引言：傅利葉分析不僅僅是乙個數學工具，更是一種可以徹底顛覆乙個人以前世界觀的思維模式。但不幸的是，傅利葉分析的公式看起來太複雜了，所以很多學生上來就懵圈並從此對它深惡痛絕。
老實說，這麼有意思的東西居然成了大學裡的殺手課程，不得不歸咎於編教材的人實在是太嚴肅了。所以我一直想寫乙個有意思的文章來解釋傅利葉分析，有可能的話高中生都能看懂的那種。所以，不管讀到這裡的您從事何種工作，我保證您都能看懂，並且一定將體會到通過傅利葉分析看到世界另乙個樣子時的快感。
至於對於已經有一定基礎的朋友，也希望不要看到會的地方就急忙往後翻，仔細讀一定會有新的發現。
有關傅利葉
傅利葉是一位法國數學家和物理學家的名字，英語原名是jean baptiste joseph fourier(1768-1830), fourier對熱傳遞很感興趣，於2023年在法國科學學會上發表了一篇**，運用正弦曲線來描述溫度分布，**裡有個在當時具有爭議性的決斷：任何連續週期訊號可以由一組適當的正弦曲線組合而成。
當時審查這個**的人，其中有兩位是歷史上著名的數學家拉格朗日(joseph louis lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(pierre simon de laplace, 1749-1827)，當拉普拉斯和其它審查者投票通過並要發表這個**時，拉格朗日堅決反對，在他此後生命的六年中，拉格朗日堅持認為傅利葉的方法無法表示帶有稜角的訊號，如在方波**現非連續變化斜率。法國科學學會屈服於拉格朗日的威望，拒絕了傅利葉的工作，幸運的是，傅利葉還有其它事情可忙，他參加了政治運動，隨拿破崙遠征埃及，法國大革命後因會被推上斷頭台而一直在逃避。直到拉格朗日死後15年這個**才被發表出來。
拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成乙個帶有稜角的訊號。
但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基於此，傅利葉是對的。
話是這麼說沒錯，可是二者總要存在差異，甚至在跳變沿處，傅利葉逼近會產生gibbs現象，我們為什麼還要進行傅利葉展開或傅利葉變換呢？
為什麼要傅利葉展開和變換？
首先，我們從物理系統的特徵訊號角度來解釋。
我們知道，大自然中很多現象可以抽象成乙個線性時不變系統來研究，無論你用微分方程還是傳遞函式或者狀態空間描述。
線性時不變系統可以這樣理解：
輸入輸出訊號滿足線性關係，而且系統引數不隨時間變換。對於大自然界的很多系統，乙個正弦曲線訊號輸入後，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。
也就是說正弦訊號是系統的特徵向量！當然，指數訊號也是系統的特徵向量，表示能量的衰減或積聚。自然界的衰減或者擴散現象大多是指數形式的，或者既有波動又有指數衰減（復指數形式），因此具有特徵的基函式就由三角函式變成復指數函式。
但是，如果輸入是方波、三角波或者其他什麼波形，那輸出就不一定是什麼樣子了。所以，除了指數訊號和正弦訊號以外的其他波形都不是特徵訊號。
怎麼理解我所說的特徵向量和特徵訊號這個名字呢？其實這**於線性代數，我們知道矩陣a作用乙個特徵向量x可以用數學語言這樣描述，那麼系統作用乙個特徵訊號用數學語言描述就是：形式結構相同，只是乙個是有限長度的向量，另乙個是無限長度的訊號而已。
既然是特徵向量，我們就想能不能用特徵向量來表示自然界的訊號和乙個物理系統呢？這樣做的好處就是知道輸入，我們就能很簡單那的寫出輸出。我們來看乙個實際的例子，擊弦樂器——鋼琴。
琴鍵被小錘敲擊後，產生聲音，見下圖。
你可以認為聲音是琴鍵隨時間變化的，也可以看成是各種波的疊加。用數學的表示式就是這個樣子的：
凡有變化的波(交流、頻率)才能傳遞訊號，乙個一直不變的直流訊號是無法傳遞資訊的。這種「交流」是指廣義的，普遍的，無論是自然界裡蝙蝠探路，人們互相交談，還是衛星接收訊號，都屬於交流的範疇。
為了傳遞訊號，產生交流，我們需要以「波」作為訊號的載體。最簡單的波，就以一定頻率傳播。蝙蝠發出了超聲波，人們說話，聲帶振動帶動了空氣疏密波（聲波），衛星識別電磁波。
這樣，我們就有了頻率的概念。更進一步，除了手機ghz的波這些經典電磁波，在量子世界裡，原子的躍遷也是以一定的頻率發生的。我們甚至可以說，自然選擇了以這些單頻的模式為基礎。
對於乙個訊號來說，訊號強度隨時間的變化規律就是時域特性，訊號是由那些單一頻率的訊號合成的就是頻域特性。
為什麼時間和頻率描述世界是等價的？
這裡引入了時域頻域的概念。我們就有必要解釋一下為什麼時間和頻率來描述這個世界是等價的？
什麼是時域？從我們出生，我們看到的世界都以時間貫穿，**的走勢、人的身高、汽車的軌跡都會隨著時間發生改變。這種以時間作為參照來觀察動態世界的方法我們稱其為時域分析。
而我們也想當然的認為，世間萬物都在隨著時間不停的改變，並且永遠不會靜止下來。
什麼是頻域？頻域(frequency domain)是描述訊號在頻率方面特性時用到的一種座標系。用線性代數的語言就是裝著正弦函式的空間。
頻域最重要的性質是：它不是真實的，而是乙個數學構造。頻域是乙個遵循特定規則的數學範疇。
正弦波是頻域中唯一存在的波形，這是頻域中最重要的規則，即正弦波是對頻域的描述，因為時域中的任何波形都可用正弦波合成。
好抽象，不懂。那讓我們從乙個簡單的例子開始吧。在你的理解中，一段**是什麼呢？
這是我們對**最普遍的理解，乙個隨著時間變化的震動。但我相信對於樂器小能手們來說，**更直觀的理解是這樣的：
最上面的圖是**在時域的樣子，而下面的圖則是**在頻域的樣子。所以頻域這一概念對大家都從不陌生，只是從來沒意識到而已。
其實，在生活中，我們無時無刻不在進行著傅利葉變換。（什麼？我沒有聽錯吧？！）對的，請相信你的耳朵，你完全沒有聽錯。我們來看人類聽覺系統的處理過程：
當我們聽到乙個聲音，大腦的實際反應是什麼？事實上耳朵感覺到乙個時變的空氣壓力，這種變化也許是乙個類似於口哨聲的單音。當我們聽到乙個口哨聲時，我們所關心的並不是氣壓隨時間的振動（它非常非常快！
），而是聲音的三個特徵：基音、聲強以及音長。基音可以理解為頻率的同義詞，聲強不是別的，它就是幅度。
我們的耳朵—大腦系統能有效地將訊號表示成三個簡單的特徵引數：基音、聲強以及音長，並不理會氣壓的快速變化過程（乙個重複的變化過程）。這樣耳朵—大腦系統就提取了訊號的本質資訊。
傅利葉變換的分析過程與此類似，只不過我們從數學意義把它更加精確化和專業話罷了。
從數學上理解，頻域的概念就是由正弦訊號構成的空間。或者說這個空間裡裝著正弦訊號。聽起來好抽象，讓我們回憶乙個例子：我們知道對已乙個函式，我們可以將它分解成下面的形式：
分解的方法有很多。
我們這樣理解上面的函式分解：是函式空間中的一組基，是在這組基下的座標。對於泰勒展開，我們選取了多項式作為基，於是由多項式構成的空間就叫多項式空間。
對於傅利葉變換，我們只是選取了三角函式作為基，於是由三角函式構成的空間就叫頻率空間或者叫頻域。以此類推。
用正弦曲線來代替原來的曲線而不用方波或三角波或者其他什麼函式來表示的原因在於：正弦訊號恰好是很多線性時不變系統的特徵向量。於是就有了傅利葉變換。
對於更一般的線性時不變系統，復指數訊號(表示耗散或衰減)是系統的「特徵向量」。於是就有了拉普拉斯變換。z變換也是同樣的道理，這時是離散系統的「特徵向量」。
這裡沒有區分特徵函式和特徵向量的概念，主要想表達二者的思想是相同的，只不過乙個是有限維向量，乙個是無限維函式。
傅利葉級數和傅利葉變換其實就是我們之前討論的特徵值與特徵向量的問題。分解訊號的方法是無窮的，但分解訊號的目的是為了更加簡單地處理原來的訊號。這樣，用正余弦來表示原訊號會更加簡單，因為正余弦擁有原訊號所不具有的性質：
正弦曲線保真度。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質。
同時，這也解釋了為什麼我們一碰到訊號就想方設法的把它表示成正弦量或者復指數量的形式；解釋了為什麼方波或者三角波如此「簡單」，我們非要展開的如此「麻煩」；解釋了為什麼對於乙個沒有什麼規律的「非週期」訊號，我們都絞盡腦汁的用正弦量展開。就因為正弦量(或復指數)是特徵向量。
考慮到實際過程都只關心t>0時刻的現象，所以一般用的拉氏變換都是單邊的，也就是教材中講的拉普拉斯變換。微分運算的變換，除了以外還有其它項，就是因為所做的是單邊的變換，需要考慮初值。
時域分析與頻域分析是對訊號的兩個觀察面。時域分析是以時間軸為座標表示動態訊號的關係；頻域分析是把訊號變為以頻率軸為座標表示出來。一般來說，時域的表示較為形象與直觀，頻域分析則更為簡練，剖析問題更為深刻和方便。
目前，訊號分析的趨勢是從時域向頻域發展。然而，它們是互相聯絡，缺一不可，相輔相成的。貫穿時域與頻域的方法之一，就是傳中說的傅利葉分析。
傅利葉分析可分為傅利葉級數（fourier serie）和傅利葉變換(fourier transformation)。
鑑於你對積分變換已經心灰意冷，為了讓你對積分變換產生一點好感。我們來看一張圖：
海綿寶寶的傅利葉變換就是派大星
這個圖在討論濾波器的時候很有用，學習通訊或者電子專業的學生對這個圖再熟悉不過了，如果你感興趣可以聯絡我交流一下。
之前說了那麼多，可能你不相信乙個訊號可以用正弦訊號的線性組合重現，或者說你不相信乙個函式可以展開。接下來，我們深入的討論一下這個問題。
任何訊號都可以用正弦訊號的線性組合重現
什麼是分解呢？分解的意思就像我們用不同的塗料來調色，乙個色調可以分解成不同基色調的組合。一束白光可以分解成不同顏色的光的疊加。
如果我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出乙個帶90度角的矩形波來，你會相信嗎？你不會，就像當年的我一樣。但是看看下圖：
隨著疊加的遞增，所有正弦波中上公升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上公升到最高處時繼續上公升的部分使其變為水平線。乙個矩形就這麼疊加而成了。但是要多少個正弦波疊加起來才能形成乙個標準90度角的矩形波呢？
不幸的告訴大家，答案是無窮多個。用線性代數的角度來說明這個問題，就是基的數量要足夠，數學一點的用語是完備性。如果你接觸過小波變換，你就更能體會到這點。
不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的。這是沒有接觸過傅利葉分析的人在直覺上的第乙個難點，但是一旦接受了這樣的設定，遊戲就開始有意思起來了。
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