一、極座標方程與直角座標方程的互化
互化條件：極點與原點重合，極軸與x軸正半軸重合，長度單位相同.
互化公式： 或
θ的象限由點(x,y)所在的象限確定.
例1(2007海南寧夏)⊙o1和⊙o2的極座標方程分別為，．
(i)把⊙o1和⊙o2的極座標方程化為直角座標方程；
(ii)求經過⊙o1，⊙o2交點的直線的直角座標方程．
解：以極點為原點，極軸為x軸正半軸，建立平面直角座標系，兩座標係中取相同的長度單位．
(i)，，由得．所以．
即為⊙o1的直角座標方程．
同理為⊙o2的直角座標方程．
(ii)解法一:由解得，
即⊙o1，⊙o2交於點(0,0)和(2,－2)．過交點的直線的直角座標方程為y=－x．
解法二: 由,兩式相減得－4x-4y=0,即過交點的直線的直角座標方程為y=－x．
評述:本題主要考查曲線的極座標方程化為直角座標方程的方法及兩圓公共弦所在直線方程的求法.
例2(2003全國)圓錐曲線的準線方程是
(a) (b) (c) (d)
解: 由去分母後兩邊同時乘以得:,所以x2=8y ,其準線方程為y=,在極座標系中方程為,故選c.
例3(2023年上海)以直角座標系的原點o為極點,x軸的正半軸為極軸建立極座標系,若橢圓兩焦點的極座標分別是(1,),(1,),長軸長是4,則此橢圓的直角座標方程是
解：由已知條件知橢圓兩焦點的直角座標為(0,1),(0,-1).c=1,a=2,b2=a2-c2=3,
故所求橢圓的直角座標方程為=1
評述：點的直角座標與極座標的互化、曲線的極座標方程與直角座標方程的互化要熟練掌握.
類題:1(2023年上海)把直角座標系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,並且在兩種座標系中取相同的長度單位.若曲線的極座標方程是,則它的直角座標方程是答案:3x2-y2=1)
2(2023年全國)曲線的極座標方程=4sin化成直角座標方程為
(a) x2+(y+2)2=4 (b) x2+(y-2)2=4
(c) (x-2)2+y2=4 (d) (x+2)2+y2=4答案:b)
3(2002北京)已知某曲線的引數方程是(為引數)若以原點為極點,x軸的正半軸為極軸,長度單位不變，建立極座標系，則該曲線的極座標方程是
(a) (b) (c) (d) (答案:d)
二、已知曲線的極座標方程,判斷曲線型別
常見的直線和圓的極座標方程及極座標系中的旋轉不變性:
1、直線的極座標方程(a>0)
(1)過極點,並且與極軸成α角的直線的極座標方程:=α;
(2)垂直於極軸和極點間的距離為a的直線的極座標方程:cos=a;
(3)平行於極軸和極軸間的距離為a的直線的極座標方程:sin=a;
(4)不過極點,和極軸成角,到極點距離為a的直線的極座標方程:
sin(α-θ)=a.
2、圓的極座標方程(a>0)
(1)圓心在極點,半徑為a的圓的極座標方程: =a;
(2)圓心在(a,0),半徑為a的圓的極座標方程: =2acos;
(3)圓心在(a,),半徑為a的圓的極座標方程: =;
(4)圓心在(a,),半徑為a的圓的極座標方程: =2asin;
(5)圓心在(a,),半徑為a的圓的極座標方程: =;
(6)圓心在(a, 0),半徑為a的圓的極座標方程: =2acos(-0).
3、極座標系中的旋轉不變性:
曲線f(,+)=0是將曲線f(,)=0繞極點旋轉||角(時,按順
時針方向旋轉,時,按逆時針方向旋轉)而得到.
例4(2023年全國)極座標方程4sin2=5所表示的曲線是
(a)圓b)橢圓 (c)雙曲線的一支 (d)拋物線
解:由已知極座標方程及三角公式得:2(1-cos)=5,
∴2=2cos+5,由互化公式得2=2x+5,平方整理得
y2=5(x+),方程表示的曲線是拋物線,故選d.
評述:對於給出的極座標方程相對於極座標系而言不是標準的,一般將其等價轉化為直角座標方程來判斷其曲線型別.
類題:1(2023年三南)極座標方程4sin2=3表示的曲線是
(a)二條射線 (b)二條相交直線 (c) 圓 (d) 拋物線 (答案:b)
2(2023年全國)極座標方程=sin+2cos所表示的曲線是
(a)直線 (b)圓c)雙曲線 (d) 拋物線 (答案:b)
3(2023年廣東、河南)極座標方程2cos2=1所表示的曲線是
(a)兩條相交直線 (b)圓 (c)橢圓 (d)雙曲線 (答案:d)
4(2003北京)極座標方程表示的曲線是
(a)圓b)橢圓c)拋物線 (d)雙曲線 (答案:d)
例5(2023年全國)極座標方程=cos(-)所表示的曲線是
(a) 雙曲線b)橢圓 (c)拋物線 (d)圓
解:曲線=cos(-)=cos(-)是把圓=cos繞極點按逆時針方向旋
轉而得,曲線的形狀仍然是乙個圓,故選d
評述:把曲線的極座標方程化為直角座標方程較為麻煩,利用旋轉不變性則更容易得出答案.方程cos(-0)=0表示一條直線,方程=acos(-0)表示半徑為,
圓心為(,0)的圓,要注意兩者的區別.
例6(2023年全國)極座標方程=2sin(+)的圖形是
(abcd)
解:圓=2sin(+)是把圓=2sin繞極點按順時針方向旋轉而得,圓心的極座標為(1,),故選c.
類題:1(2002江蘇)極座標方程與=的圖形是
(abcd)
(答案:b)
2(2004北京春)在極座標系中，圓心在(且過極點的圓的方程為
(a) (b) (c) (d)
(答案:b)
三、判斷曲線位置關係
例7(2023年京皖春)直線=和直線sin(-)=1的位置關係
(a) 垂直 (b) 平行 (c) 相交但不垂直 (d) 重合
解:直線sin(-)=1是把直線sin=1繞極點按逆時針方向旋轉角而得, 從而兩直線平行,故選b.
評注:對直線sin(-)=1與直線sin=1的關係要十分熟悉.
四、根據條件求直線和圓的極座標方程
例8(2002北京春)在極座標系中,如果乙個圓的方程是=4cos+6sin，那麼過圓心且與極軸平行的直線方程是
(a) sin=3 (b) sin = –3 (c) cos =2 (d) cos = –2
解:將圓的極座標方程化為直角座標方程得:x2+y2=4x+6y,即(x-2)2+(y-3)2=13.
圓心為(2,3),所求直線方程為y=3,即sin=3,故選a.
評述:注意直線的直角座標方程極易求出.
類題:1(2023年上海)在極座標方程中,與圓=4sin相切的一條直線的方程是
(a) sin=2 (b)cos=2 (c)cos= 4 (d) cos=- 4(答案:b)
2(2023年上海)在極座標方程中,過點m(2,)且平行於極軸的直線的極座標方程是答案: sin=2)
3(2023年上海)已知點p的極座標為(1,),那麼過點p且垂直於極軸的
直線的極座標方程為
(a)=1 (b)=cos (c)= (d)= (答案:c)
4(2023年全國)以極座標系中點(1,1)為圓心,1為半徑的圓的方程是
(a)=2cos(-) (b)=2sin(-) (c)=2cos(-1) (d)=2sin(-1)
答案:c)
五、求曲線中點的極座標
例9(2003上海)在極座標系中，定點a(1,),點b在直線上運動，當線段ab最短時，點b的極座標是
解:在直角座標系中,a點座標為(0,1),b在直線x+y=0上, ab最短,則b為,化為極座標為.
例10(2023年上海)極座標方程52cos2+2-24=0所表示的曲線焦點的極座標為
解:由52cos2+2-24=0得52(cos2-sin2)+2-24=0化為直角座標方程得,該雙曲線的焦點的直角座標為(,0)與(-,0),故所求焦點的極座標為(,0)、(,).
評述:本題考查圓錐曲線極座標方程的基礎知識,掌握點的直角座標與極座標的對應關係極為有用.
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