第六章單時段投資消費問題
在這一章中,我們討論最優投資消費問題.為了討論這一問題,首先需要引入所謂的效用函式.
§6.1 效用函式
某樣東西對其所有者的效用是指它給其所有者帶來的某種滿意程度.財富對於理性的人們而言總是多多益善,也就是說,財富越多,其所有者越滿意.效用函式理論旨在研究這種滿意程度.
需要指出的是,不同的人對財富的貪婪程度是不同的,因此,財富的效用也是因人而異的.
一、現代效用理論
1. 最大化期望回報準則
如果市場上存在如下三種投資方式供投資者選擇:第一種是投入10萬元,一年後獲得11萬元;第二種是投資10萬元，一年後獲得12萬元;第三種是投資10萬元,一年後獲得15萬元的概率為2/3,獲得9萬元概率為1/3.此時對投資者來說,哪種投資方式最有吸引力?
首先,在第一種和第二種投資方式之間的選擇上,任何投資者將毫無疑問地選擇第二種投資方式.但如何比較第二種和第三種投資方式呢?一種最簡單的辦法是比較它們之間的期望回報.
若記第種投資機會的回報為隨機變數,則由條件
1.1)
可知第三種投資方式的期望回報為:
1.2)
而第二種投資方式的回報是,因此,如果以投資的期望回報作為投資優劣,則因,投資者將選擇第三種投資方式,我們稱這種準則為最大化期望回報準則.最大化期望回報準則對投資者選擇風險投資機會是一種簡單明瞭的指導原則,但是,人們並不總是按照這一原則來指導投資的.下面著名的「聖彼得堡」悖淪很好地揭示了最大化期望回報準則的缺陷.
2. 財富的效用及其效用函式
18 世紀瑞士數學家尼古拉·貝努里提出了這樣乙個問題.甲乙兩人約定好做遊戲,遊戲規則為,甲拋硬幣,一旦出現正面,甲立即付報酬給乙,並結束遊戲.若在第1 次拋硬幣時就出現正面,則甲付給乙2元錢;若在第2 次拋硬幣時才首次出現正面.
則甲付給乙2元錢;以此類推,若在第n 次拋硬幣時才首次出現正面,則甲付給乙元.現在的問題是:乙為了獲得參與這個遊戲的機會,應事先付給甲多少錢?
如果乙把參與這個遊戲看作是一次投資機會的話,我們可以來計算這種投資機會的期望回報.易知,到第n次拋硬幣時才首次出現正面的概率為從而期望回報為.這樣,按照最大化期望回報準則,乙為了獲得參與這個遊戲的機會,他會願意支付任意多的錢.
但實際上,幾乎不會有這樣的人會為了參與這樣的遊戲而支付即使是並不太多的錢(比如200元)對一群學生所進行的調查表明,大部分人只準備付2 至3 元錢.這說明,最大期望報酬準則並不能通用於非確定性的投資決策情形.下面引出財富的效用概念及其效用函式.
定義1.1 擁有的財富所產生的令人滿意程度稱為財富的效用.
貝努里認為,人們關心的是財富的效用(即擁有的財富所產生的令人滿意程度)而並非財富本身的價值.容易知道對於乙個富翁來講,增加1個單位的財富對他所能產生的滿意程度的增加量是微乎其微的,而對於乙個貧窮的人而言,增加l 個單位的財富對他所能產生的滿意程度的增加量相對是巨大的.於是引出以下邊際效用遞減原理.
邊際效用遞減原理: 同樣1個單位的財富其效用的大小依賴於已有的財富,已有的財富越多,該個單位財富的效用就越小.
假定用表示財富帶來的效用函式,根據邊際效用遞減原理則有
1.3)
若假定函式光滑,我們稱為投資者的財富額為x時的邊際效用,且有
1.4)
上面的第一式表明人們是理性的,即財富多多益善;而第二式則表明邊際效用遞減,當(1.4)中的第二式成立時,我們可以證明必成立下式:
1.5)
滿足(1.5)的函式稱為是乙個凹函式.當(1.
5)中成立嚴格不等式時,稱為乙個嚴格凹函式.如果(1.5)中的不等號反向,則稱是乙個凸函式;而當們(1.
5)中成立反過來的嚴格不等號時,稱是乙個嚴格凸函式.以後我們稱嚴格單調上公升的凹函式為乙個效用函式,此時還稱為邊際效用函式.注意:
為了以後的方便,我們沒有要求效用函式是嚴格凹的;並且,我們需要對每個,有明確的意義(於是,在其值域中引人了可能的取值詳見下面的例子).
當年貝努里提出的效用函式呈如下形式：
1.6)
其中,為常數.我們稱(1.6)為乙個對數效用函式.此時,邊際效用函式為
1.7)
它關於x單調遞減.現在我們用期望效用來解釋「聖· 彼得堡遊戲」問題,取效用函式為(1.6),考察
上式的意義是參與遊戲所能獲得收益的期望效用等於2 元錢的效用.這也就是說,具有對數效用函式的投資者最多願意付2元錢來參與遊戲.
另一位學者克拉默提出了類似的想法.他選擇的效用函式為
1.9)
此時,期望效用為
1.10)
如果令，可得,即參與遊戲時所能獲得回報的期望效用約等於3元錢的效用.這樣具有效用函式(1.9)的投資者將至多願意付3元錢來獲得參與遊戲的資格.
馮諾依曼和莫根斯坦證明了: 如果決策者的決策行為符合一系列的一致性條件,則非確定性條件下的最優投資選擇可由期望效用最優化原則給出.
二、hara效用函式
1. hara效用函式
我們介紹兩類常用的效用函式（均稱為hara效用函式）:
(1) 「冪函式」形式: 對於,定義
1.11)
對於,定義
1.12)
而對於,定義(注意到:)
1.13)
(2) 「指數函式」形式: 對於,定義
1.14)
而對於,定義
1.15) 容易驗證,是嚴格單調上公升和嚴格凹的,而是嚴格單調上公升的.且當時，它是嚴格凹的.由於和總是嚴格單調增加的,故它們存在逆函式,分別記作和.我們有: 對,
1.16)
對於,1.17)
而對於,
1.18)
另一方面,對於,
1.19)
而對於，
1.20)
2. 隨機變數的hara效用函式的期望效益分析
現在,讓我們看一看下面的事實.假定為乙個有界的隨機變數,則利用taylor展開,可以得到(假定,並且很靠近0)
1.21)
1.22
有趣的是對於充分靠近0的,極大化(1.22),差不多等同於極大化,並且兼顧極小化,也就是說極大化回報、兼顧極小化風險.同樣,極大化(1.
21),差不多等同於極大化,並且兼顧極小化,也就是說極大化回報、兼顧極小化風險.這差不多是上一章末尾所討論的風險與回報的問題.上面的分析粗略地表明,風險與回報問題可以近似地化為效用函式的最優化問題.
三、投資者的風險偏好及其效用函式
一般而言,不同的人對某種財富擁有量的滿意程度是不同的,即不同的人有不同的效用函式,這恰好也反映了不同的人們最財富的「貪婪」程度.另一方面,由於收益和回報是緊密聯絡在一起的,高回報一般總伴隨高風險,因此,效用函式也可以用來刻畫人們對風險的「厭惡程度」.直觀地想象,對財富比較「貪婪」的理性的人們比較願意多冒一些風險(既「貪」財又不想冒風險的人們是不理性的).
1. 風險厭惡型的投資的效用函式
現在,我們來具體看一下.假定某人面臨乙個未定的權益x(它是乙個隨機變數),假如此人對風險是非常厭惡的，則他寧願事先支付一筆錢(稱為保險金,risk premium),使得屆時的損益變成乙個確定性的量.假定此人的效用函式為,則支付保險金以後的淨損益相應的效用為;如果不支付保險金,則屆時的損益帶來的效用為,它的期望效益為.
所以,該當事人希望通過支付保險金使得
1.23)
由於關於是單調下降的,因此,此人為了保持期望效用願意支付的最大保險金應該滿足下面關係：
1.24)
利用taylor展開,我們可得:
1.25)
此處，1.26)
第六章總結
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