空間幾何體的表面積和體積習題講解
一．課標要求：
了解球、稜柱、稜錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）。
二．命題走向
近些年來在高考中不僅有直接求多面體、旋轉體的面積和體積問題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關係問題。即使考查空間線面的位置關係問題，也常以幾何體為依託.因而要熟練掌握多面體與旋轉體的概念、性質以及它們的求積公式.
同時也要學會運用等價轉化思想，會把組合體求積問題轉化為基本幾何體的求積問題，會等體積轉化求解問題，會把立體問題轉化為平面問題求解，會運用「割補法」等求解。
考查形式：
（1）用選擇、填空題考查本章的基本性質和求積公式；
（2）考題可能為：與多面體和旋轉體的面積、體積有關的計算問題；與多面體和旋轉體中某些元素有關的計算問題；
三．要點精講
1．多面體的面積和體積公式
表中s表示面積，、分別表示上、下底面周長，表斜高，表示斜高，表示側稜長。
2．旋轉體的面積和體積公式
表中、分別表示母線、高，表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，、分別表示圓台上、下底面半徑，表示半徑。
四．典例解析
題型1：柱體的體積和表面積
例1．乙個長方體全面積是20cm2，所有稜長的和是24cm，求長方體的對角線長.
解：設長方體的長、寬、高、對角線長分別為、ycm、zcm、lcm
依題意得：
由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）
由（3）－（1）得x2+y2+z2=16
即l2=16
所以l=4(cm)。
點評：涉及稜柱面積問題的題目多以直稜柱為主，而直稜柱中又以正方體、長方體的表面積多被考察。我們平常的學習中要多建立一些重要的幾何要素（對角線、內切）與面積、體積之間的關係。
例2．如圖1所示，在平行六面體abcd—a1b1c1d1中，已知ab=5，ad=4，aa1=3，ab⊥ad，∠a1ab=∠a1ad=。
（1）求證：頂點a1在底面abcd上的射影o在∠bad的平分線上；
（2）求這個平行六面體的體積。
圖1圖2
解析：（1）如圖2，鏈結a1o，則a1o⊥底面abcd。作om⊥ab交ab於m，作on⊥ad交ad於n，鏈結a1m，a1n。
由三垂線定得得a1m⊥ab，a1n⊥ad。∵∠a1am=∠a1an，
∴rt△a1na≌rt△a1ma,∴a1m=a1n，
從而om=on。
∴點o在∠bad的平分線上。
（2）∵am=aa1cos=3×=
∴ao==。
又在rt△aoa1中，a1o2=aa12 – ao2=9－=，
∴a1o=，平行六面體的體積為。
題型2：柱體的表面積、體積綜合問題
例3．乙個長方體共一頂點的三個面的面積分別是，這個長方體對角線的長是（ ）
a．2b．3c．6d．
解析：設長方體共一頂點的三邊長分別為a=1，b＝，c＝，則對角線l的長為l=；答案d。
點評：解題思路是將三個面的面積轉化為解稜柱面積、體積的幾何要素—稜長。
例4．如圖，三稜柱abc—a1b1c1中，若e、f分別為ab、ac 的中點，平面eb1c1將三稜柱分成體積為v1、v2的兩部分，那麼v1∶v2= _____。
解：設三稜柱的高為h，上下底的面積為s，體積為v，則v=v1+v2＝sh。
∵e、f分別為ab、ac的中點，
∴s△aef=s,
v1=h(s+s+)=sh
v2=sh-v1=sh，
∴v1∶v2=7∶5。
點評：解題的關鍵是稜柱、稜臺間的轉化關係，建立起求解體積的幾何元素之間的對應關係。最後用統一的量建立比值得到結論即可。
題型3：錐體的體積和表面積
例5． （2008山東卷6）
右圖是乙個幾何體的三檢視，根據圖中資料，可得該幾何體的表面積是d
(a)9π （b）10π
(c)11d)12π
（2008江西卷10）
鏈結球面上兩點的線段稱為球的弦。半徑為4的球的兩條弦、的長度分別等於、，、分別為、的中點，每條弦的兩端都在球面上運動，有下列四個命題：
①弦、可能相交於點弦、可能相交於點
③的最大值為5的最小值為1
其中真命題的個數為c
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
（2008湖北卷3）
用與球心距離為的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為b
abcd.
點評：本小題重點考查線面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、稜錐的體積。在能力方面主要考查空間想象能力。
例6．（2008北京，19）．
（本小題滿分12分）
如圖，在四稜錐中，平面平面，，是等邊三角形，已知，．
（ⅰ）設是上的一點，證明：平面平面；
（ⅱ）求四稜錐的體積．
（ⅰ）證明：在中，
由於，，，
所以．故．
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又平面，
故平面平面．
（ⅱ）解：過作交於，
由於平面平面，
所以平面．
因此為四稜錐的高，
又是邊長為4的等邊三角形．
因此．在底面四邊形中，，，
所以四邊形是梯形，在中，斜邊邊上的高為，
此即為梯形的高，
所以四邊形的面積為．
故．點評：本題比較全面地考查了空間點、線、面的位置關係。要求對圖形必須具備一定的洞察力，並進行一定的邏輯推理。
題型4：錐體體積、表面積綜合問題
例7．abcd是邊長為4的正方形，e、f分別是ab、ad的中點，gb垂直於正方形abcd所在的平面，且gc＝2，求點b到平面efc的距離？
解：如圖，取ef的中點o，連線gb、go、cd、fb構造三稜錐b－efg。
設點b到平面efg的距離為h，bd＝，ef，co＝。
。而gc⊥平面abcd，且gc＝2。
由，得·
點評：該問題主要的求解思路是將點麵的距離問題轉化為體積問題來求解。構造以點b為頂點，△efg為底面的三稜錐是解此題的關鍵，利用同乙個三稜錐的體積的唯一性列方程是解這類題的方法，從而簡化了運算。
例8．（2007江西理，12）
如圖，在四面體abcd中，截面aef經過四面體的內切球（與四個面都相切的球）球心o，且與bc，dc分別截於e、f，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設四稜錐a－befd與三稜錐a－efc的表面積分別是s1，s2，則必有（ ）
a．s1 s2 b．s1 s2
c．s1=s2 d．s1，s2的大小關係不能確定
解：連oa、ob、oc、od，
則va－befd＝vo－abd＋vo－abe＋vo－befd
va－efc＝vo－adc＋vo－aec＋vo－efc又va－befd＝va－efc，
而每個三稜錐的高都是原四面體的內切球的半徑，故sabd＋sabe＋sbefd＝sadc＋saec＋sefc又面aef公共，故選c
點評：該題通過復合平面圖形的分割過程，增加了題目處理的難度，求解稜錐的體積、表面積首先要轉化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對應關係。
題型5：稜臺的體積、面積及其綜合問題
例9．（2008四川理，19）
．（本小題滿分12分）
如圖，面abef⊥面abcd，四邊形abef與四邊形abcd都是直角梯形，∠bad=∠fab=90°，bc∥ad，be∥af，g、h分別是fa、fd的中點。
(ⅰ)證明：四邊形bchg是平行四邊形；
(ⅱ)c、d、e、f四點是否共面？為什麼？
(ⅲ)設ab=be，證明：平面ade⊥平面cde.
)解法一：
(ⅰ)由題設知，fg=ga,fh=hd.
所以gh ，
又bc,故gh bc.
所以四邊形bchg是平行四邊形.
(ⅱ)c、d、f、e四點共面.理由如下：
由be,g是fa的中點知，begf，所以ef∥bg.
由(ⅰ)知bg∥gh，故fh共面.又點d在直線fh上.
所以c、d、f、e四點共面.
(ⅲ)鏈結eg，由ab=be，beag及∠bag=90°知abeg是正方形.
故bg⊥ea.由題設知，fa、ad、ab兩兩垂直，故ad⊥平面fabe，
因此ea是ed在平面fabe內的射影，根據三垂線定理，bg⊥ed.
又ed∩ea＝e，所以bg⊥平面ade.
由(ⅰ)知，ch∥bg，所以ch⊥平面ade.由(ⅱ)知f平面cde.故ch平面cde，得平面ade⊥平面cde.
解法二：
由題設知，fa、ab、ad兩兩互相垂直.
如圖，以a為座標原點，射線ab為x軸正方向建立直角座標系a-xyz.
(ⅰ)設ab=a,bc=b,be=c，則由題設得
a(0,0,0),b(a,0,0),c(a,b,0),d(0,2b,0),e(a,0,c),g(0,0,c),h(0,b,c).
所以，於是又點g不在直線bc上.
所以四邊形bchg是平行四邊形.
(ⅱ)c、d、f、e四點共面.理由如下：
由題設知，f(0,0,2c)，所以
(ⅲ)由ab=be，得c=a，所以
又即 ch⊥ae,ch⊥ad,
又ad∩ae =a,所以ch⊥平面ade,
故由ch平面cdfe，得平面ade⊥平面cde.
點評：該題背景較新穎，把求二面角的大小與證明線、面平行這一常規運算置於非規則幾何體（擬柱體）中，能考查考生的應變能力和適應能力，而第三步研究擬柱體的近似計算公式與可精確計算體積的辛普生公式之間計算誤差的問題，是極具實際意義的問題。考查了考生繼續學習的潛能。
例10．（1）（2008四川理，8）
設是球心的半徑上的兩點，且，分別過作垂線於的面截球得三個圓，則這三個圓的面積之比為：( d )
20130727空間幾何體的表面積和體積列印5份
空間幾何體的表面積和體積20130727 2.幾何體的表面積 1 稜柱 稜錐 稜臺的表面積就是各面面積之和 2 圓柱 圓錐 圓台的側面展開圖分別是矩形 扇形 扇環形 它們的表面積等於側面積與底面面積之和 1 母線長為1的圓錐的側面展開圖的圓心角等於 則該圓錐的體積為 a.b.c.d.2 將邊長為a的...
44空間幾何體的表面積與體積
一選擇題 本大題共6小題,每小題6分,共36分,將正確答案的代號填在題後的括號內.1.將乙個長方體沿從同乙個頂點出發的三條稜截去乙個稜錐,稜錐的體積與剩下的幾何體的體積之比為 a.1 2b.1 3 c.1 4d.1 5 2.如圖,在多面體abcdef中,已知四邊形abcd是邊長為1的正方形,且 ad...
學案42空間幾何體的表面積與體積
自主梳理 1 多面體的表面積 1 設直稜柱高為h，底面多邊形的周長為c，則s直稜柱側 2 設正n稜錐底面邊長為a，底面周長為c，斜高為h 則s正稜錐側 3 設正n稜台下底面邊長為a，周長為c，上底面邊長為a 周長為c 斜高為h 則 s正稜臺側 4 設球的半徑為r，則s球 2 幾何體的體積公式 1 柱...