專題講座
張鶴北京市海淀區教師進修學校
一、對「計數原理」教學知識的深層次理解
計數問題是數學中的重要研究物件之一，分類加法計數原理、分步乘法計數原理是解決計數問題問題的最基本、最重要的方法，它們為解決很多的實際問題提供了思想和工具.在本章學生將學習計數基本原理、排列、組合、二項式定理及其應用，進行了解計數與現實生活的聯絡，會解決簡單的計數問題.
（一）知識結構圖
1．返璞歸真地看兩個計數原理，它們實際上是學生從小學就開始學習的加法運算與乘法運算的推廣，它們是解決計數問題的理論基礎．分類加法計數和分步乘法計數是處理計數問題的兩種基本思想方法．
2．排列、組合是兩類特殊而重要的計數問題，而解決它們的基本思想和工具就是兩個計數原理．教科書從簡化運算的角度提出排列與組合的學習任務，通過具體例項的概括而得出排列、組合的概念；應用分步乘法計數原理得出排列數公式；應用分步計數原理和排列數公式推出組合數公式．對於排列與組合，有兩個基本想法貫穿始終，一是根據一類問題的特點和規律尋找簡便的計數方法，就像乘法作為加法的簡便運算一樣；二是注意應用兩個計數原理思考和解決問題．
3．二項式定理的學習過程是應用兩個計數原理解決問題的典型過程，其基本思路是「先猜後證」．如可以通過對中n取1，2，3，4的展開式的形式特徵的分析而歸納得出；或者直接應用兩個計數原理對展開式的項的特徵進行分析．這個分析過程不僅使學生對二項式的展開式與兩個計數原理之間的內在聯絡獲得認識的基礎，而且也為證明猜想提供了基本思路.
（二）「計數原理」在高中數學知識體系中的地位和作用
為了更好的把握計數原理的要求，首先需要明確整體定位.標準對計數原理這部分內容的整體定位如下：
「計數問題是數學中的重要研究物件之一，分類加法計數原理、分步乘法計數原理是解決計數問題的最基本、最重要的方法，也稱為基本計數原理，它們為解決很多實際提供了思想和工具.在本摸塊中，學生將學習計數基本原理、排列、組合、二項式定理及其應用，了解計數與現實生活的聯絡，會解決簡單的計數問題.」
為了更好的理解整體定位，需要明確以下幾個方面的問題：
（ⅰ）兩個基本計數原理是計數原理的開頭課，學習它所需的先行知識與學生已熟知的數學知識聯絡很少，通常教師們或者感覺很簡單，一帶而過；或者感覺難以開頭.中學數學課程中引進的關於排列、組合的計算公式都是以分類加法計數和分步乘法計數原理為基礎的，而一些較複雜的排列、組合應用題的求解，更是離不開兩個基本計數原理，因此必須使學生學會正確地使用兩個基本計數原理，學會正確地使用基本計數原理是這一章教學中必須抓住的乙個關鍵.
（ⅱ）正確使用兩個基本原理的前提是要學生清楚兩個基本原理使用的條件.而原理中提到的分步和分類，學生不是一下子就能理解深刻的，這就需要教師引導學生，幫助他們分析，找到分類和分步的具體要求——類類互斥，步步獨立.
（ⅲ）分類加法計數原理，分步乘法計數原理，單純這點學生是容易理解的，問題在於怎樣合理地進行分類、分步，特別是在分類時必須做到既不重複，又不遺漏，找到分步的方法有時是比較困難的，這就要著重進行訓練.
（三）教學的重點和難點分析
1．本章的重點是分類加法計數原理和分步乘法計數原理，排列和組合的意義，以及排列數、組合數計算公式，二項式定理.
2．本章的主要難點是如何正確運用有關公式解決應用問題.在解決問題時，由於對問題本身和有關公式的理解不夠準確，常常發生重複和遺漏計算、用錯公式的情況.為了突破這一難點，教學中應強調一些容易混淆的概念之間的聯絡與區別，強調運用各個公式的前提條件，並對學生計算**現的一些典型錯誤進行認真剖析.
二、「計數原理」的教學策略
（一）在」新課標」中的處理特點
計數是人與生俱來的一種能力，也是了解客觀世界的一種最基本的方法.計數問題是數學中的重要研究物件之一，分類加法計數和分步乘法計數是處理計數問題的兩種基本思想方法.
雖然該部分內容新教材和傳統教材沒有太大的區別，但在處理方式上，新教材更突出計數原理的地位和作用，強調計數原理的思想和方法，將排列、組合、二項式定理作為計數原理的乙個應用例項.要求教學中要引導學生根據計數原理分析、處理問題，而不是機械地套用公式，同時要避免繁瑣的、技巧性過高的計數問題.
由於計數原理的思想和方法是最基本的，所有的計數問題都不會超越分類和分步這兩大類，因此要求在推導排列數公式和組合數公式的過程中讓學生進一步理解計數原理的思想；在用排列組合公式和組合數公式解決實際問題時，也不要只是片面地將問題歸結為排列、組合兩類，而是引導學生學會用計數原理來分析問題.
二項式定理是中學數學的傳統內容，定理揭示了二項式的正整數次冪的展開法則.這個定理既是初中代數乘法公式的推廣，也是進一步研究概率中二項分步的準備知識.學習二項式定理還可以深化對組合數的認識.
新課標強調利用基本計數原理對二項式定理進行證明.
（二）課程標準要求的具體化和深廣分析
1．如何認識「通過例項，總結分類加法計數原理、分步乘法計數原理；能根據具體問題的特徵，選擇分類加法計數原理或分步乘法計數原理，解決一些簡單的實際問題.」的含義.
可以從以下兩個方面來把握標準的要求：
第一，通過具體問題情境和實際事例，讓學生不斷感悟和總結兩個基本計數原理，僅僅由教材中的幾個例項是不夠的，教師必須補充與之匹配的事例充實教材，這樣學生才能更深刻地領悟兩個基本計數原理.
第二，在理解具體問題時，著重分析題意，領悟題眼，用分類或者分步或兩者都用，分類要做到「不重不漏」，分步要做到步驟完整，善於歸納用計數原理解決計數問題的方法，這樣有利於充分利用兩個基本計數原理解題.
2．如何認識「通過例項，理解排列、組合的概念，能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式，並能解決簡單的實際問題.」
第一，運用大量例項，理解排列的特殊性與組合的特殊性.排列的特殊性在於排列中元素的「互異性」和「有序性」，例如「從全班60名同學中選出4名同學，分別擔任班長、學習委員、文藝委員、體育委員，」這就是乙個排列問題.可以由學生思考為什麼這個問題有元素的「互異性」和「有序性」的特點.
與排列比較，組合的特殊性在於它只有元素的「互異性」而不需要考慮順序，例如，上述問題如果改為「從全班60名同學中選出4名代表參加一項活動，」那麼它就要變成乙個組合問題了.本質上，「從n個不同元素中取出k個元素的組合」就是這幾個不同元素組成的集合的乙個k元子集.
第二，排列數公式、組合數公式的推導是兩個計數原理的乙個應用過程，只有理解了排列、組合的概念，並會用兩個計數原理解決實際問題，才能把排列數公式、組合數公式推導出來.
第三，在教學中注意通過大量例項運用排列數公式、組合數公式解決，但是組合數的性質只作一般性的**，至於應用不作重點要求，更不研究排列數的性質，在數學中必須引起注意.
3．如何認識「能用計數原理證明二項式定理」
利用計數原理求出的展開式的思維要點如下：
第一，是個多項式乘法問題.根據多項式乘法，它的展開式的每一項，應是每乙個多項式中某一項彼此相乘，所構成的單項式.
第二，展開式的每一項是通過步乘積構成的，每一步有兩種選擇，因此，展開式的項數為.
第三，展開式的每一項是由是由若干個和若干個的乘積構成，和的個數之和等於，它可以表示成：.
第四，在展開式中，形如的同類項個數是多少呢？
由於個來自不同的個多項式，它的個數是組合數.
第五，在中，共有種不同的同類項，根據加法原理，其展開式為：
（a+b）n=.
這樣，我們就通過乘法原理和加法原理證明了二項式定理，這是一種構造性的證明，即可以探索出問題的結果，同時可以證明出結果的正確性.
4．如何理解「會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.」
結合「楊輝三角」和從函式的角度來分析二項式係數的一些性質（① 對稱性② 增減性與最大值 ③ 各二項式係數的和），在**以上性質的過程中，實際上是二項式定理的應用，在教學中列舉例項，將二項式係數的性質充分應用.
（三）教學中的幾個思維要點
要點1：簡單的計數問題討論是有限集合所含元素的個數.
排列數、組合數都是特定集合所含元素的個數，在討論簡單計數問題時，應明確所討論的集合中元素的基本特徵，這是解決簡單計數問題的基點.
要點2：正確使用基本計數原理是學習本部分內容的關鍵.
中學數學課程中關於排列組合的計算公式都是以基本的計數原理為基礎的，而一些較複雜的排列組合應用問題的求解，離不開兩個計數原理，兩個基本的計數原理是解決簡單計數問題的通性通法，排列問題、組合問題以及二項式定理等都是依賴這些通性通法解決的.
要點3：理解兩個基本計數原理使用的條件是正確使用兩個基本計數原理的前提.
對於計數原理中的分布和分類，學生不是一下子就能理解深刻的，需要教師引導，幫助學生找到分類和分步的特徵和要求：分類要「類類互斥」，分步要「步步獨立」.
（四）典型例題的教學
1．分清兩個原理
掌握分類計數原理和分步計數原理是複習好本章的基礎.其應用貫穿於本章的始終.正確運用兩個原理的關鍵在於：
（1）先要搞清完成的是怎樣的「一件事」.
例1.4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個專案，每人報一項，共有多少種報名方法？
分析：要完成的是「4名同學每人從三個專案中選報一項報名」這件事，因為每人必報一項，四人都報完才算完成，於是應按人分步，且分為四步，又每人可在三項中選一項，選法為3種，所以共有：
3×3×3×3=34=81種報名方法.
例2.4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三項冠軍，共有多少種可能的結果？
分析：完成的是「三個專案冠軍的獲取」這件事，因為每項冠軍只能有一人獲得，三項冠軍都有得主，這件事才算完成，於是應以「確定三項冠軍得主」為線索進行分步.而每項冠軍是四人中的某一人，有4種可能情況，於是共有4×4×4=43=64種可能的情況.
例3.乘積（a1+a2+a3）(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展開後共有多少項？
分析：因為展開後的每一項為第乙個括號中的乙個，第二括號中的乙個與第三個括號中的乙個的乘積，所以應分三步m1=3,m2=4,m3=5，於是展開後共有m1×m2×m3=3×4×5=60項.
例4.有4部車床，需加工3個不同的零件，其不同的安排方法有（ ）
a.34 b.43 c43 d.44
分析：事件為「加工3個零件」，每個零件都加工完這件事就算完成，應以「每個零件」分步，共3步，而每個零件能在四部車床中的任一台上加工，所以有4種方法，於是安排方法為4×4×4=43=64種，故選b.
例5.5名同學去聽同時進行的4個課外知識講座，每個同學可自由選擇，則不同的選擇種數是（ ）
新課程標準下高中數學教學研究
摘要 隨著新課程改革的深入，高中教材發生了很大的變化，教師的教學方法，學生的學習方法，都要相應得發生很大的變化，新課程下的數學課堂教學中，更加注重學生的主體地位，如何喚醒學生的主體意識，發展學生的主體能力，塑造學生的主體人格，充分培養和提高學生的自主性 能動性和創造性，讓學生在參與中學會學習 學會合...
新課程標準下高中數學課堂有效教學研究
2009 5 5 瀏覽 大中小 開題報告 南京市教研室朱建明 一 本課題研究現狀述評，選題的目的與意義 1 本課題研究現狀述評 1 1 有效教學 的內涵 有效教學 的理念源於20世紀上半葉西方的教學科學化運動，特別是在受美國實用主義哲學和行為主義心理學影響產生的 有效教學的提出也是 教學是藝術還是科...
高中數學分層教學實踐研究
作者 王繼揚 新課程 教師 2015年第02期 摘要 分層教學是一門較為新奇的教學方式，在推動學生積極學習方面有著巨大的貢獻。在高中階段使用這種教學手段，可以幫助每乙個學生提公升他們的數學學習成績，對他們以後的發展有著深遠的影響。關鍵詞 高中數學 分層教學 模式 高中生在不同的年紀需要接受不同的教導...