第七章空間解析幾何與向量代數
（一） 向量及其線性運算
1、 向量，向量相等，單位向量，零向量，向量平行、共線、共面；
2、 線性運算：加減法、數乘；
3、 空間直角座標系：座標軸、座標面、卦限，向量的座標分解式；
4、 利用座標做向量的運算：設，，
則,；5、 向量的模、方向角、投影：
1） 向量的模：；
2） 兩點間的距離公式：
3） 方向角：非零向量與三個座標軸的正向的夾角
4） 方向余弦：
5） 投影：，其中為向量與的夾角。
（二） 向量的數量積和向量積
1、 數量積：
1）2）
運算律：
2、 向量積：
大小：，方向：符合右手規則
1）2）
運算律：反交換律
3、混合積*：
三個向量共面
（三） 平面及其方程
1、 點法式方程：
法向量：，過點
2、 一般式方程：
截距式方程：
3、 兩平面的夾角：，，
4、 點到平面的距離：
（四） 空間直線及其方程
1、 一般式方程：
2、 對稱式（點向式）方程：
方向向量：，過點
3、 引數式方程：
4、 兩直線的夾角：，，
5、 直線與平面的夾角：直線與它在平面上的投影的夾角，
6、 平面束：
， 過的交線的平面構成平面束，方程為：
（五） 曲面及其方程
1、 曲面方程的概念：
2、 旋轉曲面：
面上曲線，
繞軸旋轉一周：
繞軸旋轉一周：
3、 柱面：
表示母線平行於軸，準線為的柱面
4、 二次曲面
1） 橢圓錐面：
2） 橢球面：
旋轉橢球面：
3） 單葉雙曲面：
4） 雙葉雙曲面：
5） 橢圓拋物面：
6） 雙曲拋物面（馬鞍面）：
7） 橢圓柱面：
8） 雙曲柱面：
9） 拋物柱面：
（六） 空間曲線及其方程
1、 一般方程：
2、 引數方程：，如螺旋線：
3、 空間曲線在座標面上的投影
，消去，得到曲線在面上的投影
第八章多元函式微分法及其應用
（一） 基本概念
1、 距離，鄰域，內點，外點，邊界點，聚點，開集，閉集，連通集，區域，閉區域，有界集，無界集。
2、 多元函式：，圖形：
3、 極限：
4、 連續：
5、 偏導數：
6、 方向導數：
其中 其中為的方向角。
7、 梯度：，則。
8、 全微分：設，則
（二） 性質
1、 極限與累次極限的關係
2、 函式可微，偏導連續，偏導存在，函式連續等概念之間的關係：
3、 閉區域上連續函式的性質（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）
4、 微分法
1） 定義
2） 復合函式求導：鏈式法則
若，則， 3） 隱函式求導：兩邊求偏導，然後解方程（組）
（三） 應用
1、 極值
1） 無條件極值：求函式的極值
解方程組求出所有駐點，對於每乙個駐點，令
，，，1 若，，函式有極小值，若，，函式有極大值；
2 若，函式沒有極值；
3 若，不定。
2） 條件極值：求函式在條件下的極值
令lagrange函式
解方程組
2、 幾何應用
1） 曲線的切線與法平面
曲線，則上一點（對應引數為）處的切線方程為：
法平面方程為：
2） 曲面的切平面與法線
曲面，則上一點處的切平面方程為：
法線方程為：
第九章重積分
（一） 二重積分
1、 定義：
2、 性質：（6條）
3、 幾何意義：曲頂柱體的體積。
4、 計算：
1） 直角座標
， ，2） 極座標
（二） 三重積分
1、 定義：
2、 性質：
3、 計算：
1） 直角座標
先一後二」
先二後一」
2） 柱面座標
， 3） 球面座標
（三） 應用
曲面的面積：
第十章曲線積分與曲面積分
（一） 對弧長的曲線積分
1、 定義：
2、 性質：
1） 2）
3）在上，若，則
4）( l 為曲線弧 l的長度)
3、 計算：
設在曲線弧上有定義且連續，的引數方程為，其中在上具有一階連續導數，且，則
（二） 對座標的曲線積分
1、 定義：設 l 為面內從 a 到b 的一條有向光滑弧，函式，在 l 上有界，定義，
.向量形式：
2、 性質：
用表示的反向弧 , 則
3、 計算：
設在有向光滑弧上有定義且連續,的引數方程為
，其中在上具有一階連續導數，且，則
4、 兩類曲線積分之間的關係：
設平面有向曲線弧為，上點處的切向量的方向角為：，，，
則.（三） 格林公式
1、格林公式：設區域 d 是由分段光滑正向曲線 l 圍成，函式在
d 上具有連續一階偏導數, 則有
2、為乙個單連通區域，函式在上具有連續一階偏導數，則
曲線積分在內與路徑無關
曲線積分
在內為某乙個函式的全微分
（四） 對面積的曲面積分
1、 定義：
設為光滑曲面，函式是定義在上的乙個有界函式，
定義 2、 計算：———「一單二投三代入」
，，則（五） 對座標的曲面積分
1、 預備知識：曲面的側，曲面在平面上的投影，流量
2、 定義：
設為有向光滑曲面，函式是定義在上的有界函式，定義
同理，3、 性質：
1），則
2）表示與取相反側的有向曲面 , 則
4、 計算：——「一投二代三定號」
，，在上具有一階連續偏導數，在上連續，則,為上側取「 + 」，為下側取「 - 」.
5、 兩類曲面積分之間的關係：
其中為有向曲面在點處的法向量的方向角。
（六） 高斯公式
1、 高斯公式：設空間閉區域由分片光滑的閉曲面所圍成,的方向取外側, 函式在上有連續的一階偏導數, 則有
或2、 通量與散度
通量：向量場通過曲面指定側的通量為：
散度：（七） 斯托克斯公式
1、 斯托克斯公式：設光滑曲面的邊界是分段光滑曲線, 的側與的正向符合右手法則,在包含在內的乙個空間域內具有連續一階偏導數, 則有
為便於記憶, 斯托克斯公式還可寫作:
2、 旋度
旋度：第十一章級數
（一） 常數項級數
1、 定義：
1）無窮級數：
部分和：，
正項級數：，
交錯級數：，
2）級數收斂：若存在，則稱級數收斂，否則稱級數發散
3）條件收斂：收斂，而發散；
絕對收斂：收斂。
2、 性質：
1） 改變有限項不影響級數的收斂性；
2） 級數，收斂，則收斂；
3） 級數收斂，則任意加括號後仍然收斂；
4） 必要條件：級數收斂.（注意：不是充分條件！）
3、 審斂法
正項級數：，
1） 定義：存在；
2） 收斂有界；
3） 比較審斂法：，為正項級數，且
若收斂，則收斂；若發散，則發散.
4） 比較法的推論：，為正項級數，若存在正整數，當時，，而收斂，則收斂；若存在正整數，當時，，而發散，則發散.
5） 比較法的極限形式：，為正項級數，若，而收斂，則收斂；若或，而發散，則發散.
6） 比值法：為正項級數，設，則當時，級數收斂；則當時，級數發散；當時，級數可能收斂也可能發散.
7） 根值法：為正項級數，設，則當時，級數收斂；則當時，級數發散；當時，級數可能收斂也可能發散.
8） 極限審斂法：為正項級數，若或，則級數發散；若存在，使得，則級數收斂.
交錯級數：
萊布尼茨審斂法：交錯級數：，滿足：，且，則級數收斂。
任意項級數：
絕對收斂，則收斂。
常見典型級數：幾何級數：
p -級數：
（二） 函式項級數
1、 定義：函式項級數，收斂域，收斂半徑，和函式；
2、 冪級數：
收斂半徑的求法：，則收斂半徑
3、 泰勒級數
展開步驟：（直接展開法）
1） 求出；
2） 求出；
3） 寫出；
4） 驗證是否成立。
間接展開法：（利用已知函式的展開式）
1）；2）；
3）；4）；
5）6）
7）8）
4、 傅利葉級數
1） 定義：
正交系：函式系中任何不同的兩個函式的乘積在區間上積分為零。
傅利葉級數：
係數：2） 收斂定理：(展開定理)
設 f (x) 是週期為2的週期函式, 並滿足狄利克雷( dirichlet )條件:
1) 在乙個週期內連續或只有有限個第一類間斷點;
2) 在乙個週期內只有有限個極值點,
則 f (x) 的傅利葉級數收斂 , 且有
3） 傅利葉展開：
①求出係數：；
②寫出傅利葉級數；
③根據收斂定理判定收斂性。
多做些課後題，選擇填空選做，答題盡量都看看，起碼有個思路，解題步驟可參見相應的例題。要想不掛科，請多做課後題！
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高等數學知識點系統總結 彩版
知識點系統總結 一 對映與函式 集合及其運算 區間和鄰域 對映 函式 差集 鄰域 為任意正實數 對映 像唯一，原像不唯一 二 數列及函式的極限 數列的極限 收斂數列的性質子數列及其性質 a 唯一性 如果數列收斂，那麼它的極限唯一。如果極限不唯一，那麼極限不存在 b 有界性 若數列收斂，則它一定有界。...