2023年廣東高考全真模擬試卷文科數學（一）
本試卷共4頁，21小題， 滿分150分． 考試用時120分鐘．
參考公式：
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1．設集合，則等於( )
a. b. c. d.
2．函式是（ ）
a.週期為的奇函式 b.週期為的奇函式 c. 週期為的偶函式 d.非奇非偶函式
3. 如果函式上單調遞減，則實數滿足的條件是（ ）
a. b． c． d．
4. 已知等比數列{}的前項和為,且，則數列的公比的值為( )
a. 2b. 3c. 2或-3d. 2或3
5. 已知平面向量, , 且, 則( )
a. b. c. d.
6. 曲線在點（處切線的傾斜角為（ ）
abcd.
7. 給出如下三個命題：
①若「且」為假命題，則、均為假命題；
②命題「若且，則」的否命題為「若且，則」；
③在中，「」是「」的充要條件。 其中不正確的命題的個數是( )
a. 3b. 2c. 1d. 0
8. 若圓關於直線對稱，則直線的斜率是( )
a．6 b． c． d．
9. 如圖,正方體中，點在側面及其邊界上運動，並且總是保持
，則動點的軌跡是
a．線段b．線段
c．中點與中點連成的線段 d．中點與中點連成的線段
10. 如果若干個函式的圖象經過平移後能夠重合，則稱這些函式為「互為生成」函式。給出下列函式
其中「互為生成」函式的是
a．①② b．②③ c．③④ d．①④
二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分。
（一）必做題（1113題）
11. 乙個公司共有名員工，現正下設一些部門，要採用分層抽樣方法從全體員工中抽取乙個容量為50的樣本，已知某部門有200名員工，那麼從該部門抽取的工人數是
12.在中，,且,則的面積是
13．右面是計算的程式框圖，圖中的①、②分別是和
（二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）
14.（幾何證明選講選做題）
如圖，已知的兩條直角邊,的長分別為，，以為直徑的圓與交於點，則＝ .
15.（座標系與引數方程選做題）直線截曲線（為引數）的弦長為
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16. （本小題共12分）已知函式
（ⅰ）求的最小正週期； （ⅱ）若, , 求的值
17.（本題滿分14分）
有甲乙兩個班級進行數學考試，按照大於等於85分為優秀，85分以下為非優秀統計成績後，得到如下的列聯表.
已知在全部105人中抽到隨機抽取1人為優秀的概率為
(ⅰ)請完成上面的列聯表；
(ⅱ)根據列聯表的資料，若按的可靠性要求，能否認為「成績與班級有關係」 .
(ⅲ)若按下面的方法從甲班優秀的學生抽取一人：把甲班優秀的10名學生從2到11進行編號，先後兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現的點數之和為被抽取人的序號.試求抽到6或10號的概率.
18.（本題12分）如圖所示,在直四稜柱中, ,點是稜上一點.
（1）求證：面；
（2）求證：；
19. （本題滿分14分）為贏得2023年廣州亞運會的商機，某商家最近進行了新科技產品的市場分析，調查顯示，新產品每件成本9萬元，售價為30萬元，每星期賣出432件，如果降低**，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值（單位：萬元，）的平方成正比，已知商品單價降低2萬元時，一星期多賣出24件．（1）將乙個星期的商品銷售利潤表示成的函式；
（2）如何定價才能使乙個星期的商品銷售利潤最大？
20. （本小題滿分14分）已知橢圓的左焦點為f，左右頂點分別為a,c上頂點為b，過f,b,c三點作，其中圓心p的座標為．(1) 若fc是的直徑，求橢圓的離心率；（2）若的圓心在直線上，求橢圓的方程．
21．（本小題滿分14分）設不等式組所表示的平面區域為，記內的格點（格點即橫座標和縱座標均為整數的點）個數為
（1）求的值及的表示式；（2）記，試比較的大小；若對於一切的正整數，總有成立，求實數的取值範圍；
（3）設為數列的前項的和，其中，問是否存在正整數，使成立？若存在，求出正整數；若不存在，說明理由。
2023年廣東高考全真模擬試卷文科數學（一）答案
一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分
選擇題參***：
1., ,選b
2.，選c
3.上遞減，對稱軸為，故選a 故
4. 由 ，則，選c
5. 由 ，，則，選c
6.，則，故傾斜角為，選b
7. ①②正確，③錯誤，選b
8. 圓關於直線對稱，則直線通過圓心，故，選d
9. 正方體中，恒有，則本題選a
10. ，函式影象在平移的過程中，大小不會發生變化，觀察四個表示式只有①④的振幅相同，故選d
二、填空題：本大題查基本知識和基本運算，體現選擇性．共5小題，每小題5分，滿分20分．其中14~15題是選做題，考生只能選做一題．
11．10 1213.,（順序不能顛倒） 14． 15．
填空題參***：
11．假定抽取人數為，則，則
12. 由，則，則，故
13.略
14.由切割線定理，,則
15.曲線可化為，圓心到直線的距離，則弦長
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16. （本題滿分12分）本題主要考查特殊角三角函式值、誘導公式、二倍角的正弦、三角函式在閉區間上的最值等基礎知識，主要考查基本運算能力．
已知函式（ⅰ）求的最小正週期；
解3分…………………5分
∴函式的最小正週期為.…………………6
（ⅱ）若, , 求的值
解：由7分
化簡可得,…………9分
則,化簡∴…………………10分
由,∴,故…………………12分
17. （本題滿分14分）
有甲乙兩個班級進行數學考試，按照大於等於85分為優秀，85分以下為非優秀統計成績後，得到如下的列聯表.
已知在全部105人中抽到隨機抽取1人為優秀的概率為
(ⅰ)請完成上面的列聯表；
解：(ⅰ)**如下
(ⅱ)根據列聯表的資料，若按的可靠性要求，能否認為「成績與班級有關係」 .
解：根據列聯表中的資料，得到
5分因此有95%的把握認為「成績與班級有關係」。 ………………7分
(ⅲ)若按下面的方法從甲班優秀的學生抽取一人：把甲班優秀的10名學生從2到11進行編號，先後兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現的點數之和為被抽取人的序號.試求抽到6或10號的概率.
解：設「抽到6或10號」為事件a，先後兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現的點數為（x，y）…………………8分
所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6），
共36個。…………………10分
事件a包含的基本事件有：
（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8個…………………12分
…………………14分
18. （本題滿分12分）如圖所示,在直四稜柱中, ,點是稜上一點.，
（1）求證：面；
證明：由直四稜柱,得,所以是平行四邊形,
所以3分）
而,,所以面6分
（2）求證：；
證明：因為, 則9分）
又因為,且，故
而，所以12分）
19. （本題滿分14分）
為贏得2023年廣州亞運會的商機，某商家最近進行了新科技產品的市場分析，調查顯示，新產品每件成本9萬元，售價為30萬元，每星期賣出432件，如果降低**，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值（單位：萬元，）的平方成正比，已知商品單價降低2萬元時，一星期多賣出24件．（1）將乙個星期的商品銷售利潤表示成的函式；
解：（1）設商品降價萬元，則多賣的商品數為，若記商品在乙個星期的獲利為，………………1分
則依題意有，…4分
又由已知條件，，於是有，……5分
所以．…………7分
（2）如何定價才能使乙個星期的商品銷售利潤最大？
解：根據（1），我們有．………………9分
作出以下**：
………………12分
故時，達到極大值．因為，，則定價為萬元能使乙個星期的商品銷售利潤最大．……14分
20．（本小題共14分）
已知橢圓的左焦點為f，左右頂點分別為a,c上頂點為b，過f,b,c三點作，其中圓心p的座標為．
(1) 若fc是的直徑，求橢圓的離心率；
解：（1）由橢圓的方程知，∴點， ，設的座標為，………………1分
∵fc是的直徑2分
3分解得5分
∴橢圓的離心率6分
（2）若的圓心在直線上，求橢圓的方程．
解：∵過點f,b,c三點，∴圓心p既在fc的垂直平分線上，也在bc的垂直平分線上，
fc的垂直平分線方程為
7分∵bc的中點為，∴bc的垂直平分線方程為-----②
---------9分
由①②得，即 -----11分
∵p在直線上，∴
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