已知橢圓：的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
⑴求橢圓c的方程；
⑵設，、是橢圓上關於軸對稱的任意兩個不同的點，鏈結交橢圓於另一點，求直線的斜率的取值範圍；
⑶在⑵的條件下，證明直線與軸相交於定點．
解：⑴由題意知，所以，即，又因為，所以，故橢圓的方程為：．
⑵由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為 ①
聯立消去得：，
由得，又不合題意，
所以直線的斜率的取值範圍是或．
⑶設點，則，直線的方程為，
令，得，將代入整理，得． ②由得①代入②整理，得，
所以直線與軸相交於定點．
109．【2010·江西省重點中學】第二次聯考】已知動圓p過點並且與圓相外切，動圓圓心p的軌跡為w，過點n的直線與軌跡w交於a、b兩點。
（1）求軌跡w的方程；
（2）若，求直線的方程；
（3）對於的任意一確定的位置，在直線上是否存在一點q，使得，並說明理由。
解：（1）依題意可知 ∴，∴點p的軌跡w是以m、n為焦點的雙曲線的右支，設其方程為則 ∴，∴軌跡w的方程為
（2）當的斜率不存在時，顯然不滿足，故的斜率存在，設的方程為，由得，又設，則
由①②③解得，∵ ∴
∴ 代入①②得，
消去得，即，故所求直線的方程為：；
（3）問題等價於判斷以ab為直徑的圓是否與直線有公共點
若直線的斜率不存在，則以ab為直徑的圓為，可知其與直線相交；若直線的斜率存在，則設直線的方程為，
由（2）知且，又為雙曲線的右焦點，雙曲線的離心率e=2，則
設以ab為直徑的圓的圓心為s，點s到直徑的距離為d，則
∴∵ ∴即，即直線與圓s相交。綜上所述，以線段ab為直徑的圓與直線相交；
故對於的任意一確定的位置，與直線上存在一點q（實際上存在兩點）使得
110．【2010·北京海淀第二學期期中練習】已知橢圓c的對稱中心為原點o，焦點在軸上，離心率為，且點在該橢圓上.
（i）求橢圓c的方程；
（ii）過橢圓c的左焦點的直線與橢圓c相交於a，b兩點，若的面積為，求圓心在原點o且與直線l相切的圓的方程.
解：（i）設橢圓c的方程為，由題意可得，
又，因為橢圓c經過，代入橢圓方程有，解得，所以故橢圓c的方程為
（ii）解法一： 當直線l軸時，計算得到：
，不符合題意。
當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為：，由
顯然，則
又=即,又圓o的半徑
所以化簡，得
解得（舍）,所以，故圓o的方程為：
（ii）解法二：設直線的方程為，
由,因為，
則所以所以,化簡得到，解得（舍）,
又圓o的半徑為,所以，故圓o的方程為：;
114．【2010·海淀一模】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，左右焦點分別為，，且，點在橢圓上．
⑴求橢圓的方程；
⑵過的直線與橢圓相交於、兩點，且的面積為，求以為圓心且與直線相切的圓的方程．
解：⑴設橢圓的方程為，由題意可得：橢圓兩焦點座標分別為，．∴．∴，又，，故橢圓的方程為．
⑵當直線軸，計算得到：，，，不符合題意．當直線與軸不垂直時，設直線的方程為：，由，消去y得．顯然成立，設，，則，．
又即，又圓的半徑．
所以，化簡，得，即，解得．所以，．
故圓的方程為：．
⑵另解：設直線的方程為，由，消去得，恆成立，設，，則，．
所以．又圓的半徑為．
所以，解得，
所以．故圓的方程為：．
107. 【2010 福建理數】已知中心在座標原點o的橢圓c經過點a（2，3），且點f（2，0）為其右焦點。
（1）求橢圓c的方程；
（2）是否存在平行於oa的直線，使得直線與橢圓c有公共點，且直線oa與的距離等於4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由。
解：（1）依題意，可設橢圓c的方程為，且可知左焦點為
96. 【2010 遼寧文數】 設，分別為橢圓的左、右焦點，過的直線與橢圓相交於,兩點，直線的傾斜角為，到直線的距離為.
（ⅰ）求橢圓的焦距；
（ⅱ）如果,求橢圓的方程.
解：（ⅰ）設焦距為，由已知可得到直線l的距離
所以橢圓的焦距為4
（ⅱ）設直線的方程為
聯立解得因為即得故橢圓的方程為
103. 【2010 天津文數】已知橢圓（a>b>0）的離心率e=，連線橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.
（ⅰ）求橢圓的方程；
（ⅱ）設直線l與橢圓相交於不同的兩點a、b，已知點a的座標為（-a，0）.
（i）若，求直線l的傾斜角；
（ii）若點q**段ab的垂直平分線上，且.求的值.
解：本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、兩點間的距離公式、直線的傾斜角、平面向量等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質及數形結合的思想，考查綜合分析與運算能力.滿分14分.
（ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b.
由題意可知，即ab=2.
解方程組得a=2，b=1.
所以橢圓的方程為.
(ⅱ)(i)解：由（ⅰ）可知點a的座標是（-2,0）.設點b的座標為，直線l的斜率為k.則直線l的方程為y=k（x+2）.
於是a、b兩點的座標滿足方程組消去y並整理，得
.由，得.從而.
所以.由，得.
整理得，即，解得k=.
所以直線l的傾斜角為或.
（ii）解：設線段ab的中點為m，由（i）得到m的座標為.
以下分兩種情況：
（1）當k=0時，點b的座標是（2,0），線段ab的垂直平分線為y軸，於是
由，得。
（2）當時，線段ab的垂直平分線方程為。
令，解得。
由，，，
整理得。故。所以。
綜上，或
104. 【2010 天津理數】已知橢圓的離心率，連線橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4。
（1） 求橢圓的方程；
（2） 設直線與橢圓相交於不同的兩點，已知點的座標為（），點**段的垂直平分線上，且，求的值
【解析】本小題主要考察橢圓的標準方程和幾何性質，直線的方程，平面向量等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質及數形結合的思想，考查運算和推理能力，滿分12分
解：（1）由，得，再由，得
由題意可知，
解方程組得 a=2,b=1
所以橢圓的方程為
(2)由（1）可知a（-2,0）。設b點的座標為（x1,,y1）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+2),
於是a,b兩點的座標滿足方程組
由方程組消去y並整理，得
由得設線段ab是中點為m，則m的座標為
以下分兩種情況：
（1）當k=0時，點b的座標為（2,0）。線段ab的垂直平分線為y軸，於是
（2）當k時，線段ab的垂直平分線方程為
令x=0，解得
由整理得
綜上3．如圖，已知橢圓的中心在座標原點，焦點在軸上，它的乙個頂點為（0，），且離心率等於，過點（0，2）的直線與橢圓相交於，不同兩點，點**段上．
（ⅰ）求橢圓的標準方程；
（ⅱ）設，試求的取值範圍．
3. 解：（ⅰ）設橢圓的標準方程為 ……1分
因為它的乙個頂點為（0，），所以，由離心率等於，得，解得，所以橢圓的標準方程為……4分
（ⅱ）設，，，若直線與軸重合，則，得，得；……1分
若直線與軸不重合，則設直線的方程為，與橢圓方程聯立消去得，得①，②，……2分
由得，整理得，將①②代入得，又點在直線上，所以，……2分
於是有，因此，由得
，所以，綜上所述，有 ……2分
4.（2010瀋陽三模）
在平面直角座標系中，已知向量， ，且滿足，動點的軌跡為c．
（i）求軌跡c的方程，並說明該方程所表示的軌跡的形狀；
（ii）若已知圓o:，當時，過點m作圓o的切線，切點為a、b，求向量的最大值和最小值．
4. （i）,
,即2分
當時，，解得，表示兩條與軸平行的直線，
當時，，表示中心在座標原點焦點在軸上的雙曲線，
當時，，表示以原點為圓心，半徑為2的圓，
當時，，表示中心在座標原點焦點在軸上的橢圓，
當時，表示中心在座標原點焦點在軸上的橢圓． ………7分(少乙個扣一分)
（ii）當時，曲線c的方程為：，
設，則8分
∵ma與圓o相切於a,
∴在中，,
即10分
由，得,
∴,∵,
∴當時，取得最小值為,
當時，取得最大值為12分
５．已知圓c1的方程為,橢圓c2的方程為，其離心率為，如果c1與c2相交於a、b兩點，且線段ab恰為圓c1的直徑.
（ⅰ）求直線ab的方程和橢圓c2的方程；
（ⅱ）如果橢圓c2的左右焦點分別是,橢圓上是否存在點p,使得,如果存在，請求點p的座標，如果不存在，請說明理由.
5. 解：(ⅰ) 解法一：
若直線斜率不存在，則直線的方程為，由橢圓的對稱性可知，，兩點關於軸對稱，a,b的中點為（4，0），又線段ab恰為圓的直徑，則圓心為（4，0），這與已知圓心為（4，1）矛盾，因此直線斜率存在，…………1分
所以可設ab直線方程為，且設a(x1,y1)、b(x2,y2), 設橢圓方程,…………………2分
將ab直線方程為代入到橢圓方程得，即（14分
，解得，故直線ab的方程為,…………6分
將代入方程（1）得5x2－40x+100－4b2=0. ，
，得7分
=，得，解得b2=9..
故所求橢圓方程為8分
解法二： 設橢圓方程,…………1分
又設a(x1,y1)、b(x2,y2),則,
又,兩式相減，得，……3分
即(x1+x2)(x1－x2)+4(y1+y2)(y1－y2)=0，.
若，直線的方程為，由橢圓的對稱性可知，，兩點關於軸對稱，a,b的中點為（4，0），又線段ab恰為圓的直徑，則圓心為（4，0），這與已知圓心為（4，1）矛盾，所以.
因此直線斜率存在,且=－1,故直線ab的方程為, ……5分
代入橢圓方程，得5x2－40x+100－4b2=06分
，，得.……………………7分
|ab|=,
得，解得b2=9.故所求橢圓方程為. ……8分
(ⅱ)因為的中點是原點,
所以,所以與共線， …………………10分，
而直線ab的方程為y=－x+5,所以直線所在的直線方程為y=－x.
，或.所以p點座標為12分
7.（2010錦州三模）
圓錐曲線講義一
金牌數學高三專題系列之圓錐曲線 1 直線方程 2 點與直線 3 圓的方程 4 點與圓 5 直線與圓 6 圓與圓 7 橢圓 8 雙曲線 9 拋物線 題型一 直線方程 例2.直線當變動時，所有直線都通過定點 a 0，0b 0，1 c 3，1d 2，1 拓展變式練習 1 已知直線l1 x my 6 0,l...
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3月13日每日練一練 觀日出日出須早起。四點鐘還不到，我就起身，沿著海邊的大路，向著東山走去。我走得很快，不久，便爬上了山頂。殘 c n 雲已經散盡了。幾顆晨星在那晴朗的天空中，閃爍 shu 著漸漸淡下去的光輝 hu 東方的天空泛起了粉紅色的霞 xi 光。天邊的朝霞變濃變淡，粉紅的顏色漸漸變為桔紅，...
圓錐曲線總結
橢圓雙曲線拋物線 解析幾何與向量綜合時可能出現的向量內容 1 給出直線的方向向量或 2 給出,等於已知是的中點 3 給出以下情形之一 存在實數 若存在實數,等於已知三點共線.4 給出,等於已知是 5 在平行四邊形中，給出，等於已知是 6 在平行四邊形中，給出，等於已知是 7 在中，給出，等於已知是的...