2023年全國碩士研究生入學統一考試
數學(一)試卷
一、選擇題：(本題共10小題，每小題4分，共40分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題後的括號內)
(1)當時，與等價的無窮小量是________
(a) . (b). (c). (d).
【答案】 應選(b).
【分析】 利用已知無窮小量的等價代換公式，盡量將四個選項先轉化為其等價無窮小量，再進行比較分析找出正確答案.
【詳解】當時，有；；
利用排除法知應選(b).
【評注】 本題直接找出的等價無窮小有些困難，但由於另三個的等價無窮小很容易得到，因此通過排除法可得到答案。事實上，
(2)曲線，漸近線的條數為________
(a) 0b) 1c) 2d) 3
【答案】 應選(d).
【分析】 先找出無定義點，確定其是否為對應垂直漸近線；再考慮水平或斜漸近線。
【詳解】 因為，所以為垂直漸近線；
又，所以y=0為水平漸近線；
進一步， =，
=於是有斜漸近線：y = x. 故應選(d).
【評注】 一般來說，有水平漸近線(即)就不再考慮斜漸近線，但當不存在時，就要分別討論和兩種情況，即左右兩側的漸近線。本題在x<0 的一側有水平漸近線，而在x>0的一側有斜漸近線。關鍵應注意指數函式當時極限不存在，必須分和進行討論。
(3)如圖，連續函式y=f(x)在區間[3，2]，[2，3]上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區間[2，0]，[0，2]的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設則下列結論正確的是________
(ab).
(cd【答案】 應選(c).
【分析】 本題考查定積分的幾何意義，應注意f(x)在不同區間段上的符號，從而搞清楚相應積分與面積的關係。
【詳解】 根據定積分的幾何意義，知f(2)為半徑是1的半圓面積：，f(3)是兩個半圓面積之差： =，
因此應選(c).
【評注1】 本題f(x)由積分所定義，應注意其下限為0，因此
，也為半徑是1的半圓面積。可知(a) (b) (d)均不成立.
【評注2】若試圖直接去計算定積分，則本題的計算將十分複雜，而這正是本題設計的巧妙之處。
(4)設函式f(x)在x=0處連續，下列命題錯誤的是：________
(a) 若存在，則f(0)=0. (b) 若存在，則f(0)=0.
(c) 若存在，則存在(d) 若存在，則存在
【答案】 應選(d).
【分析】 本題為極限的逆問題，已知某極限存在的情況下，需要利用極限的四則運算等進行分析討論。
【詳解】(a),(b)兩項中分母的極限為0，因此分子的極限也必須為0，均可推導出f(0)=0.
若存在，則，可見(c)也正確，故應選(d). 事實上，可舉反例：在x=0處連續，且
=存在，但在x=0處不可導。
(5)設函式f (x)在上具有二階導數，且令, 則下列結論正確的是：________
(a) 若，則必收斂b) 若，則必發散.
(c) 若，則必收斂. (d) 若，則必發散.
【答案】 應選(d).
【分析】 可直接證明或利用反例通過排除法進行討論。
【詳解】 設f (x)=, 則f (x)在上具有二階導數，且，但發散，排除(c); 設f(x)=, 則f (x)在上具有二階導數，且，但收斂，排除(b); 又若設，則f(x)在上具有二階導數，且，但發散，排除(a). 故應選(d).
【評注】也可直接證明(d)為正確選項. 若，則存在，使得. 在區間上應用拉格朗日中值定理, 存在使得
,又因為在上因此在上單調增加，於是對有
.在區間上應用拉格朗日中值定理, 存在使得,
即故應選(d).
(6)設曲線具有一階連續偏導數)，過第象限內的點m和第象限內的點n，t為l上從點m到點n的一段弧，則下列小於零的是________
(ab).
(cd).
【答案】 應選(b).
【分析】 直接計算出四個積分的值，從而可確定正確選項。
【詳解】 設m 、n點的座標分別為. 先將曲線方程代入積分表示式，再計算有：
;;;.故正確選項為(b).
【評注】 對於線、面積分，應盡量先將線、面方程代入被積表示式化簡，然後再積分.
(7) 設向量組線性無關，則下列向量組線性相關的是________
(a). (b).
(c). (d).
【答案】應選(a) .
【詳解1】直接可看出(a)中3個向量組有關係
即(a)中3個向量組有線性相關, 所以選(a) .
【詳解2】用定義進行判定:令
，得 .
因線性無關，所以
又故上述齊次線性方程組有非零解, 即線性相關. 類似可得(b), (c), (d)中的向量組都是線性無關的.
(8) 設矩陣, , 則a與b________
(a)合同, 且相似b) 合同, 但不相似 .
(c)不合同, 但相似d) 既不合同, 又不相似
【答案】應選 (b) .
【詳解】 由得a的特徵值為0, 3, 3, 而b的特徵值為0, 1, 1，從而a與b不相似.
又r(a)=r(b)=2, 且a、b有相同的正慣性指數, 因此a與b合同. 故選(b) .
【評注】1)若a與b相似, 則| a |=| b |；r(a)= r(b)；tr(a)= tr(b); a與b有相同的特徵值.
2)若a、b為實對稱矩陣, 則a與b合同 r(a)= r(b), 且a、b有相同的正慣性指數.
(9) 某人向同一目標獨立重複射擊,每次射擊命中目標的概率為p(0(a)． (b).
(c)． (d
【答案】應選 (c) .
【詳解】「第4次射擊恰好第2次命中」表示4次射擊中第4次命中目標, 前3次射擊中有1次命中目標. 由獨立重複性知所求概率為：. 故選(c) .
(10) 設隨機變數(ｘ,ｙ)服從二維正態分佈，且ｘ與ｙ不相關，分別表示ｘ，ｙ的概率密度，則在ｙ＝y的條件下，ｘ的密度為________
(a) ． (b)． (c ). (d)．
【答案】應選 (a) .
【詳解】因(ｘ,ｙ)服從二維正態分佈，且ｘ與ｙ不相關，故ｘ與ｙ相互獨立，於是 =. 因此選(a) .
【評注】對於二維連續型隨機變數(ｘ,ｙ)，有
ｘ與ｙ相互獨立 f (x, y)= = =.
二、填空題：(11－16小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.)
(11【答案】 應填
【分析】 先作變數代換，再分部積分。
【詳解】
(12)設f(u,v)為二元可微函式，，則
【答案】 應填
【詳解】 利用復合函式求偏導公式，有
(13)二階常係數非齊次線性微分方程的通解為
【答案】 其中為任意常數.
【詳解】 特徵方程為，解得可見對應齊次線性微分方程的通解為
設非齊次線性微分方程的特解為，代入非齊次方程可得k= 2. 故通解為
(14)設曲面，則
【答案】
【詳解】 由於曲面關於平面x=0對稱，因此=0. 又曲面具有輪換對稱性，於是
====
== (15) 設矩陣, 則的秩為
【答案】應填1 .
【詳解】依矩陣乘法直接計算得 , 故r()=1.
(16) 在區間(0, 1)中隨機地取兩個數, 則兩數之差的絕對值小於的概率為
【答案】應填.
【詳解】這是乙個幾何概型, 設x, y為所取的兩個數, 則樣本空間
, 記.
故 ，其中分別表示a與的面積.
三、解答題：(17－24小題，共86分. )
(17)(本題滿分11分)
求函式在區域上的最大值和最小值。
【分析】 由於d為閉區域，在開區域內按無條件極值分析，而在邊界上按條件極值討論即可。
【詳解】 因為 ，，解方程：
得開區域內的可能極值點為.
其對應函式值為
又當y=0 時，在上的最大值為4，最小值為0.
當，構造拉格朗日函式
解方程組得可能極值點：，其對應函式值為
比較函式值，知f(x, y)在區域d上的最大值為8，最小值為0.
(18)(本題滿分10分)
計算曲面積分
其中為曲面的上側。
【分析】本題曲面不封閉，可考慮先新增一平面域使其封閉，在封閉曲面所圍成的區域內用高斯公式，而在新增的平面域上直接投影即可。
【詳解】 補充曲面：，取下側. 則
其中為與所為成的空間區域，d為平面區域.
由於區域d關於x軸對稱，因此. 又
=其中.
【評注】 注意在計算過程中盡量利用對稱性進行簡化。本題也可通過直接投影進行計算，但計算過程比較複雜。
(19)(本題滿分11分)
設函式f(x), g(x)在[a, b]上連續，在(a, b)內具有二階導數且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 證明：存在，使得
【分析】需要證明的結論與導數有關，自然聯想到用微分中值定理，事實上，若令，則問題轉化為證明, 只需對用羅爾定理，關鍵是找到的端點函式值相等的區間(特別是兩個一階導數同時為零的點)，而利用f(a)=f(b)=0, 若能再找一點，使得，則在區間上兩次利用羅爾定理有一階導函式相等的兩點，再對用羅爾定理即可。
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