第一題（35分）
如圖，半徑為r、質量為m的半球靜置於光滑水平桌面上，在半球頂點上有一質量為m、半徑為r的勻質小球。某時刻，小球受到微小的擾動後由靜止開始沿半球表面運動。在運動過程中，小球相對於半球的位置由角位置θ描述，θ為兩球心的連線與豎直方向之間的夾角。
已知小球繞其對稱軸的轉動慣量為。小球與半球間的動摩擦因數為μ。假定最大靜摩擦力等於滑動摩擦力。
重力加速度大小為g。
(1) (15分）小球開始運動後在一段時間內做純滾動，求在此過程中，當小球的角位置為θ1時，半球運動的速度大小vm(θ1)和加速度大小am(θ1)；
(2) (15分）當小球純滾動到角位置θ2時開始相對於半球滑動，求θ2所滿足的方程（用半球
速度大小vm(θ2)和加速度大小am(θ2)以及題給條件表示)；
(3) (5分）當小球剛好運動到角位置θ3時脫離半球，求此時小球質心相對於半球運動速度的
大小vm(θ3)。
第二題(35分)
平行板電容器極板i和2的面積均為s，水平固定放置，它們之間的距離為d，接入如圖所示的電路中，電源的電動勢記為u。不帶電的導體薄平板3 (厚度忽略不計）的質量為m、尺寸與電容器極板相同。平板3平放在極板2的正上方，且與極板2有良好的電接觸。
整個系統置於真空室內，真空的介電常量為。閉合電鍵k後，平板3與極板1和2相繼碰撞，上下往復運動。假設導體板間的電場均可視為勻強電場，導線電阻和電源內阻足夠小，
充放電時間可忽略不計；平板3與極板1或2碰撞後立即在極短時間內達到靜電平衡；所有碰揸都是完全非彈性的。重力加速度大小為g。
(1) （17分）電源電動勢u至少為多大？
(2) （18分）求平板3運動的週期（用u和題給條件表示）。
己知積分公式,其中a>0，c為積分常數。
第三題：(35分)
如圖，質量線密度為、不可伸長的軟細繩跨過一盤狀定滑輪，定滑輪半徑為r，軸離地面高度為l。系統原處於靜止狀態。在t=0滑輪開始以恆定角速度逆時針轉動，繩子在滑輪帶動下開始運動，繩子與滑輪間的動摩擦因數為。
滑輪兩側的繩子在運動過程中始終可視為沿豎直方向，繩的兩端在運動過程中均沒有離開地面，地面上的繩子可視為集中在一點。己知重力加速度大小為g，繩子在與滑輪左、右側相切處的張力分別記為t1、t2 (均非己知量)。
(1) (20分）分別列出在繩子速度達到最大值之前，滑輪兩側繩子的豎直部分及滑輪上任意一小段繩子的運動所滿足的動力學方程：
(2) (15分）求繩子可達到的最大速度的大小.
（可以參考的數學關係式：，,
，c1與c2為積分常數）
第四題（35分）
如圖，一張緊的弦沿x軸水平放置，長度為l。弦的左端位於座標原點。弦可通過其左、右端與振源連線，使弦產生沿y方向的橫向受迫振動，振動傳播的速度為u。
(1)(22分）固定弦的右端p2，將其左端p1與振源連線，穩定時，左端p1的振動表示式為y(x=0,t)=a0cos(ωt)，其中a0為振幅，ω為圓頻率。
(i)(10分）己知弦上橫波的振幅在傳播方向上有袞減，衰減常量為 ( >0)，求弦上各處振動的振幅；（己知：在無限長弦上沿x軸正方向傳播的振幅逐漸衰減的橫波表示式為y(x,t)=ae-yxcos(ωt-+ ),其中a和分別為x= 0處振動的振幅和初相位。）
(ii) (12分）忽略波的振幅在傳插方向上的衰減，求弦上駐波的表示式，並確定其波腹和波節處的x座標。
(2) (13分）將p1、p2都與振源連線，p1、p2處的振動表示式分別為：y(x = 0, t )=a0cos(ωt)、y(x=l,t)=a0cos(ωt+),其中常量。忽略波的振幅在傳播方向上的衰減，分別計算和情形下弦上各處振動的表示式以及共振時圓頻率ω應滿足的條件。
第五題（35分）
質量為m的絕熱薄壁容器處於遠離其他星體的太空（可視為真空）中。在某慣性系中觀察，該容器的初始速度為零。容器的容積為v，容器中充有某種單原子分子理想氣體，氣體的初始分子數、分子質量分別為n0、m，氣體的初始溫度為t0.
t = 0時容器壁上出現面積為s的—個小孔，由於小孔漏氣導致容器開始運動，但容器沒有轉動。假設小孔較小，容器中的氣體在洩漏過程中始終處於平衡態。己知氣體分子速度沿x方向的分量vx的麥克斯韋分布函式為 f(vx) = (k為玻爾茲曼常量)。
在洩漏過程中，求：
(1) （6分）當氣體的分子數密度為n、溫度為t時在單位時間內從小孔單位面積洩出的氣體分子數；
(2) （6分）當容器中氣體溫度為t時，從小孔洩出的氣體分子相對於容器的平均動能；
(3) （15分）t時刻容器中氣體的溫度；
(4) （8分）t時刻容器運動速度的大小(假設m>>n0m)
已知積分公式： , ,
第六題(35分）
介質的折射率n可以大於0,也可以小於0。n小於0的介質稱為負折射介質。光在負折射介質內傳播，其光程為負值（相位隨傳播距離的變化規律與在折射率為正的介質中的相反）。
如果定義折射角與入射角在介面法線同側時折射角為負，可以證明折射定律在介面兩邊有負折射介質時仍然成立，即n1sinθ1= n2sinθ2其中的n1和n2均可以大於0或小於0，θ2為折射角。
(1) (10分）設想一束平行光入射到介面上，根據惠更斯原理，在答題紙上畫出圖a和圖b所示情況下進入介質2的光線及對應的子波的示意圖，並依此證明折射定律成立；
(2) (13分）如圖c所示，半徑為r的球面將空間隔開為兩個區域，其折射率分別記為n1(n1 >0 )、(n2<0), c點是球面的球心，取某一光軸與球面的交點o為原點。圖中己畫出此情形下一段入射光線和折射光線，x和.y分別為入射光線、折射光線與光軸的交點座標。
記物距為s1，像距為s2。在傍軸近似下匯出球面的成像公式和橫向放大率公式。請明確指出最後結果中各個量的正負號約定；
(3) (12分）設介質1為空氣，即n1≈1，n2可大於0也可小於0。在球面（參考圖c)前放置一普通薄凸透鏡，透鏡的光軸通過球心c，焦點位於負折射介質區域內，透鏡的焦距f = 1.5r，透鏡中心o′點與o點的距離為d。
一束沿光軸傳播的平行光入射到薄透鏡。分別就表中四組引數計算入射光在光軸上會聚點離o點的距離，並在答題紙上畫出序號4情形的光路示意圖。
第七題（35分）
在固體材料中，考慮相互作用後，可以利用「準粒子」的概念研究材料的物理性質。準粒子的動能與動量之間的關係可能與真實粒子的不同。當外加電場或磁場時，準粒子的運動往往可以用經典力學的方法來處理。
在某種二維介面結構中，存在電量為q、有效質量為m的準粒子，
它只能在x-y平面內運動，其動能k與動量大小p之間的關係可表示為，其中為正的常量。
(i) (4分）對於真實的自由粒子，動能，其中m為該粒子質量，試從動能定理出發，推導該粒子運動的速度v與動量p之間的關係式；
(2) (5分）仿照（1)的方法，推導準粒子運動的速度v與動量p之間的關係式;
(3) (4分）用動能表示準粒子運動速度的大小：
(4) (11分）將該二維介面結構置於勻強磁場中，磁場沿z軸正方向，磁感應強度大小為b，求動能為k的準粒子做勻速率圓周運動的半徑、週期和角動量的大小；
(5) (11分）將該二維介面結構放置在勻強電場中，準粒子可能在垂直於電場的方向上產生
加速度。如果電場沿x軸正方向，電場強度大小為e。當準粒子的速度大小為v (v≠α)、方向與x軸正方向成θ角時，求其運動的加速度分量ax和ay。
第八題（35分〉
熱輻射入射到反射鏡，反射鏡可利用熱輻射的輻射壓力對外做功，這一過程可以用動力學或熱學來研究。為簡化起見，將熱輻射視為一維黒體輻射，正入射到平面理想反射（完全反射）鏡上。反射
鏡所受輻射壓力與外界阻力相互平衡，以速度v做勻速運動，運動方向與入射輻射的方向相同。己知在實驗室參考係中溫度為t的一維黑體輻射譜（單位時間內在頻率附近單位頻率間隔內輻射出的輻射能）為，式中h為蒲朗克常量，k為玻爾茲曼常量，真空中的光速為c。
(1) (14分）從一維黑體輻射光子與運動理想反射鏡碰撞的動力學觀點出發，計算在實驗室
參考係中鏡子利用光子能量克服阻力做功的效率
(2) (15分）從熱學角度看，輻射的入射過程與相繼發生的反射過程可視為作為工作物質的反射鏡經歷一微小的理想熱機迴圈：入射過程可視為鏡子從高溫熱源吸熱，反射過程可視為鏡子向低溫熱源放熱，最後鏡子恢復原狀。基於這一觀點，證明在反射鏡參照系中入射輻射與反射輻射均為一維黒體輻射，並在反射鏡參照系中計算該熱機的效率。
(3) (6分）在實驗室參考係中計算該熱機的效率。
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