傅利葉變換用於傅利葉光學的關鍵之處
單位：吉首大學物理與機電工程學院2011級物理學應用物理班
摘要：傅利葉變換是一門數學工具但其在物理學、數論、組合數學、訊號處理、概率、統計、密碼學、聲學、光學等領域也有著廣泛的應用。其中將傅利葉變換用在光學中是現代光學的重大突破。
考慮到光波可以用波函式來描述，而波函式又可以用傅利葉級數進行展開，這樣即可以把這樣的波函式看做成許多個基元函式的組合，而這些基元函式都是可以表示成和頻率相關的復函式。這樣的話我們便可以用這些基元函式的線性疊加來表示出乙個波函式，有時研究單個的基元函式會比研究整個原函式要方便的多，正是這樣的思想才催生出傅利葉變換。同樣在光學領域上，在某些情況下**某光波場或光學系統的相關函式在空間域顯得很困難，而在頻域來研究卻會簡單的多。
因此我們需要一種能實現函式空域和頻域相互轉換的方法。傅利葉變換就是能實現這一功能的數學工具，它是一特殊的積分變換，即可把空域上的函式表示成其復指數函式在整個頻率區間的積分和，也可以把頻域上單獨的基元復指數函式累加成空域上的函式。這樣我們對光學領域的研究就不僅僅停留在空域上的研究而是擴充套件到空域和頻域上，如果把光學在空域上的研究當做其研究的乙隻手臂，那麼光學在頻域上的研究就相當於其另乙隻手臂，兩隻手臂的使用便可事半工倍。
正是這樣便可以在光學領域中解決更多一系列難題，將光學領域應用擴充套件的更廣，取得新的發展突破。所以才衍生出今天的這一門新的光學分支學科「傅利葉光學」。這就是傅利葉變換這一數學工具用與光波場和光學系統而導致出新的光學分支「傅利葉光學」關鍵之處。
關鍵詞：傅利葉分析、空域函式、頻域函式、頻譜
引言 19世紀初，傅利葉在向巴黎科學院呈交的關於熱傳導的著名**中提出了傅利葉級數，其意義是無法估量的。今天傅利葉分析方法已經廣泛用於物理學及工程學科的各個領域。
本文著重研究傅利葉分析方法中傅利葉變換在光學領域的關鍵之處，講解傅利葉變換作為一數學工具是如何與光學領域相聯絡，怎樣方便光學領域的研究，以至出現光學領域的新分支「傅利葉光學」。通過這樣的研究可以進一步深化對傅利葉分析方法及傅利葉變換的認識，加深認識傅利葉變換在光學研究中的物理意義，鞏固所學知識，以便以後能運用好「傅利葉光學」知識去解決一些實際問題。
正文 一.傅利葉變換簡概
傅利葉變換是數字訊號處理領域一種很重要的演算法。要知道傅利葉變換演算法的意義，首先要了解傅利葉原理的意義。傅利葉原理表明：
任何連續測量的時序或訊號，都可以表示為不同頻率的正弦波訊號的無限疊加。而根據該原理創立的傅利葉變換演算法利用直接測量到的原始訊號，以累加方式來計算該訊號中不同正弦波訊號的頻率、振幅和相位。
和傅利葉變換演算法對應的是反傅利葉變換演算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波訊號轉換成乙個訊號。因此，可以說，傅利葉變換將原來難以處理的時域訊號轉換成了易於分析的頻域訊號（訊號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域訊號進行處理、加工。
最後還可以利用傅利葉反變換將這些頻域訊號轉換成時域訊號。
二．傅利葉變換在光波場中的應用
1.對於一普通光波場來說，一般都會包含很多波長的光波，為了方便研究，我們從單色光研究開始，如果能知道該光波長所有單色光的光波場的分布，那麼這個光波場我們就可以通過這些單色光波場疊加得到。
對於乙個普通的單色光波場中空間某點p在t 時刻的光振動u( p，t)課表示為
其中ν為光波的時間頻率；a（p）和φ（p）分別是p點光振動的振幅和初相位
對u（p，t）在數學上進行變換寫成復指數函式為
從式中可以知道因子與空間位置p無關，這樣也就意味著在空間任何位置只要時間相同，對該點振幅影響情況都一樣，而且其形式簡單，容易分析，所以我們可以把它提出來單獨考慮，於是我們先可以研究函式中的部分，所以對其定義乙個新物理量為單色光波場的復振幅。它只與空間位置有關。
2.利用光波場復振幅理論，可以方便對光波場的研究，例如，對於空間中的一平面波我們可以用復振幅表示為
若令該波波矢位於平面，則該平面波復振幅可表示成
因為式中是定值當相位相同時即
將，不同的c值就會對應不同的相位差，若取相差為所對應相鄰等相位的空間中的相位線為
這表示的是空間**現相位週期時所佔的空間尺度（因為它們的相差都為2π），因為若對其取倒數，則可表示為
它的意義是指空間單位長度內出現相位相同的週期數。這樣就可以把該平面波表示成
同理推廣到平面波一般情況
若對其進行傅利葉分析，引入權重因子
這樣便實現了該波函式的復振幅空域和頻域的轉換。
3.在光波場理論中，平面波和球面波都是作為光的波動方程的基本解，而波動方程具有線性性質，也就是說複雜的光波場能用球面波或者平面波的線性疊加來表示，而球面波和平面波都可以表示成在頻率域上的函式，只需對其進行傅利葉變換即可。而將組成該複雜波場的球面波或者平面波用頻域函式來表示後，它們的線性疊加便可以寫成傅利葉逆變換的形式，根據公式
這裡我們可以簡單的模擬下，把看做為該複雜波場的原函式，
而看做為組成該複雜波場的球面波或者平面波的頻域函式， 再利用傅利葉變換中的一些數學性質，如傅利葉變換對...這樣我們便有可能把這複雜的波場分布求出來。
4.考慮研究光波場必然是研究光波場傳播的問題，而光的傳播是以衍射的方式進行的，對之前的衍射理論進行傅利葉分析，便將衍射理論分為了基爾霍夫衍射理論和角譜衍射理論。
基爾霍夫理論是描述球面子波相干疊加的衍射理論，角譜理論是衍射的平面波理論。
基爾霍夫理論與角譜理論是統—的，它們都證明了光的傳播現象可以看做線性不變系統。
基爾霍夫理論是在空域討論光的傳播，是把孔徑平面上的光場看做點源的集合，觀察平面上的場分布則等於它們所發出的帶有不同權重因子的球面子波的相干疊加，球面子波在觀察平面上的復振幅分布就是系統的脈衝響應。
角譜理論是在頻域討論光的傳播，將孔徑平面光場分布看做許多不同方向傳播的平面波的線性組合。觀察平面上的場分布等於這些平面波分量的相干疊加，但每個平面波分量引入了相移。相移的大小決定於系統的傳遞函式，它是系統的脈衝響應的傅利葉變換。
二.光學系統的傅利葉變換應用
1.將傅利葉分析方法引用到光波場，便出現了光波場及傳播的頻域函式表示法，同樣對於光學系統而言其本身就是影響光波場的分布和傳播的系統，若其影響了空域上的光波場分布和傳遞情況，必然會相對應到頻域上去。
2.對於乙個平面透射的物體進行傅利葉變換運算的物理手段是實現它的夫琅禾費衍射，為了能在較近的距離觀察到物體的遠場衍射圖樣，常常要用傳統的光學元件——透鏡。這樣透鏡的作用就相當於實現了物體的傅利葉變換。
因為透鏡具有改變光波場空間相位的分布，對其有調製作用，這就相當於它能調製頻域上f的分布。
正是因為透鏡具有著特殊的性質，他能在光學系統中起著對光波場進行實質的傅利葉變換，因此對於一些光學系統便能方便的引入傅利葉變換，只需引入透鏡元件即可。這樣我們就可以對光學頻譜進行分析，利用透鏡傅利葉的變換來產生物體的空間頻譜，通過對它進行測量、分析來研究物體的空間結構。
3.用光學方法實現的傅利葉變換，對物體做頻譜分析，較之計算機的處理速度快，資訊容量大，裝置簡單。它可以完成二維或多通道的運算。
雖然它只是一種模擬運算，精度不高，但對於許多應用，其運算精度已經合乎需要。
人們很早就認識到可以通過對物體的夫琅禾費衍射圖樣的測量來確定物體的形狀尺寸，尤其對於尺寸很小的物體，直接測量常有困難，需要精度精密的光學系統把它放大後測量。然而物體愈小，其頻譜就展的俞寬，衍射圖樣幾何尺寸愈大，測量頻譜就容易多了。早期應用包括羊毛纖維平均直徑的楊氏位置和強度分布，因此為探測提供了很大的方便。
應用頻譜分析系統可用來對懸浮顆粒、粉塵作尺寸分析。粒子越小，頻譜展的越寬。由於傅利葉變換的位移性質，粒子測量期間發生運動並不會影響到衍射圖樣的位置和強度的分布，這給測量帶來了極大的方便。
正因如此該分析系統被推廣到工業中來測量產品的質量。如檢測表面粗糙、針尖缺陷檢測、織物疵病檢查等等。利用計算機還可以完成資料分析同時，根據檢測結果對生產過程實行控制。
除此之外光學系統頻譜分析法也可以用於作圖分析。總的來說頻譜分析法是在引用了透鏡的傅利葉變換性質後的光學系統才得以實現的，可見傅利葉變換在光學系統中重要地位。
結論：由上面論證我們可以知道，傅利葉變換引用到光波場和光學系統後最關鍵之處是傅利葉變換實現了空域和頻域的轉換，將頻域引入到了光學分析裡，正是因為這樣光學領域得到了豐富、和發展。所以誕生了傅利葉光學。
傅利葉變換
傅利葉變換能將滿足一定條件的某個函式表示成三角函式 正弦和 或余弦函式 或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅利葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅利葉變換和離散傅利葉變換。最初傅利葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的。目錄1概念 1.1 定義 1.2 中文譯名 1.3 應用 1.4...
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