回扣驗收特訓(三) 不等式
1．若直線＋＝1(a＞0，b＞0)過點(1,1)，則a＋b的最小值等於( )
a．2 b．3
c．4 d．5
[解析] ∵直線＋＝1過點(1,1)，∴＋＝1.
又a，b均大於0，∴a＋b＝(a＋b)＝1＋1＋＋≥2＋2＝2＋2＝4，故選c.
[答案] c
2．已知不等式x2－2x－3＜0的解集為a，不等式x2＋x－6＜0的解集為b，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是a∩b，那麼a＋b等於( )
a．－3 b．1
c．－1 d．3
[解析] 由題意：a＝，b＝．a∩b＝，由根與係數的關係可知：a＝－1，b＝－2，
∴a＋b＝－3
[答案] a
3．函式y＝(x＞1)的最小值是( )
a．2＋2 b．2－2
c．2 d．2
[解析] ∵x＞1，
∴x－1＞0.
∴y＝＝＝＝
＝x－1＋＋2
≥2＋2(當且僅當x－1＝，即x＝＋1時等號成立)．
[答案] a
4．若點(x，y)位於曲線y＝|x－1|與y＝2所圍成的封閉區域內，則2x－y的最小值為( )
a．4 b．0
c．2 d．－4
[解析] 如圖，陰影部分封閉區域．用直線2x－y＝0，並向左上平移，過點a時，2x－y最小，
由得a(－1,2)，
∴(2x－y)min＝2×(－1)－2＝－4.
[答案] d
5．設o是座標原點，點m的座標為(2,1)．若點n(x，y)滿足不等式組則使得·取得最大值時點n有( )
a．1個 b．2個
c．3個 d．無數個
[解析] 作出可行域為如圖的△abc，
令z＝·＝2x＋y.
∵其斜率k＝－2＝kbc，∴z＝·＝2x＋y與線段bc所在的直線重合時取得最大值，∴滿足條件的點n有無數個．
[答案] d
6．(2017·山東兗州一中期中考試)設a＞0，b＞0，則下列不等式中正確的有幾個( )
(1)a2＋1＞a；(2) ≥4；
(3)(a＋b)≥4；(4)a2＋9＞6a；
a．1 b．2
c．3 d．4
[解析] a2－a＋1＝2＋＞0，故(1)正確；由基本不等式可得當且僅當a＝b＝1時(2)、(3)正確；a2－6a＋9＝(a－3)2≥0，故(4)不正確；選c.
[答案] c
7．(2017·江西九江高二期中)設m＝a＋(2＜a＜3)，n＝x(4－3x)，則m，n的大小關係為________．
[解析] ∵m＝a＋＝a－2＋＋2，
而0＜a－2＜1，又∵y＝x＋在(0,1]上單調遞減，
∴m在(2,3)上單調遞減，
∴m＞(3－2)＋＋2＝4；又0＜x＜，
∴0＜n＝x(4－3x)＝·3x(4－3x)＝2＝4.
∴m＞n.
[答案] m＞n
8．(2017·山東淄川一中階段性檢測)若不等式x2＋ax＋1≥0對一切x∈恆成立，則a的最小值為________．
[解析] 原不等式分離引數可化為
a≥－＝－在x∈恆成立．此時∈，所以a≥－.
[答案] －
9．如果實數x，y滿足條件則的取值範圍是________．
[解析] 畫出可行域如圖中的陰影部分所示．
設p(x，y)為可行域內的一點，m(1,1)，則＝kpm.
由於點p在可行域內，則由圖知kmb≤kpm≤kma.
又可得a(0，－1)，b(－1,0)，則kma＝2，kmb＝，
則≤kpm≤2，即的取值範圍是.
[答案]
10．已知關於x的不等式kx2－2x＋6k＜0(k≠0)．
(1)若不等式的解集是，求k的值；
(2)若不等式的解集是r，求k的取值範圍．
解：(1)因為不等式的解集為，
所以－3，－2是方程kx2－2x＋6k＝0的兩根且k<0.
由根與係數的關係得
解得k＝－.
(2)因為不等式的解集為r，所以即
所以k＜－.
即k的取值範圍是.
11．某外商到一開發區投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經費12萬美元，以後每年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬美元．設f(n)表示前n年的純利潤總和．
(注：f(n)＝前n年的總收入－前n年的總支出－投資額)
(1)從第幾年開始獲利？
(2)若干年後，外商為開發新專案，有兩種處理方案：
①年平均利潤最大時以48萬美元**該廠；
②純利潤總和最大時，以16萬美元**該廠；問哪種方案最合算？為什麼？
解：由題意知，每年的經費是以12為首項，4為公差的等差數列，∴f(n)＝－2n2＋40n－72.
(1)獲利就是要求f(n)＞0，所以－2n2＋40n－72＞0，解得2＜n＜18.由n∈n知從第三年開始獲利．
(2)①年平均利潤＝＝40－2≤16.
當且僅當n＝6時取等號．
故此方案共獲利6×16＋48＝144(萬美元)，此時n＝6.
②f(n)＝－2(n－10)2＋128.
當n＝10時，f(n)max＝128.
故第②種方案共獲利128＋16＝144(萬美元)，
故比較兩種方案，獲利都是144萬美元．
但第①種方案只需6年，而第②種方案需10年，故選擇第①種方案最合算．
12．(2017·山東曲阜高二期中)已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集為，
(1)求a，b；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0.
解：(1)因為不等式ax2－3x＋6＞4的解集為，所以x1＝1與x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的兩個實數根，
且b＞1.由根與系的關係得，解得，所以得.
(2)由於a＝1且b＝2，所以不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，
即x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0.
①當c＞2時，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集為；
②當c＜2時，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集為；
③當c＝2時，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集為.
綜上所述：當c＞2時，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集為；
當c＜2時，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集為；
當c＝2時，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集為.
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