知識點系統總結
一、對映與函式
、集合及其運算 、區間和鄰域 、對映 、函式
差集：鄰域： （為任意正實數）
對映：像唯一，原像不唯一
[, ]
二、數列及函式的極限
、數列的極限 、收斂數列的性質子數列及其性質
[, ]
a、 唯一性：如果數列收斂，那麼它的極限唯一。（如果極限不唯一，那麼極限不存在）
b、 有界性：若數列收斂，則它一定有界。（注：收斂數列必有界，有界數列不一定收斂。如：，該數列有界卻發散）
c、 保號性：那麼存在正整數，當時，都有
[, ]
a、 唯一性：若存在，那麼這個函式的極限唯一。
b、 區域性有界性：若則存在常數使當時，有。
c、 區域性保號性：若，則存在常數，使得當。
[, , , , , , ]
三、無窮小與無窮大及無窮小的比較
、定義 （參看課本第一章第四節）
、無窮小與無窮大之間的一種關係：
在自變數的同一變化過程中，如果為無窮大，則為無窮小；反之，如果為無窮小，且，則為無窮大。
[, , , , , , , , , , ]
、無窮小的比較
（非重點，相關內容參見課本第一章第七節）若，則是的等價無窮小，記做。
等價無窮小特例：（）
、極限運算法則、極限存在準則、兩個重要極限
、定理：有限個無窮小的和是無窮小；常數與無窮小的乘積是無窮小；有限個無窮小的乘積也是無窮小；有界函式與無窮小的乘積是無窮小；兩個無窮小的商不一定為無窮小。（）
、運算公式：
兩個重要極限：
[, , , ]
例：求 解：設
則一、微分
、定義。（參見課本第二章第五節）
、函式的微分定義式： 自變數的微分定義式：
、微分的運算：
（當微分以商的形式出現時，便成了導數。因此，微分的運算，可全部由導數的運算推出。故其運算法則不再列舉，詳情請參見後面的導數運算法則。）
、微分形式的不變性：在微分表示式中，當更換自變數時，微分的表達形式並未改變。利用該性質，我們可以使用換元法很快的求出復合函式的微分。
例：二、導數
、定義 、求導法則 、導數公式 、高階導數及隱函式的導數
函式：a、 函式和、差、積、商的求道法則：
b、 反函式的求導法則：
c、 復合函式的求導法則：（由內到外依次求導）
常數和基本初等函式的導數公式：
高階導數：二階及二階以上的導數統稱為高階導數。
（冪函式的n階導數，求一次導，降一次冪）
隱函式的導數：
、顯函式及隱函式的定義。（非重點，參見課本第二章第四節）
、隱函式的求導：、求隱函式的導數。（把方程兩邊分別對求導）
例：求由方程所確定的隱函式的導數。
解：我們把方程兩邊分別對求導數，注意，方程左邊對求導得
方程右邊對求導得
由於等式兩邊對的導數相等，所以
、求隱函式在處的導數。（先把方程兩邊分別求導，再將代入原方程求出，最後將即可）
、冪函式的求導一般用對數求導法。（先在方程兩邊取對數，再用隱函式求導方法）
例：求的導數。
解：這函式是冪指函式，為了求這個函式的導數，可以先在兩邊取對數，得
上式兩邊對求導，注意到，得
於是便得到
、由引數方程確定的導數：利用復合函式的求導法則和反函式的求導法則求解。
設有一引數方程：，則其求導公式化簡為：。
三、微分中值定理
1、費馬引理。（參見課本第三章第一節）
2、羅爾定理。（通過幾何影象，將費馬引理反映的函式關係進一步定義，得到該定理）
3、我們將羅爾定理中的乙個特殊條件：去掉，擴大羅爾定理覆蓋的範圍，使其一般化，普遍化，便得到了下面的拉格朗日中值定理：
（各個定理的理解請結合課本第三章第一節，通過各個定理所表達的幾何意義去理解它們，然後將幾何現象數學化，將定理推廣到函式中）
例：證明當時，。
證明：設顯然在區間上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此，有
因此上式即為
又故有4、我們將任意曲線的數學定義一般化，設所有曲線均由引數方程確定，即，則在曲線上任意一點處，其切線斜率為；影象兩個端點a,b連線的斜率為，則由拉格朗日中值定理可知，曲線任一點中必存在一點，滿足
該結論同樣是對拉格朗日中值定理的另一種描述，被稱為柯西中值定理。（當時，該定理即變為拉格朗日中值定理）
5.洛必達法則：
、未定式：如果當時，兩個函式都趨於零或都趨於無窮大，那麼極限可能存在，也可能不存在。通常把這樣的極限表示式叫做未定式。
通過該式的定義可以很明顯的看出，無法通過極限的運算法則求解該類極限。
、在拉格朗日中值定理中，設任意曲線的左端點為，右端點為，然後讓函式兩端點的距離無限小，即有：
由拉格朗日中值定理，得如下公式：
該公式是將柯西中值定理推廣到極限的結果，稱為洛必達法則。
例：求。
解：當時，而
該極限是個的未定式，而洛必達法則適用於求或型的未定式，因此，將原式化簡如下：
則此時可對極限式使用洛必達法則，即：
原式=6、泰勒公式：泰勒公式是拉格朗日中值定理的一種推廣表示式。當拉格朗日中值定理裡的一階導數變為階導數時，便得到了泰勒公式：
如果函式在含有的某個開區間內具有直到階的導數，則對任一
有四，函式中導數的應用
、函式的單調性與曲線的凹凸性
（利用導數判斷函式影象的單調性是高中時期的重點內容，因此在此不做過多總結）
在利用導數判斷函式部分性態中，有如下定理：
定理一：設函式在閉區間上連續，在開區間內可導，則
如果在區間，那麼函式單調遞增。
如果在區間，那麼函式單調遞減。
定理二：設連續，在內具有一階和二階導數，那麼
a、若在區間，則函式的圖形是凹的。
b、若在區間，則函式的圖形是凸的。
函式的單調性及凹凸性，主要用來幫助我們判斷函式值的大小及函式影象的形態分布等。）
、函式影象的拐點：函式二階導為零的點或者二階導不存在的部分點。（當二階導不存在時，檢查在處左、右兩側鄰近的符號。當兩側的符號相反時，點是拐點；當兩側的符號相同時，點不是拐點）
、函式的極值與最大值最小值
該知識點同樣是高中時的重點掌握內容，故在此不做重點總結。相關詳細內容可參見課本第三章第五節）
運用導數判斷函式的特殊值，有以下定理：
定理一：設函式在處可導，且，則函式在處取得極值。
定理二：設函式在處具有二階導數，且，，那麼
a、 當時，函式在處取得極大值。
b、 當時，函式在處取得極小值。
一、 不定積分
、不定積分的概念與性質 、換元積分法 、分部積分法有理函式積分
不定積分的性質：
不定積分解題時常用的方法：
a、 根號換為指數。
例：求不定積分
解：題目原式中有，故要將根號換為指數，如下：
故原式b、 當被積函式分母只有一項而分子有多項時，將分子上的項展開，而後利用不定積分的性質做題。
例：求不定積分
解：在該題中，首先要展開分子上的項，即
所以，原式=
c、 三角函式換元法（恒等式變形）
例：求不定積分
解：通過查閱積分表不難發現，基本積分裡沒有該型別的積分，故需要一定的變換，將其化簡為基本積分。且已知，故將原式化簡為
此時通過查閱基本積分表，可知
（求解該型別的題時，一定要做到對所有三角函式公式的完全記憶和熟練運用）
d、 最簡湊微法
例：求不定積分
解：由於式中有，令，將的形式，則
即原式=
e、 三角函式湊微法
（該類不定積分的求解中常可用到：、、
、、、等公式）
例：求不定積分
解：由題可知，可以從被積函式中提出乙個與湊成，而剩下的可以寫成
則原式=
f、 三角換元法（第二類換元法）
、三角換元法
例：求不定積分
解：由題可知，要想辦法將被積函式換算成基本積分表裡的式子，即去掉根號，利用，令，則原式=
高等數學知識點總結
導數公式 基本積分表 三角函式的有理式積分 一些初等函式兩個重要極限 三角函式公式 誘導公式 和差角公式和差化積公式 倍角公式 半形公式 正弦定理 餘弦定理 反三角函式性質 高階導數公式 萊布尼茲 leibniz 公式 中值定理與導數應用 曲率 定積分的近似計算 定積分應用相關公式 空間解析幾何和向...
高等數學知識點
第七章空間解析幾何與向量代數 一 向量及其線性運算 1 向量，向量相等，單位向量，零向量，向量平行 共線 共面 2 線性運算 加減法 數乘 3 空間直角座標系 座標軸 座標面 卦限，向量的座標分解式 4 利用座標做向量的運算 設，則,5 向量的模 方向角 投影 1 向量的模 2 兩點間的距離公式 3...
考研高等數學知識點總結
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