第七章分布滯後模型與自回歸模型
第一節分布滯後模型與自回歸模型的基本概念
一、問題的提出
1、滯後效應的出現
（1）在經濟學分析中，研究消費函式，人們的消費行為不僅要受到當期收入的影響（絕對收入假設），還要受到前期收入的影響，甚至要受到前期消費的影響（相對收入假設）。
（2）研究投資問題，由於投資週期的原因，本年度投資的形成，與上年度，甚至再上年度的投資形成有關。
（3）運用經濟政策調控巨集觀經濟執行，經濟政策的實施所產生的政策效果是乙個逐步波及的擴散過程。
用計量經濟學模型研究這類問題，怎樣度量變數的滯後影響？怎樣估計有滯後變數的模型？
對於上述消費的情況，設c表示消費，y表示收入，則
對於上述投資的情況，設i表示投資，y表示收入，則
2、靜態計量經濟學模型向動態計量經濟學模型的擴充套件
什麼為「動態計量經濟學模型」？
二、產生滯後效應的原因
1、心理預期因素的作用
2、技術因素的作用
3、制度因素的作用。
上述原因的結果表現為經濟現象中的「慣性作用」。
二、滯後變數模型的型別
1、分布滯後模型。如果模型中沒有滯後的被解釋變數，即
則模型為分布滯後模型。由於s可以是有限數，也可以是無限數，則分布滯後模型可分為有限分布滯後模型和無限分布滯後模型。
在分布滯後模型中，有關係數的解釋如下：
⑴乘數（又稱倍數）的解釋。該概念首先由英國的卡恩提出（所謂乘數是指，在乙個模型體系裡，外生變數變化乙個單位，對內生變數產生的影響程度。據此進行的經濟分析稱為乘數分析或乘數效應分析。
如投資乘數，是指在邊際消費傾向一定的情況下，投資變動對收入帶來的影響，亦即增加一筆投資，可以引起收入倍數的增加。
⑵短期乘數
⑶延遲乘數或動態乘數
⑷長期乘數
根據乘數的定義，教科書第183頁，例7.1，短期乘數為0.4，動態乘數分別為0.3、0.2，則長期乘數為0.4+0.3+0.2=0.9。
2、自回歸模型。如果模型中無滯後解釋變數，即
則模型為自回歸模型。如果模型無解釋變數，則模型就是乙個純粹的關於被解釋變數的自回歸模型（統計模型），即
它的特點是，不考慮經濟理論為依據的解釋變數的作用，而是依據變數本身的變化規律，利用外推機制描述時間序列變數的變化。這樣的模型在《時間序列分析》課程有專門的介紹。本章討論自回歸模型主要放在與分布滯後模型的關係上。
3、一般滯後變數模型
設滯後變數模型的一般形式為
記為adl（s，q）（autoregression and distributed lag model），式中s與q分別表示解釋變數x和被解釋變數y的滯後期數。在上述模型中，只有乙個，更一般的形式是模型中有多個，即
這時，記為adl（s，q，p），p表示的個數。
第二節分布滯後模型及其估計
一、分布滯後模型估計的困難
阿爾特-丁伯根的（ols）遞推估計法。其缺陷如下：
1、自由度問題
2、多重共線性問題
3、滯後長度難於確定
二、確定滯後長度的方法
儘管滯後長度的確定有難度，但人們在積極探索，尋求辦法解決這一問題。
1、根據實際經濟問題以及經驗進行判斷
2、利用時間序列本身的變化規律進行判斷，如根據自相關程度與偏自相關程度進行判斷（時間序列分析課程裡有專門介紹）
3、利用統計規則進行判斷
方法1，aic準則（又稱赤池檢驗）。該檢驗主要用如下aic統計量
式中，是由adl估計模型的殘差平方和；k是模型中解釋變數的個數，在分布滯後模型裡就是滯後階數；n是樣本容量。可以證明在上式，隨著k的增加，aic存在極小值。使用aic準則是通過連續增加解釋變數的滯後階數直到aic取得極小值，從而確定最優的k值。
方法2，sc準則（又稱許瓦茲檢驗）。sc統計量為
式中，、k、n與aic準則中的定義一致。同理可以證明，隨著k得變化sc存在極小值。
運用aic準則和sc準則具體操作如下
對於不同範圍的k ，怎樣運用準則確定最優的k。比如，按資料型別劃分有年度資料、季度資料和月度資料，因此，對於年度資料，可根據經濟週期來確定k的變動範圍；對於季度資料可根據一年四季的劃分來確定k的變動範圍，即k的變動範圍為4；同理，對於月度資料k的變動範圍可定為12。然後再根據aic和sc檢驗確定在某個範圍內的最優滯後階數k。
關於準則的運用分析可參見王明艦著《中國通貨膨脹問題分析-經濟計量方法與應用》，北京大學出版社，2023年版。
三、有限分布滯後模型的修正估計方法
估計分布滯後模型的基本思想：對有限分布滯後模型，主要用將模型中變數的係數施加某種約束，通過該約束降低估計的維數（該思想與修正多重共線性的降維相近）；對無限分布滯後模型，通常採用模型的變換，使得成為有限個引數的自回歸模型。
有限分布滯後模型的估計方法有兩種，即經驗加權法和阿爾蒙法。
1、經驗加權法
經驗權數可按如下規則選取。設分布滯後模型為
⑴遞減滯後結構
如根據經驗判斷滯後解釋變數對被解釋變數的影響按下列形式遞減，
則線性組合為
原模型變為
很明顯通過這種加權變數的變換，使得模型成為一元函式，從而降低了由滯後變數引起的共線性的影響。對一元函式模型可直接用ols方法求引數的估計。
⑵不變滯後結構
比如，這時的權數結構為
⑶∧型滯後結構
比如，這時的權數結構為
2、阿爾蒙法
⑴阿爾蒙法的基本含義
根據《數學分析》裡weierstrass多項式逼近定理，在分布滯後模型中，當s＜∞時，各個滯後項存在一種真實的取值結構。在這種情況下，滯後項的係數可以看成是相應滯後階數i的函式，即
m＜s其中m為多項式的次數範圍，s為模型中變數的滯後階數。
例如，取滯後階數s=3，設模型為
取m=2，即二次多項式
將i的取值代入上述表示式，可具體寫出如下形式
將上述結構代入滯後模型
這樣即可對該式進行估計，這就是阿爾蒙法。在eviews上的操作，按如下格式進行。
y c x pdl(x,s,m,d)
其中，s為滯後階數，m為多項式的次數，d為對分布滯後特徵進行控制的引數，可選擇的引數值有，
1——強制在分布的近期趨近於0
2——強制在分布的遠期趨近於0
3——強制在分布的兩端趨近於0
0——對引數分布不作任何限制
在ls命令中使用pdl項，應注意以下幾點：
●在解釋變數x後必須指定s和m的值，d為可選項，不指定時取預設值0；
●如果模型中有多個具有滯後效應的解釋變數，則分別用幾個pdl項表示。例如
ls y c pdl（x2，4，2） pdl（x3，3，2，2）
●選取的m必須滿足，這樣才能達到減少待估計的引數的個數；同時m一般取2或3，通常不超過4，否則失去了降維的意義。
⑵乙個例子（研究某行業1955——1974的庫存額y與銷售額x之間的關係）。
第三節自回歸模型的構建
一、庫伊克模型
庫伊克模型屬於無限分布滯後模型，在經濟現象中，有許多情況符合這一模型特徵，如較遠時期的收入對現在消費的影響；經濟政策的較長時期影響。
1、模型的基本含義
且0﹤﹤1，i=1，2，…
將約束條件代入，得
2、對庫伊克模型乘數的討論
（1）短期乘數為
（2）延遲乘數分別為。表明在庫伊克模型裡，變數x對y的滯後影響有「近大遠小」的特點。
（3）長期乘數
由此可以看出，儘管，庫伊克模型屬無限分布滯後模型，但在其條件下長期乘數為一有限數。
3、庫伊克模型與自回歸模型的關係。
設庫伊克模型為
得到的最後模型為自回歸模型，式中隨機誤差項為。該模型能否用最小二乘法對引數進行估計，取決於是否滿足基本假定。
3、模型的優點。能比較好地解決分布滯後模型引數地估計問題。
4、模型的不足。儘管庫伊克模型提出了相應地假定，但這種假定同時又對某些經濟變數可能不適用。
二、自適應預期模型（adaptive expectation model）
1、模型的含義。例如，研究貨幣（實際現金餘額）需求，但影響貨幣需求的是均衡、最優、預期的利率，而不是實際利率；人們的實際消費行為受預期收入的影響，而不是實際收入。對於這類問題，怎樣建立相應的模型，這就是所謂自適應期望模型。
設模型為
其中是被解釋變數，是解釋變數預期值，是隨機擾動項。由於無實際觀測值，用什麼作為的值是這類模型估計的關鍵。因此對於解釋變數預期值的形成有如下假定（又稱調整關係）
0＜＜1
即其中，稱為調整係數（又稱適應係數）。該假定關係說明預期值的變動是在前期預期值基礎上，通過變數的實際值與其前期預期值之間差異的百分比來實現調整的，這種調整關係被看成是一種自適應過程。將調整關係變形為
即時刻t的預期值是時刻t的實際值與時刻t-1的預期值的加權算術平均值。特別地，當時，，即用實際值作為預期值，並且與前一期預期值無關；當時，，即預期值沒有變化，並且預期值與實際值沒有關係；一般地，預期值的變化只是實際值與預期值差異的某一部分。
2、自適應預期模型轉化為自回歸模型。
其中。上述過程的最後乙個式子是自回歸模型，對該式能否用最小二乘法估計引數，取決於是否滿足基本假定（注意與庫伊克模型的比較）。
三、區域性調整模型（partial adjustment model）
1、模型的含義。例如，研究依據預期收入水平所對應的消費行為，即預期消費水平，而預期消費與實際收入之間的關係怎樣用模型表示？再例如，現有的產出水平與均衡條件下產出水平所對應的均衡資本存量，如何建立它們之間的線性關係？
針對這類問題，可以建立如下線性關係式
其中是被解釋變數的預期值，是解釋變數的實際值，這就是資本存量調整模型。由於預期的被解釋變數未知而沒有觀測值，故對於被解釋變數的預期值有如下假定（或稱存量調整假定）：
，且0＜＜1
稱為調整係數。
在假定關係裡，如果令=0，則有，表明實際的存量無變動；如果令=1，則，表明在時刻t，預期的存量與實際的存量相同，或者說預期的存量在時刻t得到了全部實現。通常調整係數的變動範圍是0＜＜1，即實際存量只是預期存量的部分實現。同理，存量調整關係假定也可寫成如下加權平均的形式
2、區域性調整模型轉化為自回歸模型。
令，上述最後乙個模型能否用最小二乘法估計引數，取決於是否滿足基本假定（注意與庫伊克模型和自適應期望模型的比較）。
四、自適應期望於資本存量調整混合模型
設混合模型及假設條件為
0＜＜1，0＜＜1
則由混合模型轉化的（二階）自回歸模型如下
上述結果的轉化過程作為作業完成。
五、對上述三種模型的總結
1、三種模型相同之處。我們看到庫伊克模型、自適應期望模型和資本存量調整模型經過數學變換以後，其結果均為自回歸模型。這就是三種模型相同之處。
換句話說，這三種模型是建立自回歸模型的理論背景。其中，庫伊克模型突出數學變換背景，自適應期望模型和資本存量調整模型既有經濟意義，也有數學變換意義。所以，通常在對自回歸模型進行估計後，需要將估計的模型轉化（還原）為原模型（經濟原型）。
第六章經濟學
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