4-1 求下列函式拉普拉斯變換反變換的初值和終值。答案
（12）
4-2 求下列函式的拉氏變換。答案
（12）
（34）
4-3 已知函式如圖4-1（a）所示，求其拉普拉氏變換。答案
圖4-1
4-4 求函式的拉普拉斯反變換。答案
4-5 利用留數法求函式的拉普拉斯反變換。答案
4-6 已知電路如圖4-2所示，求輸入時的輸出。答案
圖4-2 電路圖
4-7 已知電路如圖4-3所示，假設運放為理想運算放大器，求
（1）系統函式；
（2）使系統穩定的k值範圍。答案
圖4-3
4-8 已知系統如圖4-4所示，試求解下列問題。答案
（1）寫出系統的衝激響應，並求系統函式；
（2）畫出系統的零極點分布圖，並說明系統是否穩定；
（3）若系統激勵訊號如圖4-5所示，畫出系統響應的波形。
圖4-4圖4-5
4-9 已知系統在作用下全響應為，在作用下全響應為，求階躍電壓作用下的全響應。答案
4-10 已知系統的頻率特性模的平方為，且該系統在有一零點，求。答案
4-11 已知電路如圖6所示，（1）若初始無儲能，訊號源為，為求 (零狀態響應)，列寫轉移函式，並給出對應於的零狀態響應；（2）若起始條件以，表示(都不等於零)，但，求 (零輸入響應)。答案
圖64-1 解：
本例可利用初值定理和終值定理來求解。
初值定理為
終值定理為
應用初值定理時應注意，如果不是真分式，則需用長除法使**現真分式項，初值。
終值定理應用時一定要注意的極點必須落在左半平面且在時，只能有一階極點。
（1）顯然，在右半平面=1上存在有二階極點，因此的終值不存在；初值為
（2）不是有理分式，但可根據時移定理來求初值和終值，即
又因為在軸上有一對共軛極點，故不存在終值。
4-2 解：
（1），其中是由延時1得到，則
由時移性有
由域微分性有故。
（2），其中，，有
（3）（4）
由時移性有
，由尺度變換性有
。4-3 解：
圖1方法一：利用定義求解。因為
故方法二：利用微分、積分定理，將微分兩次，所得波形如圖1（a）（b）所示。
即顯然根據微分定理得
。由圖1（a）和圖1（b）可知，，，於是有
方法三：利用線性性，將分解為簡單訊號之和，即
而，根據時移性，有，
故4-4 解：使用部分分式展開法。
由於 ，，
則 即
4-5 解：令，得到乙個單極點和乙個二重極點。下面求各極點上的留數。
所以4-6 解：
解法一：由域模型得 所以
而所以解法二：經典解法。利用基本定理列方程，得
()由方程知
，即，。
齊次解求特解，令
代入方程得即解得
代入可得特解
求完全解
代入起始條件
解得代入得
解法三：將起始條件，代入零輸入響應，得
特解為完全解為
同理，代入零狀態條件得 ，所以
4-7 解：
（1）列方程
聯立求解，得
（2）要使系統穩定就要，即。
4-8 解：
（1）方法一：按照系統框圖求得衝激響應，根據拉普拉斯變換求系統函式。
設，按系統框圖可以求得衝激響應為
因此，系統函式為
方法二：直接求系統函式，即
（2）由可知系統函式的極點為，而零點滿足方程，也就是說，即系統的零點為，即，，其中，為任意整數。因此，在的極點和零點相互抵消，得出的系統函式零極點分布如圖2所示。
圖2圖 3
因為系統函式無極點，在整個域平面收斂，所以系統是穩定的。
（3）由圖1可知激勵為單邊週期方波，那麼響應既可用系統函式求解，又可用衝激響應求解。本題中，由於衝激響應相當於脈寬為1的矩形脈衝，因此用**法根據衝激響應卷積求解較為簡單。卷積的最後結果為一三角形脈衝。
具體過程讀者可自行分析。而用變換域法同樣也可求得。所得圖形如圖3所示。
解法如下：
由圖可知，為週期為1的週期訊號，它在第一週期內的訊號可表示為
拉氏變換為
利用週期訊號拉氏變換的公式，可求得訊號的拉氏變換，即
所以，系統響應的拉氏變換為
求其逆變換，則系統響應為
4-9 解：設該系統零輸入響應為，單位衝激響應為，則
兩式相減，然後求拉氏變換，得
在階躍電壓的作用下，零狀態響應為
即而由式①知
即所以，全響應為
4-10 解：設由求得的系統函式為。令代入表示式，得
因此，的零極點分布如圖1所示。取全部左半平面的零極點，有。
而要求的在有一零點，為了使的幅頻特性與的幅頻特性相同，兩者可以相差一全通函式，所以為
圖14-11 解：
（1）將元件用域模型表示，由分流公式得
系統本是二階的，但分子分母中有公因子，相消後變為一階的，對於求零狀態響應沒有影響。
（2）若，而，，求的是二階系統的零輸入響應，前面已說明在求時，分子分母的公因子相消，只剩下乙個極點了，因此，不能由簡化後的的極點確定系統的自然頻率。但可用其它方法求解，下面介紹兩種方法。
方法一：保留分母中的公因子，，可見有乙個二階極點-1。
故用、表示時，由原題電路可知，當時，對另兩條支路構成的迴路列kvl方程，得故
噹式①和式②中時，得方程組
所以故。方法二：利用域模型直接求零輸入響應，如圖1所示。
結果相同。
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