向量分析是向量代數和微機分運算的結合和推廣，主要研究矢性函式的極限、連續、導數、微分、積分等。而場論則是借助於向量分析這個工具，研究數量場和向量場的有關概念和性質。通過這一部分的學習，可使讀者掌握向量分析和場論這兩個數學工具，並初步接觸到運算元的概念及其簡單用法，為以後學習有關專業課程和解決實際問題，打下了必要的數學基礎。
第一章向量分析
一內容概要
1 向量分析是場論的基礎，本章主要包括以下幾個主要概念：矢性函式及其極限、連續，有關導數、微分、積分等概念。與高等數學研究過的數性函式的相應概念完全類似，可以看成是這些概念在向量分析中的推廣。
2 本章所討論的，僅限於乙個自變數的矢性函式，但在後邊場論部分所涉及的矢性函式，則完全是兩個或者三個自變數的多元矢性函式或者，對於這種多元矢性函式及其極限、連續、偏導數、全微分等概念，完全可以仿照本章將高等數學中的多元函式及其有關的相應概念加以推廣而得出。
3 本章的重點是矢性函式及其微分法，特別要注意導矢的幾何意義，即是位於的矢端曲線上的乙個切向向量，其起點在曲線上對應t值的點處，且恆指向t值增大的一方。
如果將自變數取為矢端曲線的弧長s，即矢性函式成為，則不僅是乙個恆指向s增大一方的切向向量，而且是乙個單位切向向量。這一點在幾何和力學上都很重要。
4 向量保持定長的充分必要條件是與其導矢互相垂直。因此單位向量與其導矢互相垂直。比如圓函式為單位向量，故有，此外又由於，故。（圓函式還可以用來簡化較冗長的公式，注意靈活運用）。
5 在矢性函式的積分法中，注意兩個矢性函式的數量積和兩個矢性函式的向量積的分部積分法公式有所不同，分別為：
前者與高等數學種數性函式的分部積分法公式一致，後者由兩項相減變為了求和，這是因為向量積服從於「負交換律」之故。
6 在向量代數中，在引進了向量座標之後，乙個空間量就和三個數量構成一一對應關係，而且有關向量的一些運算，例如和、差以及數量與向量的乘積都可以轉化為三個數量座標的相應運算。同樣，在向量分析中，若矢性函式採用座標表示式，則乙個矢性函式就和三個數性函式構成一一對應關係，而且有關矢性函式的一些運算，例如計算極限、求導數、求積分等亦可以轉化為對其三個座標函式的相應運算。
7 矢性函式極限的基本運算公式(14)、導數運算公式(p11)、不定積分的基本運算公式(p16)
典型例題：
教材p6例2、p10 例4、p12例6、p13例7。習題一（p19~20）
此外還有上課所講的例題。
補充：1） 設，求
2） 一質點以常角加速度沿圓周運動，試證明其加速度
，其中為速度的模。
3） 已知向量，，計算積分。
4） 已知向量，，計算積分。
第二章場論
一內容概要
1 本章按其特點可以劃分為三部分：第一部分為第一節，除介紹場的概念外，主要討論了如何從巨集觀上利用等值面（線）和向量線描述場的分布規律；第二部分為第
二、三、四節，內容主要是從微觀方面揭示場的一些重要特性；第三部分為第五節，主要介紹三種具有某種特性而又常見的向量場。其中第二部分又為本章之重點。
2 空間數量場的等值面和平面數量場的等值線以及向量場的向量線等，都是為了能夠形象直觀地體現所考察的數量或向量在場中的巨集觀分布情況而引入的概念。
比如溫度場中的等溫面，電位場中的等位面，都是空間數量場中等值面的例子；而地形圖上的等高線即為平面數量場中等值線的例子。
在向量場中，向量線可以體現場向量的分布狀況，又能體現場向量的走向。例如流場中的流線，體現了流速的分布狀況和它們的走向。此外，由於向量場中的每一點都有一條向量線通過，因此對於場中的任一條曲線c（非向量線），在其上的每一點也皆有一條向量線通過，這些向量線的全體，就構成一曲面，稱為向量面，特別的，當曲線c為封閉曲線時，向量面就成為一管形曲面，稱之為向量管。
3 有一種空間場（向量場或者數量場）具有這樣的一種幾何特點：就是在場中存在一族充滿場所在空間的平行平面，場在其中每乙個平面上的分布，都是完全相同的（若是向量場，其場向量同時也平行於這些平面）。對於這種場，只要知道場在其中任一平面的中的特性，則場在整個空間裡的特性就知道了，因此，可以將這種場簡化到這族平面中的任意乙個平面上來研究，因而，也把這種場稱為平行平面場。
在平行平面場中，通常為了研究方便，通常取所研究的這乙個平面為xoy平面。此時，在平行平面場中，場向量就可以表示成為平面向量，在平行平面數量場中，其數量就可以表示成為二元函式，並且這樣的研究結果適用於任何一塊與xoy面平行的平面。
典型例題：習題2（最好能全部做一下）
（1）求數量場通過點m(1,2,1)的等值面。
（2）求向量場通過點m(2,1,1)的向量線方程。
4 數量場中函式的方向導數是乙個數量。它表示在場中的乙個點處函式沿某一方向的變化率。詳細點說：
其絕對值的大小，表示沿該方向函式變化的快慢程度，其符號的正負，則表示沿該方向函式的變化是增加還是減小的。
若在點m處，函式可微，則函式u沿l方向的方向導數在迪卡爾座標下的計算公式為：
5 數量場的梯度是乙個向量，場中的每一點都對應著乙個梯度向量。梯度向量有兩個重要性質：
（1）梯度在任一方向上的投影，正好等於函式在該方向上的方向導數，。據此可以推出：梯度自身的方向就是方向導數最大的方向，其模就是這個最大方向導數的數值。
（2）數量場中每一點處的梯度都垂直於此數量場過該點的等值面，且指向函式值增大的一方。
梯度在直角座標系中的表示式為：
。此外，從梯度的基本運算公式可以看出，他與一元函式中導數運算的公式完全類似，這一點可以幫助大家掌握梯度的基本運算(p39)。
典型例題 p34例2，p37例3，例4，p38例5，6，習題3。
（1）求函式在點m(1,2,3)處沿向量方向的方向導數。
（2）求函式在曲面在點m(2,3,3)處沿曲面下側法線方向的方向導數。
（3）求函式在點m(2,3)處沿曲線朝x增大一方的方向導數。
（4）設r是從點到任意一點的距離，求證是在方向上的單位向量。
（5）已知一可微的數量場在點處，朝點方向的方向導數是4，朝點方向的方向導數為-2，朝點方向的方向導數為1，試確定在處的梯度，並求出朝點方向的方向導數。
（6）求數量場在點處沿過點m的等值面的外法線方向的方向導數，其中r為矢徑的模。
6向量場穿過某一曲面的通量是從某些物理量，諸如流速場中的流量、電場中的電通量、磁場中的磁通量以及熱流場中的熱量等等概念中抽象出來形成的乙個數學概念。因此通量是具有若干物理意義的。
如果是乙個封閉曲面，則向量場穿出的總通量為，
（1） 當時，則s內必有產生通量的源頭；
（2） 當時，則s內必有吸收通量的漏洞；
這兩種情況，合稱為s內有源（源頭為正源，漏洞為負源）。
（3） 當時，不能斷言s內無源，因為這時，在s內正源和負源互相抵消，也可能恰好出現總通量為零的情況。
由此可見，從穿出某個封閉曲面的總通量，可以初步了解在s內通量產生的情況，當然這僅僅是一種整體性的粗略了解，這由此引出了向量場中散度的概念。
7 向量場的散度div，是指在場中的一點處，向量場穿出乙個包含該點在內的微小區域的邊界曲面的通量對的體積變化率，即
它是乙個數量，表示此向量場在這個點處散發通量或者吸收通量的強度。具體來說，散度以絕對值表示在該點處源的強度大小。當其不為零時，以正負號表示該點處的源為正源或者負源；當其為零時，則表示該點無源，從而將散度恒為零的向量場稱為無源場。
與散度相對應的場稱為散度場。由於散度場為數量場，故亦可通過其等值面、方向導數和梯度等來揭示其分布規律和變化情況。
在直角座標系中，向量場在點m處的散度表示式為：
由此可以得出奧氏公式（高斯定理）的向量形式為：
此式表明了通量和散度之間的一種關係：穿出封閉曲面s的通量，等於s所包圍的區域上的散度在上的三重積分。
p52散度的基本運算公式。
典型例題 p44例1，p52例4，例5，習題4。
（1）設s為由圓柱面及平面和所圍成的封閉曲面，求穿出s的柱面部分的通量。
（2）已知，試確定阿a，b，c使得a是乙個無源場。
（3）求向量場所產生的散度場通過點的等值面及其在點m處沿ox軸正向的變化率。
(4) 已知，其中，，求。
8 向量場沿有向閉曲線l的環量也是從某些物理量，如力場中的功、流場中的環流以及磁場中的電流強度等概念抽象形成的乙個數學概念，和通量概念的形成極為類似，通量是乙個曲面積分，環量是乙個曲線積分。二者在向量場中都是一種整體性的概念，為了研究向量場的區域性性質，前面從通量引入了散度，這裡又可以從環量引入環量面密度的概念：
在向量場中的一點m處，取定乙個方向為，再經過點m處以為法矢作一微小曲面，同時以表示其面積，其邊界之正向與法矢構成右手螺旋關係，則場沿之正向的環量與面積之比，當沿其自身縮向m點時，其極限就稱為向量場在點m處沿方向的環量面密度（就是環量對面積的變化率），即：
可見，環量面密度概念與散度概念（通量的體密度）的構成是非常類似的，二者都是一種區域性性的概念。
設向量場，則場在點m處沿方向的環量面密度在直角座標系下的計算公式為：
9 環量面密度與散度這兩個概念的構成雖然很相似，且都是一種變化率，但二者有著重要的差別，這就是：散度和向量場中之點能構成一一對應關係，二環量面密度不僅與場中的點位置有關，而且還與從該點出發的方向有關，從乙個點出發的方向有無窮多個方向，對應的也有無窮多個環量面密度的值，所以，換輛面密度與向量中的點不能構成一一對應的關係。
環量面密度和散度的上述差別正是環量面密度和方向導數相一致的地方。這就誘導我們去尋找一種向量，使它在乙個點處和環量面密度之間的關係恰如梯度和方向導數之間的關係一樣，循此探索，就得出了旋度的概念。
10 向量場在m點處的旋度，是這樣乙個向量，它在任一方向上的投影，就等於場沿該方向的環量面密度，即有：
由此可知：旋度的方向就是環量面密度最大的方向，其模也就是這個最大環量面密度的數值。如果把旋度與向量場中的點一一對應起來，又得到乙個向量場，叫做有向量場產生的旋度場。
對於那種恒有的向量場，叫做無旋場。
向量場的旋度，在直角座標系下的計算公式為：
或者寫為：
據此可以將斯托克斯公式寫成向量形式：
此式表明了環量和旋度之間的一種關係：即沿有向封閉曲線l的環量，等於旋度沿與l的方向構成右手螺旋的方向穿過以l為邊界的曲面s的通量。
旋度之所以得名是因為在流場中速度的旋度恰好是流場中該點旋轉角速度向量乘上乙個常數2，即。
p65旋度的基本運算公式。
典型例題：p58例1，p60例2，p63例3，p65例6，習題5。
第一章向量分析與場論基礎
內容提要 1 正交曲線座標系 設有三組互相正交的曲面族由下列方程定義 在正交曲線座標中的線元 面元 體元分別為 式中 代表迴圈量1 2 3，稱拉梅係數。三種座標系中座標單位向量間的關係 柱座標與直角座標 球座標與柱座標 球座標與直角座標 2 向量及其運算 直角座標中算符的定義 乙個標量函式的梯度為 ...
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