@第八講多元函式微分學
一、考試要求
1. 理解多元函式的概念，理解二元函式的幾何意義。
2. 了解二元函式的極限與連續性的概念，以及有界閉區域上連續函式的性質。
3. 理解多元函式偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。
4. 理解方向導數與梯度的概念並掌握其計算方法。
5. 掌握多元復合函式一階、二階偏導數的求法。
6. 了解隱函式存在定理，會求多元隱函式的偏導數。
7. 了解二元函式的二階泰勒公式(數一)。
8. 理解多元函式極值和條件極值的概念，掌握多元函式極值存在的必要條件，了解二元函式極值存在的充分條件，會求二元函式的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函式的最大值和最小值，並會解決一些簡單的應用問題。
二、 內容提要
1、 多元函式的概念：z=f(x,y), (x,y)d
2、 二元函式的極限定義、連續
3、 偏導數的定義、高階偏導、全微分
z=f(x,y)
=若則 4、偏導連續可微可導(偏導)
連續極限存在
5、 復合函式求導法則
（1）多元與一元復合：設在t可微，
在與t對應的點可微，則在t處可微，且
（2）多元與多元復合：設在點存在偏導數，在與對應的點可微，則在點存在偏導數，且
6、 隱函式求導法則
要求掌握三種情形：
1）f(x,y,z)=0,
2）3）7、 二元函式的二階泰勒公式
設z=f(x,y)在點的某個鄰域內具有二階連續偏導數，為此鄰域內一點，則有
8、多元函式的極值
1) 定義
2) 可能極值點
3) 取極值的必要條件
4) 取極值的充分條件
設若, 則為z=f(x,y)的乙個極值點
9、條件極值
構造拉格朗日函式：
由解得可能極值點，再由實際問題判斷極值。
10、最值：區域內部或邊界上達到
三、典型題型與例題
題型一、基本概念題（討論偏導、連續、可微之間的關係）
例1、 設，求
例2考慮二元函式f(x,y)的下面4條性質：
在點處連續，
在點處的兩個偏導數連續，
在點處可微，
在點處的兩個偏導數存在.
若用「」表示可由性質p推出性質q, 則有
（a）. （b）.
（c）. （d）.
例3、 設
1） 在（0，0）點，函式是否連續？是否偏導數存在？是否可微？一階偏導數是否連續？
2） 求
題型二、求多元函式的偏導數和全微分
本題型包括如下幾個方面的問題
1、 初等函式的偏導數和全微分
2、 求抽象函式的復合函式的偏導數
3、 由方程所確定的隱函式的偏導數和全微分
4、 含抽象函式的方程所確定的隱函式的偏導數和全微分
5、 由方程組所確定的隱函式的偏導數
方法：直接求導法；公式法；微分形式不變性。
例4、 設，求
例5、設，求
*例6、已知函式z=z(x,y)滿足
設對函式求證.
例7、 設，有二階連續偏導數，求
例8、 設有連續偏導數，和分別由方程和確定，試求
例9設函式z = z (x, y) 由方程確定, 其中f為可微函式, 且f20, 則
(a) xb) zc) xd) z
例10 設，函式由方程
確定，其中可微，連續，求
例11、 設求
題型三：變數替換下表示式的變形
*例12、設具有二階連續偏導數，而 ，
證明題型四反問題
解題思路：由已知滿足的關係式或條件，利用多元函式微分學的方法和結論，
求出待定的函式、引數等。
例13、 已知為某一函式的全微分，求
例14、 設滿足，求
例15、設函式滿足, 試求函式f的表示式.
題型五、 多元函式的應用
1、極值的求法
步驟：1) 解方程組，，得所有駐點；
2) 對每乙個駐點，求，
，的值；
3）由的符號確定是否為極值點，是極大值點還是極小值點。
2、最值的求法
閉區域上連續多元函式的最值可能在區域內部或邊界上達到，先求出在區域內部的所有駐點以及偏導數不存在的點，比較這些點與邊界上點的函式值，最大者即為最大值，最小者即為最小值。對於實際問題一般根據實際背景來確定是否取最值（如可能極值點唯一，則極小（大）值點即最小（大）值點）。條件極值還可用拉格朗日乘數法來求。
例16、討論二元函式的極值。
例17 求橢圓與直線之間的最短距離。
*例18、（054）求f(x,y)=在橢圓域上的最大值和最小值.
*例19、(99 34) 設生產某種產品必須投入兩種要素，x1和x2分別為兩種要素的投入量，q為產出量；若生產函式為q=, 其中假設兩種要素的**分別為. 試問：當產出量為12時，兩要素各投入多少時可以使得投入總費用最小？
例20 （103）求函式u = xy+2 yz 在約束條件 x 2+ y 2 +z 2=10下的最大值和最小值 .
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