第2章質點動力學
2-1．兩質量分別為m和m的物體併排放在光滑的水平桌面上，現有一水平力f作用在物體m上，使兩物體一起向右運動，如題圖2-1所示，求兩物體間的相互作用力。 若水平力f作用在m上，使兩物體一起向左運動，則兩物體間相互作用力的大小是否發生變化？
分析：用隔離體法，進行受力分析，運用牛頓第二定律列方程。
解：以m、m整體為研究物件， 有
…①以m為研究物件，如解圖2-1（a），有
…②由①、②兩式，得相互作用力大小
若f作用在m上，以m為研究物件，如題圖2-1（b）有
由①、③兩式，得相互作用力大小
發生變化。
2-2. 在一條跨過輕滑輪的細繩的兩端各系一物體，兩物體的質量分別為m1和m2 ，在m2上再放一質量為m的小物體，如題圖2-2所示，若m1=m2= 4m，求m和m2之間的相互作用力，若m1=5m，m2=3m，則m與m2之間的作用力是否發生變化？
分析：由於輕滑輪質量不計，因此滑輪兩邊繩中的張力相等，用隔離體法進行受力分析，運用牛頓第二定律列方程。
解： 受力圖如解圖2-2，分別以m1、m2和m為研究物件，有
又，則 =
當時當時，發生變化。
2-3.質量為m的氣球以加速度勻加速上公升，突然乙隻質量為m的小鳥飛到氣球上，並停留在氣球上。若氣球仍能向上加速，求氣球的加速度減少了多少？
分析：用隔離體法受力分析，運用牛頓第二定律列方程。
解：設為空氣對氣球的浮力，取向上為正。
分別由解圖2-3（a）、(b)可得
由此解得
2-4．如題圖2-4所示，人的質量為60kg，底板的質量為40kg。人若想站在底板上靜止不動，則必須以多大的力拉住繩子？
分析：用隔離體法受力分析，人站在底板上靜止不動，底板和人受的合力分別為零.
解：設底板和人的質量分別為m，m，以向上為正方向，受力圖如解圖2-4（a）、(b)所示，分別以底板、人為研究物件，則有
f為人對底板的壓力，為底板對人的彈力。有
又因為則人對繩的拉力為245n。
2-5．一質量為m的物體靜置於傾角為的固定斜面上。已知物體與斜面間的摩擦係數為。試問：至少要用多大的力作用在物體上，才能使它運動？並指出該力的方向。
分析：要使物體運動，在物體上加乙個斜向下方向的力，物體恰好運動時，所受合外力為零。
解：如解圖2-5建立座標系，設x方向沿斜面向上為正方向。在與所在的平面上加一外力，且
（若，此時f偏大）則
解出要求f最小，則分母取極大值，所以對求導為零
=0 得帶入上式則即
此時2-6. 一木塊恰好能在傾角的斜面上以勻速下滑，現在使它以初速率沿這一斜面上滑，問它在斜面上停止前，可向上滑動多少距離？當它停止滑動時，是否能再從斜面上向下滑動？
分析：利用牛頓定律、運動方程求向上滑動距離。勻速或停止滑動時合力為零。
解：勻速下滑時
則向上滑動時
聯立求解得
當它停止滑動時，會靜止，不再下滑．
2-7. 5kg的物體放在地面上，若物體與地面之間的摩擦係數為0.30，至少要多大的力才能拉動該物體？
分析：要拉動物體，則f的大小至少要使物體水平方向上受力平衡。
解：受力分析如解圖2-7所示
則要求f最小，則分母取極大值
所以對求導為零，類似題2-5解得
帶入f公式，則
2-8. 兩個圓錐擺，懸掛點在同一高度，具有不同的懸線長度，若使它們運動時兩個擺球離開地板的高度相同，試證這兩個擺的週期相等．
分析：垂直方向的力為零，水平方向的力提供向心力。先求速度，再求週期討論。
證如解圖2-7所示，設兩個擺的擺線長度分別為和，擺線與豎直軸之間的夾角分別為和，擺線中的張力分別為和，則
解得第一只擺的週期為
同理可得第二隻擺的週期
由已知條件知
所以這兩個擺的週期相等
2-9. 質量分別為m和m+m的兩個人，分別拉住定滑輪兩邊的繩子往上爬，開始時兩人與滑輪的距離都是h 。設滑輪和繩子的質量以及定滑輪軸承處的摩擦力均可忽略不計，繩長不變。
試證明，如果質量輕的人在秒末爬到滑輪，這時質量重的人與滑輪的距離為
（假定人和繩子之間的摩擦力是恆定的）
分析：受力分析，由牛頓第二定律列出動力學方程。
證明：如解圖2-9（b）、（c），分別以m、m+m為研究物件，設m、m+m對地的加速度大小分別為（方向向上）、（方向向下），則對m，有
則對m+m，有而則
質量重的人與滑輪的距離
此題得證。
2-10.質量為和的兩物體，用輕彈簧連線在一起放在光滑水平桌面上，以的力沿彈簧方向作用於,使得到加速度，求獲得的加速度大小。
分析： 受力分析，由牛頓第二定律列出動力學方程。
解：物體的運動如解圖2-10（a ），以m1為研究物件，受力分析如解圖（b）所示，有
以m2為研究物件，受力分析如解圖（c）所示，有
因為則2-11. 在一水平的直路上，一輛汽車以v = 108 km·h1 的速度執行， 剎車後經 s =35m 距離而停止．如果路面相同，但有1∶15的下降坡度，那麼這輛汽車若仍以原有速度執行，則剎車後經多少距離而停止。
分析：在水平的直路上剎車，由運動學方程得到摩擦係數。在斜坡上，根據受力分析，由牛頓第二定律解出加速度，然後由運動學方程可得到剎車距離。
解：在水平的直路上剎車，摩擦力
剎車距離
在斜坡上，對汽車有
由此得剎車距離
2-12． 如題圖2-12所示，已知兩物體a、b的質量均為，物體a以加速度運動，求物體b與桌面間的摩擦力。（滑輪與繩子的質量不計）
分析：因為滑輪與連線繩的質量不計，所以動滑輪兩邊繩中的張力相等，定滑輪兩邊繩中的張力也相等，但是要注意兩物體的加速度不相等。
解：受力分析如解圖2-12所示，以a為研究物件，其中、分別為滑輪左右兩邊繩子的拉力。有
且以b為研究物件，在水平方向上，有
又 聯立以上各式，可解得
2-13．一質量為m的小球最初位於如題圖2-13所示的a點，然後沿半徑為r的光滑圓軌道adcb下滑，試求小球到達c點時的角速度和對圓軌道的作用力.
分析：如解圖2-13，對小球做受力分析，合力提供向心力，由牛頓第二定律，機械能守恆定律求解。
解：小球下滑過程機械能守恆
…………①
又 由①、②可得
法向由①、③可得
2-14 摩托快艇以速率v0行駛，它受到的摩擦阻力與速率平方成正比，可表示為f= kv2（k為正常數）。設摩托快艇的質量為m，當摩托快艇發動機關閉後，
(1) 求速率v隨時間t的變化規律。
(2) 求速度v與路程x之間的關係。
分析摩托快艇受到的摩擦阻力為變力，且是速率的函式，列出牛頓定律的微分方程，用分離變數法求解。將時間變數轉變為路程，可解出速度v與路程x之間的關係。
解 (1) 由牛頓第二定律f=ma得
分離變數並積分，有
(2) 將代入①式中得
分離變數並積分，有
得2-15．如題圖2-15所示，a為定滑輪，b為動滑輪，三個物體的質量分別為，，.
（1）求每個物體的加速度
（2）求兩根繩中的張力和（滑輪和繩子質量不計，繩子的伸長和摩擦力可略）。
分析：相對運動。相對地運動，、相對b運動，。根據牛頓牛頓定律和相對運動加速度的關係求解。
解：如解圖2-15(a)、(b)、(c)，分別是的受力圖。
設分別是、b對地的加速度；分別是對b的加速度，以向上為正方向，可分別得出下列各式
…………… ①
………… ②
………… ③又：且
則則 …………④
又 …………⑤
…………⑥
則由①②③④⑤⑥，可得
（2）將a3的值代入③式，可得
2-16．桌面上有一質量的板，板上放一質量為的另一物體，設物體與板、板與桌面之間的摩擦係數均為0.25. 要將板從物體下面抽出，至少需要多大的水平力？
分析：要想滿足題目要求，需要m、m運動的加速度滿足：，如解圖2-16（b），以m為研究物件，分別為m給m的壓力，地面給m的支援力，m給m的摩擦力，地面給m的摩擦力。
解：由牛頓第二定律得
如題圖2-16（c），以m為研究物件，分別為m給m的支援力、摩擦力。則有
又因為則可化為
解出2-17．已知乙個傾斜度可以變化但底邊長l不變的斜面：
（1）求石塊從斜面頂端無初速地滑到底所需時間與斜面傾角α之間的關係，設石塊與斜面間的滑動摩擦係數為；
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