阿涅西的「女巫」是一條曲線研究了瑪麗亞·阿涅西在2023年她的書instituzioni analitiche廣告uso德拉gioventu italiana(第乙個倖存的數學工作由乙個女人寫的)。曲線也稱為cubique d 'agnesi或agnesienne,和早先研究費馬,2023年圭多大人物。
「女巫」這個名字**於這個術語的誤譯**erisera(「曲線正矢,」拉丁vertere,「將」)原工作**versiera(「女巫」或「魔鬼的妻子」)在2023年的翻譯工作由劍橋大學盧卡斯數學教授約翰·(灰色)。
曲線是通過畫一條線從原點到圓的半徑和中心,然後選擇的點圓的交點座標和協調的交叉線的延伸與行.
以引數形式,
為,或為.
笛卡兒方程可以得到消除引數方程,給出
等效的函式形式是什麼洛倫茲函式.
曲線和之間的區域設在是
曲線有拐點在。這條線是乙個漸近線的曲線。
的曲率和切向角在第二個引數化給出
參見:所有曲線的寬度的寬度有相同的周長.
寬度恆定的曲線
曲線,當旋轉在廣場,接觸所有四個邊。這樣的曲線有時也稱為輥。
乙個封閉的凸曲線的「寬度」被定義為平行線邊界之間的距離(「支援線」)。每個寬度恆定的曲線是凸的。寬度恆定的曲線有相同的「寬度」,不管他們的平行線之間的取向。
事實上,他們也共享相同的周長(巴比爾定理)。例子包括圓(最大區域),魯洛三角形(最小的區域),但有無限。寬度恆定的曲線可以用在乙個特殊的鑽夾頭將廣場」孔.
"乙個泛化給寬度恆定的固體。這些沒有相同的表面區域對於乙個給定的寬度,但他們的影子寬度恆定的曲線有相同的寬度!
參見:蝙蝠俠曲線
蝙蝠俠曲線分段曲線形狀的蝙蝠俠超人最初的標誌張貼在在7月28日,2023年。它可以寫成兩個函式,乙個用於上部和下部,
在**是亥維賽階躍函式和定義為分段常數函式時,函式是由亥維賽一步
(j . m .)。
它的面積可以計算完全一樣
懸鏈線曲線懸掛軟線或鏈假設支援在其結束時統一引力,見機行事。懸鏈線這個詞**於拉丁語「鏈。「2023年,jungius反駁了伽利略的聲稱的曲線鏈掛在重力將會是乙個拋物線(mactutor存檔)。
曲線也稱為alysoid和懸鏈線。方程獲得了萊布尼茲、惠更斯和約翰·伯努利在2023年回應雅各布·伯努利的挑戰。
惠更斯是第乙個使用術語懸鏈線在一封給萊布尼茲在2023年,和大衛·格雷戈里寫了一篇**,2023年懸鏈線(mactutor存檔)。如果你滾拋物線沿著一條直線,它焦點出懸鏈線痕跡。證明2023年尤拉,懸鏈線的曲線,當旋轉,使最小的表面表面積(懸鏈曲面對給定的邊界)圓.
的引數方程給出了懸鏈線的
在**對應的頂點是乙個引數決定的速度鏈」開啟。「懸鏈線的值從0.05到1.00的步驟0.05以上。
的弧長,曲率,切向角為是由
斜率是成正比弧長衡量的中心對稱。
的採查羅方程是
聖路易斯拱門密切接近倒置的懸鏈線,但它有乙個非零厚度和不同橫截面面積(底部厚,薄的頂點)。重心的半身像腳底部,身高625.0925英呎,最大橫截面積125.
1406萬平方英呎,和底部橫截面積1262.6651平方英呎。
懸鏈線也給道路的形狀(輪盤賭)在普通多邊形「輪」可以旅行順利。對於乙個普通百分度,笛卡爾相應的懸鏈線方程
在**參見
切向角對於乙個平面曲線,切向角被定義為
在**是弧長和是曲率半徑。因此,切向角是由
在**是曲率。對乙個平面曲線,切向角也可以定義為
灰色(1997)呼叫轉動的角度而不是切向角。
參見:採查羅方程
乙個採查羅方程是乙個自然的方程這表達了乙個曲線的弧長函式和曲率半徑(或等價曲率)。注意,雖然採查羅方程是固有的,因為它是不變的變換下保持長度和角度,並不是內在曲線,因為它取決於弧長測量的起點,因此引數化(見下表為例)。
下表總結了採查羅的某些引數化方程的曲線(cf。勞倫斯1972,p。5,耶茨1952,p . 126)。
參見:自然的方程
自然曲線方程是乙個方程它指定獨立於任何座標或引數化的選擇。自然方程的研究始於以下問題:給定的兩個函式的乙個引數,找到了空間曲線的函式曲率和扭轉.
尤拉給出了平面曲線積分解決方案(這總是扭轉)。呼叫角之間的切曲線和直線軸的切向角,然後
在**是曲率。然後方程
在**是扭轉,解決了曲線引數方程
方程和被稱為自然(固有)空間曲線的方程。乙個方程表達的平面曲線和曲率半徑(或)被稱為採查羅方程,乙個平面曲線的方程表達和被稱為學富五車方程。的自然引數方程曲線的引數化的弧長而不是任意引數等.
在特殊的平面情況下可以解決的基本功能是圓,對數螺線,圓漸開線,圓外旋輪線。enneper顯示這些的投影螺旋在乙個二次曲線沿著對稱軸旋轉曲面。上述情況下對應油缸,錐,拋物面,球.
外擺線,1-cusped
乙個1-cusped圓外旋輪線已經,所以。半徑測量從大圓的中心1-cusped圓外旋輪線是由圓外旋輪線方程(◇)所以
和的1-cusped圓外旋輪線只是乙個偏移量心形.
心形的曲線極座標方程
有時也寫
在**.
心形的笛卡兒方程
和引數方程
心形是簡併的蝸牛線。這也是乙個1-cusped圓外旋輪線(與),是回光線的由射線原始點的周長圓和反映圓.
心形的尖端在原點。
de castillon所使用的名稱心形首次於2023年在英國皇家學會哲學學報。它的弧長在2023年發現了la僱傭。具體有三個平行切線心形的任何給定的梯度。
此外,切線在任何的結束和弦通過尖端是指向直角。任何的長度和弦通過尖端點是.
心臟也可能產生如下。畫乙個圓並修復乙個點在上面。現在畫乙個組圈以周長的並通過。
的信封這些圈然後乙個心形(pedoe 1995)。讓圓是集中在原點和半徑1,讓不動點。然後半徑的圓集中在乙個角(1,0)
如果不動點不圓,那麼結果呢信封是乙個蝸牛線而不是乙個心形。
的弧長,曲率,切向角是
的周長和區域曲線的
參見蝸牛線
蝸牛線是極曲線的形式
也稱為帕斯卡的蝸牛線。首次研究了杜勒,誰給了畫圖的方法underweysung der messung(1525)。重新發現了艾蒂安帕斯卡,布萊斯帕斯卡爾的父親,被gilles-personne roberval 2023年(mactutor存檔)。
「蝸牛線」這個詞來自於拉丁語limax,意思「蝸牛」。
如果蝸牛線是凸的。如果,蝸牛線波紋。如果,蝸牛線退化心形。如果蝸牛線有乙個內部迴圈。如果,這是乙個三等分角線(但不麥克勞林三等分角線).
為,內迴圈區域
在**。類似的外信封包圍的面積
因此,區域迴圈之間的
的特殊情況,這些簡化
以引數化
給出了弧長的函式作為
在**是乙個第二類橢圓積分。讓讓整條曲線的弧長
在**是乙個第二類完全橢圓積分.
生成的蝸牛線可以通過指定乙個固定的點序列,然後畫乙個圓圈的中心在乙個給定的圓,所有通過。的信封這些曲線是乙個蝸牛線。如果不動點在周長圓的,那麼信封是乙個心形.
蝸牛線是乙個anallagmatic曲線。蝸牛線是螺旋線的圓對乙個點上周長(威爾斯1991)。
蝸牛線漸屈線
蝸牛線漸屈線
的回光線的的圓對於乙個輻射點是蝸牛線漸屈線。它有引數方程
參見:回光線的
回光線的是曲線的信封射線來自乙個指定點(或乙個點在無限的距離產生平行射線)對於乙個給定的鏡子的形狀。點的射線稱為散發出來輻射點。回光線的是乙個漸屈線的orthotomic(勞倫斯1972,60頁)。
下表列出了回光線的一些常見的曲線,省略的錯誤回光線的上市quadrifolium勞倫斯(1972,p . 207)。
漸屈線乙個漸屈線的曲率中心軌跡(信封)的平面曲線的法線。原來的曲線是說漸開線漸屈線。給定乙個平面曲線的引數化表示,漸屈線的方程
在**執行點的座標,是曲率半徑
和單位之間的角嗎切向量
和軸,結合了
曲線的漸屈線的定義是獨立於任何可微函式引數化(灰色1997)。如果曲線的漸屈線嗎,然後據說是嗎漸開線的。的中心密切圓曲線形式的漸屈線曲線(灰色1997,p . 1997)。
漸開線將乙個字串附加到乙個點在曲線上。擴充套件的字串,以便它是曲線的切線的附件。然後風字串,它總是緊。
的軌跡點跟蹤結束的字串被稱為漸開線的原始曲線,和原來的曲線稱為漸屈線漸開線。以上說明了此過程圓.
儘管有獨特的曲線漸屈線,它有無限多的漸開線對應不同的初始點的選擇。乙個漸開線曲線也可以被認為是任何正交所有的切線對於乙個給定的曲線。
漸開線的方程
在**是切向量
和是弧長
這個可以寫引數化函式表示作為
下表列出了一些常見的漸開線曲線,其中一些上面的說明。
參見:星狀的漸開線
的漸開線的星狀的是乙個圓內旋輪線漸開線為。令人驚訝的是,它是另一回事星狀的按比例縮小的倍和旋轉把。對於乙個星狀的用引數方程
的漸開線是星狀的
參見星形線屈線
的漸屈線的星狀的是乙個圓內旋輪線漸屈線為。令人驚訝的是,它是另一回事星狀的按比例縮小的倍和旋轉把。對於乙個星狀的用引數方程
的漸屈線是星狀的
參見:懸鏈線漸開線
的引數方程對於乙個懸鏈線是
給漸開線作為
因此,漸開線的一半曳物線.
參曳物線
曳物線出現了對萊布尼茨在下列問題:什麼是物件的路徑與垂直偏移量開始時拖在一系列常數沿直線長度被水平線(steinhaus指出2023年,頁250 - 251)?通過將物件與一條狗,字串,用皮帶,和沿著一條水平線拉狗的主人,曲線具有描述性名稱「hundkurve」(狗曲線)在德國。
萊布尼茲發現曲線使用這一事實的軸是一條漸近線曳物線(mactutor存檔)。
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加涅的學習條件理論
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