第三講不定積分
一、考試要求
1．理解原函式概念，理解不定積分的概念
2．掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質及換元積分法與分部積分法。
3．會求有理函式、三角函式有理式及簡單元理函式的積分（數
一、二）。
二、 內容提要
1、 概念與性質
（1）原函式
（2）不定積分
（3）性質：1)或
2)或一般地，
3）4)
(4) 基本積分公式表：
（1）（為常數）；（2） ；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）；（8）；
（9）；（10）；
（11）；（12）；
（13）；（14）；
（15）。
補：（1）
（2）（3）
2、 主要計算方法
(1) 第一換元積分法
常用「湊」微分公式：
(2) 第二換元積分法
根式代換
三角代換
倒代換 注：其它代換，等
1) 當被積函式中含有時令或
2) 當被積函式中含有時令或
3) 當被積函式中含有時令或
4）當被積函式的分母含有變數因子時，令.
(3) 分部積分法
常用分部積分法：
1)中為n次多項式,一般選取分別
2)中為n次多項式,一般分別選取
取3)中可選取,
分別取也可分別取
(4) 有理函式的積分:化為部分分式（數
一、二）
(5) 三角有理函式的積分: 萬能代換（數
一、二）
(6) 簡單無理函式的積分: 作變數替換（數
一、二）
三、 典型題型與例題
題型一、基本概念與性質
例1、 （893）下列等式中，正確的是
(a) (b)
(cd)
例2、設是連續函式，是的原函式，則
（a）當時奇函式時，必為偶函式
（b）當時偶函式時，必為奇函式
（c）當時週期函式時，必為週期函式
（d）當時單調增函式時，必為單調增函式
例3、設求
例4、若,求
題型二、 湊微分法
要熟記一些常見形式的湊微分，如
以及整體湊微分等
例5、求不定積分評注：本題利用了
例6、求
例7、求
例8、求
例9、例10、
例11、（=）
例12題型
三、有理函式的積分
有理函式可以化為整式與以下四種部分分式之和,
這四種部分分式及其不定積分如下:
(1)(2)(3);
(4)其中,二項式無實根,即;
且可使用分部積分法匯出遞推公式來計算（），利用配方法及分部積分法可得的表示式。
通過多項式的除法總可分解有理函式為多項式與真分式之和,在應用待定係數法時,首先要把分解的形式寫正確。
例13、求
例14、求
例15、求
例16、求
例17、求
題型四、三角有理函式的積分
三角有理式的積分是指以三角函式為變數的有理函式,由於其它三角函式皆可由表示,只需討論的形式,此類積分總可作代換,使被積函式有理化,即。以下幾種情況可作其它變換更簡單一些.
(1)(2)(3)例18、 求
例19、（962）求
例20、求
在涉及三角有理函式的不定積分中,時刻注意諸如
及兩種變形等一些三角變形，此類題目較靈活需在平時積累。有些三角函式的題目,不對被積函式作巧妙變換，難以求解。
題型五、簡單無理函式的積分
簡單無理函式積分,通常是指在被積函式中含有
形如的根式，此時一般都是
要通過變數替換將根式去掉,化為有理函式積分.具體方法是:
對第乙個可令, 即;
對第二個可令, 即
而第三個根式經過配方後,都可化為在第二換元積
分法所介紹的中的一種.
例21、求
例22、求
例23、求(根式代換,)
例24、 [分母有理化]
題型六、分部積分法
如下的三種形式常用分部積分法.
(1) ,其中為常數, 為n次多項式，選取(或)
(2) ,
其中為常數,的選取可隨意
(3),
選取，有時也可取為有理分式。
例25、求
例26、求
例27、（062，10分）求
.例28、（032）求
題型七、分段函式的不定積分
例29、設，求
題型八、綜合題
例30、已知
（1） 求
（2） 若,求
高等數學考研知識點總結
第二講導數與微分 一 考試要求 1 理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關係，理解 了解 導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義 經濟意義，含邊際和彈性 會用導數描述一些物理量，理解函式的可導性與連續性之間的關係。2 掌握導數的四則運算法則和復合函式的求導法則，掌握基...
高等數學考研知識點總結
第十講常微分方程 一 考試要求 1 了解微分方程及其階 解 通解 初始條件和特解等概念。2 掌握變數可分離的微分方程 齊次微分方程和一階線性微分方程的解法。會解伯努力方程和全微分方程，會用簡單的變數代換解某些微分方程。會用降階法解下列形式的微分方程 y n f x y f x,y 和y f y,y ...
高等數學考研知識點總結
第八講多元函式微分學 一 考試要求 1.理解多元函式的概念，理解二元函式的幾何意義。2.了解二元函式的極限與連續性的概念，以及有界閉區域上連續函式的性質。3.理解多元函式偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。4.理解方向導數與梯度的概念並掌握其...