時間序列分析方法由box-jenkins (1976) 年提出。它適用於各種領域的時間序列分析。
時間序列模型不同於經濟計量模型的兩個特點是：
⑴ 這種建模方法不以經濟理論為依據，而是依據變數自身的變化規律，利用外推機制描述時間序列的變化。
⑵ 明確考慮時間序列的非平穩性。如果時間序列非平穩，建立模型之前應先通過差分把它變換成平穩的時間序列，再考慮建模問題。
時間序列模型的應用：
（1）研究時間序列本身的變化規律（建立何種結構模型，有無確定性趨勢，有無單位根，有無季節性成分，估計引數）。
（2）在回歸模型中的應用（**回歸模型中解釋變數的值）。
（3）時間序列模型是非經典計量經濟學的基礎之一（不懂時間序列模型學不好非經典計量經濟學）。
分節如下：
1．隨機過程、時間序列定義
2．時間序列模型的分類
3．自相關函式與偏自相關函式
4．建模步驟（識別、引數估計、診斷檢驗、案例分析）
5．回歸與時間序列組合模型
6．季節時間序列模型（案例分析）
2.1 隨機過程、時間序列
為什麼在研究時間序列之前先要介紹隨機過程？就是要把時間序列的研究提高到理論高度來認識。時間序列不是無源之水。
它是由相應隨機過程產生的。只有從隨機過程的高度認識了它的一般規律。對時間序列的研究才會有指導意義。
對時間序列的認識才會更深刻。
自然界中事物變化的過程可以分成兩類。一類是確定型過程，一類是非確定型過程。
確定型過程即可以用關於時間t的函式描述的過程。例如，真空中的自由落體運動過程，電容器通過電阻的放電過程，行星的運動過程等。
非確定型過程即不能用乙個（或幾個）關於時間t的確定性函式描述的過程。換句話說，對同一事物的變化過程獨立、重複地進行多次觀測而得到的結果是不相同的。例如，對河流水位的測量。
其中每一時刻的水位值都是乙個隨機變數。如果以一年的水位紀錄作為實驗結果，便得到乙個水位關於時間的函式xt。這個水位函式是預先不可確知的。
只有通過測量才能得到。而在每年中同一時刻的水位紀錄是不相同的。
隨機過程：由隨機變數組成的乙個有序序列稱為隨機過程，記為。其中s表示樣本空間，t表示序數集。
對於每乙個 t, tt, x (·, t ) 是樣本空間s中的乙個隨機變數。對於每乙個 s, ss , x (s, ·) 是隨機過程在序數集t中的一次實現。
或 xt。隨機過程也常簡稱為過程。
隨機過程一般分為兩類。一類是離散型的，一類是連續型的。如果乙個隨機過程對任意的tt 都是乙個連續型隨機變數，則稱此隨機過程為連續型隨機過程。
如果乙個隨機過程對任意的tt 都是乙個離散型隨機變數，則稱此隨機過程為離散型隨機過程。本書只考慮離散型隨機過程。
連續型嚴（強）平穩過程
隨機過程平穩的
離散型寬平穩過程
非平穩的
嚴（強）平穩過程：乙個隨機過程中若隨機變數的任意子集的聯合分布函式與時間無關，即無論對t的任何時間子集（t1, t 2, …, tn）以及任何實數k, (ti + k) t, i = 1, 2, …, n 都有
f( x(t1) , x(t2), …, x(tn) ) = f(x(t1 + k), x(t2 + k), … , x(tn + k) )
成立，其中f(·) 表示n個隨機變數的聯合分布函式，則稱其為嚴平穩過程或強平穩過程。
嚴平穩意味著隨機過程所有存在的矩都不隨時間的變化而變化。嚴平穩的條件是非常嚴格的，而且對於乙個隨機過程，上述聯合分布函式不便於分析和使用。因此希望給出不象強平穩那樣嚴格的條件。
若放鬆條件，則可以只要求分布的主要引數相同。如只要求從一階到某階的矩函式相同。這就引出了寬平穩概念。
如果乙個隨機過程m階矩以下的矩的取值全部與時間無關，則稱該過程為m階平穩過程。比如
e[ x(ti) ] = e[ x(ti + k)] = < ,
var[x(ti)] = var[x(ti + k)] = 2 < ,
cov[x(ti), x(tj)] = cov[x (ti + k), x (tj + k)] = i j2 < ,
其中 , 2 和 ij2 為常數，不隨 t, (tt ); k, ( (tr + k) t, r = i, j ) 變化而變化，則稱該隨機過程 為二階平穩過程（協方差平穩過程）。該過程屬於寬平穩過程。
如果嚴平穩過程的二階矩為有限常數值，則其一定是寬平穩過程。反之，乙個寬平穩過程不一定是嚴平穩過程。但對於正態隨機過程而言，嚴平穩與寬平穩是一致的。
這是因為正態隨機過程的聯合分布函式完全由均值、方差和協方差所惟一確定。本書簡稱二階平穩過程為平穩過程。
時間序列：隨機過程的一次實現稱為時間序列，也用或x t表示。
與隨機過程相對應，時間序列分類如下，
連續型* （心電圖，水位紀錄儀，溫度紀錄儀）
時間序列從相同的時間間隔點上取自連續變化的序列（人口序列）
離散型一定時間間隔內的累集值（年糧食產量，進出口額序列）
時間序列中的元素稱為觀測值。既表示隨機過程，也表示時間序列。xt既表示隨機過程的元素隨即變數，也表示時間序列的元素觀測值。
在不致引起混淆的情況下，為方便，xt 也直接表示隨機過程和時間序列。
隨機過程與時間序列的關係如下所示：
隨機過程:
第1次觀測：
第2次觀測：
第n次觀測：
某河流一年的水位值，，可以看作乙個隨機過程。每一年的水位紀錄則是乙個時間序列，。而在每年中同一時刻（如t = 2時）的水位紀錄是不相同的。 構成了x2取值的樣本空間。
例如，要記錄某市日電力消耗量，則每日的電力消耗量就是乙個隨機變數，於是得到乙個日電力消耗量關於天數t的函式。而這些以年為單位的函式族構成了乙個隨機過程 , t = 1, 2, … 365。因為時間以天為單位，是離散的，所以這個隨機過程是離散型隨機過程。
而一年的日電力消耗量的實際觀測值序列就是乙個時間序列。
自然科學領域中的許多時間序列常常是平穩的。如工業生產中對液面、壓力、溫度的控制過程，某地的氣溫變化過程，某地100年的水文資料，單位時間內路口通過的車輛數過程等。但經濟領域中多數巨集觀經濟時間序列卻都是非平穩的。
如乙個國家的年gdp序列，年投資序列，年進出口序列等。
為便於計算，先給出差分定義。
差分：時間序列變數的本期值與其滯後值相減的運算叫差分。差分分為一階差分和高階差分。
首先給出差分符號。對於時間序列x t ，一階差分可表示為
xt - xt -1 = xt = (1- l) xt = xt - l xt2.1)
其中稱為一階差分運算元。l 稱為滯後運算元，其定義是ln xt = xt- n 。
差分運算元和滯後運算元可以直接參與運算。
二次一階差分表示為，
xt = xt - xt -1 = (xt - xt -1) – (xt-1 - xt -2) = xt - 2 xt -1+ xt –2，
或 xt = (1- l ) 2 xt = (1 – 2l + l 2 ) xt = xt –2 xt-1+ xt–22.2)
k階差分可表示為
xt - xt -k = k xt = (1- lk ) xt = xt – lk xt
k階差分常用於季節性資料的差分，如4階差分、12階差分。
滯後運算元有如下性質。
（1）常數與滯後運算元相乘等於常數。lc = c
（2）滯後運算元適用於分配律。(li + lj) xt = li xt + lj xt = xt -i+ xt –j
（3）滯後運算元適用於結合律。li lj xt = li+ j xt = xt -i–j
（4）滯後運算元的零次方等於1。l0 xt = xt
（5）滯後運算元的負整數次方意味著超前。l-i xt = xt+i
下面介紹兩種基本的隨機過程
（1） 白雜訊（white noise）過程（file：5gener1，u）
白雜訊過程：對於隨機過程, 如果e(xt) = 0, var (xt) = 2 , tt; cov (xt, xt + k) = 0, (t + k ) t , k 0 , 則稱為白雜訊過程。
圖2.1a 由白雜訊過程產生的時間序列（nrnd） 圖2.1b 日元對美元匯率的收益率序列
圖2.1c 白雜訊過程的總體譜2.1d ar(2)過程的總體譜（1 = 0.99, 2 = -0.5）
白雜訊是平穩的隨機過程，因其均值為零，方差不變，隨機變數之間非相關。顯然上述白雜訊是二階寬平穩隨機過程。如果 同時還服從正態分佈，則它就是乙個強平穩的隨機過程。
時間序列分析
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