大學物理學習題答案
習題一1.1 簡要回答下列問題：
(1) 位移和路程有何區別？在什麼情況下二者的量值相等？在什麼情況下二者的量值不相等？
(2) 平均速度和平均速率有何區別？在什麼情況下二者的量值相等？
(3) 瞬時速度和平均速度的關係和區別是什麼？瞬時速率和平均速率的關係和區別又是什麼？
(4) 質點的位矢方向不變，它是否一定做直線運動？質點做直線運動，其位矢的方向是否一定保持不變？
(5) 和有區別嗎？和有區別嗎？和各代表什麼運動？
(6) 設質點的運動方程為：，，在計算質點的速度和加速度時，有人先求出，然後根據
及而求得結果；又有人先計算速度和加速度的分量，再合成求得結果，即
及你認為兩種方法哪一種正確？兩者區別何在？
(7) 如果一質點的加速度與時間的關係是線性的，那麼，該質點的速度和位矢與時間的關係是否也是線性的？
(8) 「物體做曲線運動時，速度方向一定在運動軌道的切線方向，法向分速度恒為零，因此其法向加速度也一定為零.」這種說法正確嗎？
(9) 任意平面曲線運動的加速度的方向總指向曲線凹進那一側，為什麼？
(10) 質點沿圓周運動，且速率隨時間均勻增大，、、三者的大小是否隨時間改變？
(11) 乙個人在以恆定速度運動的火車上豎直向上丟擲一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子丟擲後，火車以恆定加速度前進，結果又如何？
1.2 一質點沿軸運動，座標與時間的變化關係為，式中分別以、為單位，試計算：(1)在最初內的位移、平均速度和末的瞬時速度；(2)末到末的平均加速度；(3)末的瞬時加速度。
解：(1) 最初內的位移為為：
最初內的平均速度為：
時刻的瞬時速度為：
末的瞬時速度為：
(2)末到末的平均加速度為：
(3)末的瞬時加速度為：。
1.3 質點作直線運動，初速度為零，初始加速度為，質點出發後，每經過時間，加速度均勻增加。求經過時間後，質點的速度和位移。
解: 由題意知，加速度和時間的關係為
利用，並取積分得
， 再利用，並取積分[設時]得
， 1.4 一質點從位矢為的位置以初速度開始運動，其加速度與時間的關係為.所有的長度以公尺計，時間以秒計.求：
（1）經過多長時間質點到達軸；
（2）到達軸時的位置。
解：（1） 當，即時，到達軸。
（2） 時到達軸的位矢為 ：
即質點到達軸時的位置為。
1.5 一質點沿軸運動，其加速度與座標的關係為，式中為常數，設時刻的質點座標為、速度為，求質點的速度與座標的關係。
解：按題意
由此有即
兩邊取積分
得由此給出
1.6 一質點的運動方程為，式中，分別以、為單位。試求：
(1) 質點的速度與加速度；(2) 質點的軌跡方程。
解：(1) 速度和加速度分別為：，
(2) 令，與所給條件比較可知，，
所以軌跡方程為：。
1.7 已知質點作直線運動，其速度為，求質點在時間內的路程。
解: 在求解本題中要注意：在時間內，速度有時大於零，有時小於零，因而運動出現往返。
如果計算積分，則求出的是位移而不是路程。求路程應當計算積分。令，解得。
由此可知： s時，，； s時，；而s時，，。因而質點在時間內的路程為
。1.8 在離船的高度為的岸邊，一人以恆定的速率收繩，求當船頭與岸的水平距離為時，船的速度和加速度。
解: 建立座標系如題1.8圖所示，船沿軸方向作直線運動，欲求速度，應先建立運動方程，由圖題1.8，可得出
習題1.8圖
兩邊求微分，則有
船速為按題意(負號表示繩隨時間縮短)，所以船速為
負號表明船速與軸正向反向，船速與有關，說明船作變速運動。將上式對時間求導，可得船的加速度為
負號表明船的加速度與軸正方向相反，與船速方向相同，加速度與有關，說明船作變加速運動。
1.9 一質點沿半徑為的圓周運動，其角座標(以弧度計)可用下式表示
其中的單位是秒()試問：(1)在時，它的法向加速度和切向加速度各是多少？
(2)當等於多少時其總加速度與半徑成角 ？
解：(1) 利用，，，
得到法向加速度和切向加速度的表示式
在時，法向加速度和切向加速度為：
(2) 要使總加速度與半徑成角，必須有，即
解得，此時
1.10 甲乙兩船，甲以的速度向東行駛，乙以的速度向南行駛。問坐在乙船上的人看來，甲船的速度如何？坐在甲船上的人看來乙船的速度又如何？
解：以地球為參照系，設、分別代表正東和正北方向，則甲乙兩船速度分別為
， 根據伽利略變換，當以乙船為參照物時，甲船速度為 ，
即在乙船上看，甲船速度為，方向為東偏北
同理，在甲船上看，乙船速度為，方向為西偏南。
1.11 有一水平飛行的飛機，速率為，在飛機上安置一門大炮，炮彈以水平速度向前射擊。略去空氣阻力，
(1) 以地球為參照系，求炮彈的軌跡方程；
(2) 以飛機為參照系，求炮彈的軌跡方程；
(3) 以炮彈為參照系，飛機的軌跡如何？
解：(1) 以地球為參照系時，炮彈的初速度為，而，
消去時間引數，得到軌跡方程為：
（若以豎直向下為y軸正方向，則負號去掉，下同）
(2) 以飛機為參照系時，炮彈的初速度為，同上可得軌跡方程為
(3) 以炮彈為參照系，只需在(2)的求解過程中用代替，代替，可得.
1.12如題1.12圖，一條船平行於平直的海岸線航行，離岸的距離為，速率為，一艘速率為的海上警衛快艇從一港口出去攔截這條船。
試證明：如果快艇在盡可能最遲的時刻出發，那麼快艇出發時這條船到海岸線的垂線與港口的距離為；快艇截住這條船所需的時間為。
港口習題1.12圖
證明：在如圖所示的座標系中，船與快艇的運動方程分別為
和 攔截條件為：
即 所以，
取最大值的條件為：，由此得到，相應地。
因此的最大值為
取最大值時對應的出發時間最遲。快艇截住這條船所需的時間為
習題二答案
習題二2.1 簡要回答下列問題：
(1) 有人說：牛頓第一定律只是牛頓第二定律在合外力等於零情況下的乙個特例，因而它是多餘的.你的看法如何？
(2) 物體的運動方向與合外力方向是否一定相同？
(3) 物體受到了幾個力的作用，是否一定產生加速度？
(4) 物體運動的速率不變，所受合外力是否一定為零？
(5) 物體速度很大，所受到的合外力是否也很大？
(6) 為什麼重力勢能有正負，彈性勢能只有正值，而引力勢能只有負值？
(7) 合外力對物體所做的功等於物體動能的增量，而其中某一分力做的功，能否大於物體動能的增量？
(8)質點的動量和動能是否與慣性系的選取有關？功是否與慣性系有關？質點的動量定理與動能定理是否與慣性系有關？請舉例說明.
(9)判斷下列說法是否正確，並說明理由：
(a)不受外力作用的系統，它的動量和機械能都守恆.
(b)內力都是保守力的系統，當它所受的合外力為零時，其機械能守恆.
(c)只有保守內力作用而沒有外力作用的系統，它的動量和機械能都守恆.
(10) 在彈性碰撞中，有哪些量保持不變，在非彈性碰撞中，又有哪些量保持不變？
(11) 放焰火時，一朵五彩繽紛的焰火質心運動軌跡如何？為什麼在空中焰火總是以球形逐漸擴大？(忽略空氣阻力)
2.2 質量為質點在流體中作直線運動，受與速度成正比的阻力（為常數）作用，時質點的速度為，證明：
（1）時刻的速度為；
（2）由0到的時間內經過的距離為；
（3）停止運動前經過的距離為。
證明：(1) 由分離變數得，積分得
，， (2)
(3) 質點停止運動時速度為零，即，故有。
2.3一質量為10 kg的物體沿x軸無摩擦地運動，設時，物體的速度為零，物體在力(n)(t以s為單位)的作用下運動了3s，求它的速度和加速度.
解. 根據質點動量定理,
,根據牛頓第二定律，
(m/s2)
2.4 一顆子彈由槍口射出時速率為ms-1，當子彈在槍筒內被加速時，它所受的合力為n（a,b為常數），其中t以秒為單位：
（1）假設子彈執行到槍口處合力剛好為零，試計算子彈走完槍筒全長所需時間；
（2）求子彈所受的衝量；
（3）求子彈的質量。
解：(1)由題意，子彈到槍口時，有, 得
(2)子彈所受的衝量，將代入，得
(3)由動量定理可求得子彈的質量
2.5 一質量為的質點在xoy平面上運動，其位置向量為，求質點的動量及到時間內質點所受的合力的衝量和質點動量的改變量。
解：質點的動量為
將和分別代入上式，得
動量的增量，亦即質點所受外力的衝量為
2.6 作用在質量為10kg的物體上的力為，式中的單位是。
（1）求4s後，這物體的動量和速度的變化，以及力給予物體的衝量；
（2）為了使這力的衝量為200ns，該力應在這物體上作用多久，試就一原來靜止的物體和乙個具有初速度的物體，回答這兩個問題。
解：(1)若物體原來靜止，則
，沿x軸正向，
若物體原來具有初速度，則
於是同理
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