 易得（當且僅當時等號成立）．
7． 由得，即，所以偶函式在上是單調增函式，在上是單調減函式，所以；
8． sin∠pf1f2=，sin∠pf1f2=，由正弦定理得，又易得tan∠f1pf2=，所以cos∠f1pf2，由利用餘弦定理得，所以，故，又，所以離心率；
9． 易求得切線方程為，令y0得，x，即，故數列是等差數列，所以；
10．由向量座標的引入可以認為，代入得，
故；11．易觀察出a，對於，可令n1得，即有，所以；
12．如圖，是某正四稜錐的平面展開圖，等腰△的底邊bc即為所求正方形包裝紙的邊長的最小值，由餘弦定理得；
13．易得，
由條件可知，上的最大值依次為1，
2，4…，即最大值構成乙個以2為公比的等比數列，結合圖象
不難發現時x的最小值是12；
14．由題意得，所以，
令，則（當且僅當時等號
成立）．
15．命題立意：本題主要考查集合的交、並、補集運算以及一元二次不等式等基礎知識，考查運算求解能力．
解：（1）易得集合，集合，（4分）
由得所以m=5．（7分）
（2）由（1）得，（10分）
因為，所以，解得．（14分）
16．命題立意：本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關係、二面角的概念等基礎知識，考查空間想象、推理論證能力．
證明：（1）取bp得中點f，鏈結af，ef，
又點為線段的中點，
且，且，
所以efbcad，
所以四邊形adef是平行四邊形，(2分) 故edaf，
又因為平面pab，平面pab，所以平面pab．(5分)
（2）因為，且， 所以，
又，， 所以．
於是，即有，(7分)
此時，， 又，故，(9分)
因為， 又， 所以，
又， 所以，且，
又， 所以，(12分)
又， 所以．(14分)
17．命題立意：本題主要考查三角形的餘弦定理與面積公式以及三角函式的性質等基礎知識，考
查運算求解能力．
解：（1）△與△中，由餘弦定理得
，②（4分）
由①②得，解得；（7分）
（2）由（1）得（13分）所以當時，．（15分）
18． 命題立意：本題主要考查直線、圓、橢圓基礎知識，考查運算求解、綜合應用能力．
解：（1）由題意得，故p點的軌跡是以c1、c2為焦點，4為長軸長
的橢圓，則，所以，， 故p點的軌跡方程是．（5分）
（2）法1（幾何法） 四邊形smc2n的面積，
所以，（9分）
從而sc2取得最小值時，mn取得最小值， 顯然當時，sc2取得最大值2，
所以．（12分）
法2（代數法） 設s(x0，y0)，則以sc2為直徑的圓的標準方程為
， 該方程與圓c2的方程相減得，，（8分）
則圓心到直線mn的距離，
因為，所以， 從而，，
故當時dmax，
因為，所以=．（12分）
（3）設，則「切點弦」ab的方程為，
將點（-1，0）代入上式得， 故點q在定直線上．（16分）
19．命題立意：本題主要考查等差、等比數列的定義與通項公式等基礎知識，考查靈活運用基本量
進行探索求解、推理分析能力．
解：（1）設數列前6項的公差為d，則，，d為整數．
又a5，a6，a7成等比數列，所以，解得，
當n≤6時，，（3分）
由此，，數列從第5項起構成的等比數列的公比為2，
所以，當n≥5時，. 故（7分）
（2）由（1）知，數列為： 3， 2， 1，0，1，2，4，8，16，…
當m1時等式成立，即3216 (3) ( 2) ( 1)；
當m3時等式成立，即1010；（11分） 當m2或4時，等式均不成立；（13分）
當m≥5時，，，
因為，而，所以是偶數，
所以，於是，故m1，或m3．（16分）
20．命題立意：本題主要考查利用導數研究函式的影象與性質等基礎知識，考查靈活運用數形結合、
化歸與轉化、分類與討論思想進行運算求解、推理論證的綜合能力．
解：（1）記，則，，
當時，恆成立，
故為上的單調增函式，所以，（2分）
當時，由得（負值已捨），若，即時，恆成立，
故為上的單調增函式，所以，（4分）
若，即時，在上恆小於0，在上恆大於0，
所以在上的單調遞減，在上的單調遞增，
故綜上所述，（6分）
所以且解得．（8分）
（2）1充分性：當時，方程，即，記，
由得（負值已捨），
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
故，即在有唯一解，即證．（11分）
2必要性：因為方程有唯一解，記，
由得（負值已捨），
所以在上單調遞減，在上單調遞增，故，且（13分）
全真模擬試卷答案一
一 選擇題 1 d 2 c 3 d 4 c 5 a 6 d 7 b 8 c 9 b 10 c 二 填空題 11 教育現象教育規律 12 教會騎士 13 社會分工教育與生產勞動相結合 14 法紀道德品質 15 教書育人帶好班級，教好學生 16 個體認識 17 教學速度教學內容深度 18 自願性靈活性 ...
全真模擬訓練二
2015 2016學年下期九年級年級數學全真模擬訓練二姓名 1 在，這四個數中，最大的數是 a.b.c.d.2 如圖，是由乙個圓柱體和乙個長方體組成的幾何體，其主檢視是 3 據中國新聞網報道，在4014年11月17日公布的全球超級計算機500強榜單中，中國國防科技大學研製的 天河二號 超級計算機，以...
四單元全真模擬測試卷
班級姓名得分 一 計算下面各題。1 直接寫得數。88 6 55 8 75 60 69 6 57 9 50 73 20 35 40 56 9 18 80 30 57 9 73 6 9 37 88 8 74 8 60 26 80 2 在 裡面填上合適的數。55 72 20 68 9 19 73 40 2...