傅利葉變換能將滿足一定條件的某個函式表示成三角函式（正弦和/或余弦函式）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅利葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅利葉變換和離散傅利葉變換。最初傅利葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的。
目錄1概念：
1.1 定義
1.2 中文譯名
1.3 應用
1.4 相關
2性質2.1 線性性質
2.2 尺度變換性質
2.3 頻移性質
2.4 微分關係
2.5 卷積特性
2.6 parseval定理以及plancherel定理
3特殊變換
3.1 連續傅利葉變換
3.2 傅利葉級數
3.3 離散時間傅利葉變換
3.4 離散傅利葉變換
3.5 在阿貝爾群上的統一描述
3.6 傅利葉變換家族
4相關4.1 變換提出
4.2 變換分類
4.3 變換意義
4.4 影象傅利葉變換
5例子5.1 乙個關於實數離散傅利葉變換(real dft)例項
5.2 用matlab進行傅利葉變換
6應用6.1 整體結構
6.2 蝶形運算器
6.3 fft的位址
6.4 旋轉因子
6.5 儲存器控制
6.6 硬體選擇
1概念：
傅利葉變換是一種分析訊號的方法，它可分析訊號的成分，也可用這些成分合成訊號。許多波形可作為訊號的成分，比如正弦波、方波、鋸齒波等，傅利葉變換用正弦波作為訊號的成分。
參考《數字訊號處理》楊毅明著p.89，機械工業出版社2023年發行。
定義f(t）是t的函式，如果t滿足狄里赫萊條件：具有有限個間斷點；具有有限個極值點；絕對可積。則有下圖①式成立。稱為積分運算f(t）的傅利葉變換，
②式的積分運算叫做f（ω）的傅利葉逆變換。f（ω）叫做f(t）的像函式，f(t）叫做
f（ω）的像原函式。f（ω）是f(t）的像。f(t）是f（ω）原像。
① ②傅利葉逆變換
中文譯名
fourier transform或transformée de fourier有多個中文譯名，常見的有「傅利葉變換」、「傅利葉變換」、「付立葉變換」、「傅利葉轉換」、「傅氏轉換」、「傅氏變換」、等等。為方便起見，本文統一寫作「傅利葉變換」。
應用傅利葉變換在物理學、電子類學科、數論、組合數學、訊號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構動力學等領域都有著廣泛的應用（例如在訊號處理中，傅利葉變換的典型用途是將訊號分解成幅值譜——顯示與頻率對應的幅值大小）。
相關* 傅利葉變換屬於諧波分析。
* 傅利葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似;
* 正弦基函式是微分運算的本徵函式，從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常係數的代數方程的求解.**性時不變的物理系統內，頻率是個不變的性質，從而系統對於複雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦訊號的響應來獲取；
*卷積定理指出：傅利葉變換可以化複雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段；
* 離散形式的傅利葉變換可以利用數字計算機快速地算出（其演算法稱為快速傅利葉變換演算法（fft)).[1]
2性質線性性質
傅利葉變換的線性性，是指兩函式的線性組合的傅利葉變換，等於這兩個函式分別做傅利葉變換後再進行線性組合的結果。具體而言，假設函式
和 和都存在，
和 為任意常係數，則有
尺度變換性質
若函式，則對任意的非零實數
，函式存在，且等於
對於 的情形，上式表明，若將
的影象沿橫軸方向壓縮
倍，則其傅利葉變換的影象將沿橫軸方向展寬
倍，同時高度變為原來的
。對於的情形，還會使得傅利葉變換的影象關於縱軸做映象對稱。
頻移性質
若函式，則對任意實數
，函式也存在傅利葉變換，且其傅利葉變換
等於也就是說，
可由 向右平移
得到。微分關係
若函式，且其導函式
的傅利葉變換存在，則有
即導函式的傅利葉變換等於原函式的傅利葉變換乘以因子
。更一般地，若
的 階導數
的傅利葉變換存在，則
即 階導數的傅利葉變換等於原函式的傅利葉變換乘以因子
。卷積特性
若函式以及 都在
上絕對可積，則卷積函式
的傅利葉變換存在，且
parseval定理以及plancherel定理
若函式以及 平方可積，二者的傅利葉變換分別為
與 ，則有
上式被稱為parseval定理。特別地，對於平方可積函式
，有上式被稱為plancherel定理。這兩個定理表明，傅利葉變換是平方可積空間
上的乙個酉算符（若不考慮因子
）。3特殊變換
一般情況下，若「傅利葉變換」一詞的前面未加任何限定語，則指的是「連續傅利葉變換」。「連續傅利葉變換」將平方可積的函式
表示成復指數函式的積分形式：
上式其實表示的是連續傅利葉變換的逆變換，即將時間域的函式表示為頻率域的函式
的積分。反過來，其正變換恰好是將頻率域的函式
表示為時間域的函式
的積分形式。一般可稱函式
為原函式，而稱函式
為傅利葉變換的像函式，原函式和像函式構成乙個傅利葉變換對（transform pair）。
當 為奇函式（或偶函式）時，其餘弦（或正弦）分量為零，而可以稱這時的變換為余弦變換（cosine transform）或正弦變換（sine transform）。
傅利葉級數
主條目：傅利葉級數
連續形式的傅利葉變換其實是傅利葉級數的推廣，因為積分其實是一種極限形式的求和運算元而已。對於週期函式，它的傅利葉級數（fourier series）表示被定義為：
其中 為函式的週期，
為傅利葉展開係數，它們等於
對於實值函式，函式的傅利葉級數可以寫成：
其中 和
是實頻率分量的振幅。
離散時間傅利葉變換
主條目：離散時間傅利葉變換
離散時間傅利葉變換（discrete-time fourier transform, dtft）針對的是定義域為
的數列。設
為某一數列，則其dtft被定義為
相應的逆變換為
dtft在時域上離散，在頻域上則是週期的，它一般用來對離散時間訊號進行頻譜分析。dtft可以被看作是傅利葉級數的逆。
為了在科學計算和數字訊號處理等領域使用計算機進行傅利葉變換，必須將函式定義在離散點上而非連續域內，且須滿足有限性或週期性條件。這種情況下，序列
的離散傅利葉變換（discrete fourier transform, dft）為
其逆變換為
直接使用dft的定義計算的計算複雜度為
，而快速傅利葉變換（fast fourier transform, fft）可以將複雜度改進為
。計算複雜度的降低以及數位電路計算能力的發展使得dft成為在訊號處理領域十分實用且重要的方法。
在阿貝爾群上的統一描述
以上各種傅利葉變換可以被更統一的表述成任意區域性緊緻的阿貝爾群上的傅利葉變換。這一問題屬於調和分析的範疇。在調和分析中，乙個變換從乙個群變換到它的對偶群（dual group）。
此外，將傅利葉變換與卷積相聯絡的卷積定理在調和分析中也有類似的結論。
下表列出了傅利葉變換家族的成員。容易發現，函式在時（頻）域的離散對應於其像函式在頻（時）域的週期性，反之連續則意味著在對應域的訊號的非週期性。
4相關[2]
變換提出
傅利葉是一位法國數學家和物理學家的名字，英語原名是jean baptiste joseph fourier(1768-1830), fourier對熱傳遞很感興趣，於2023年在法國科學學會上發表了一篇**，運用正弦曲線來描述溫度分布，**裡有個在當時具有爭議性的決斷：任何連續週期訊號可以由一組適當的正弦曲線組合而成。當時審查這個**的人，其中有兩位是歷史上著名的數學家拉格朗日(joseph louis lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(pierre simon de laplace, 1749-1827)，當拉普拉斯和其它審查者投票通過並要發表這個**時，拉格朗日堅決反對，在他此後生命的六年中，拉格朗日堅持認為傅利葉的方法無法表示帶有稜角的訊號，如在方波**現非連續變化斜率。
法國科學學會屈服於拉格朗日的威望，拒絕了傅利葉的工作，幸運的是，傅利葉還有其它事情可忙，他參加了政治運動，隨拿破崙遠征埃及，法國大革命後因會被推上斷頭台而一直在逃避。直到拉格朗日死後15年這個**才被發表出來。
拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成乙個帶有稜角的訊號。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基於此，傅利葉是對的。
用正弦曲線來代替原來的曲線而不用方波或三角波來表示的原因在於，分解訊號的方法是無窮的，但分解訊號的目的是為了更加簡單地處理原來的訊號。用正余弦來表示原訊號會更加簡單，因為正余弦擁有原訊號所不具有的性質：正弦曲線保真度。
乙個正弦曲線訊號輸入後，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。
變換分類
根據原訊號的不同型別，我們可以把傅利葉變換分為四種類別：
1非週期性連續訊號傅利葉變換（fourier transform）
2週期性連續訊號傅利葉級數(fourier series)
3非週期性離散訊號離散時域傅利葉變換（discrete time fourier transform）
4週期性離散訊號離散傅利葉變換(discrete fourier transform)
下圖是四種原訊號圖例：
這四種傅利葉變換都是針對正無窮大和負無窮大的訊號，即訊號的的長度是無窮大的，我們知道這對於計算機處理來說是不可能的，那麼有沒有針對長度有限的傅利葉變換呢？沒有。因為正余弦波被定義成從負無窮大到正無窮大，我們無法把乙個長度無限的訊號組合成長度有限的訊號。
面對這種困難，方法是把長度有限的訊號表示成長度無限的訊號，可以把訊號無限地從左右進行延伸，延伸的部分用零來表示，這樣，這個訊號就可以被看成是非週期性離解訊號，我們就可以用到離散時域傅利葉變換的方法。還有，也可以把訊號用複製的方法進行延伸，這樣訊號就變成了週期性離解訊號，這時我們就可以用離散傅利葉變換方法進行變換。這裡我們要學的是離散訊號，對於連續訊號我們不作討論，因為計算機只能處理離散的數值訊號，我們的最終目的是運用計算機來處理訊號的。
小波變換he傅利葉變換
如果有人問我，如果傅利葉變換沒有學好 深入理解概念 是否能學好小波。答案是否定的。如果有人還問我，如果第一代小波變換沒學好，能否學好第二代小波變換。答案依然是否定的。但若你問我，沒學好傅利葉變換，能否操作 程式設計 小波變換，或是沒學好第一代小波，能否操作二代小波變換，答案是肯定的。一 一 基的概念...
小波變換與傅利葉變換
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快速傅利葉變換 FFT 原理介紹
fft是離散傅利葉變換的快速演算法，可以將乙個訊號變換 到頻域。有些訊號在時域上是很難看出什麼特徵的，但是如 果變換到頻域之後，就很容易看出特徵了。這就是很多訊號 分析採用fft變換的原因。另外，fft可以將乙個訊號的頻譜 提取出來，這在頻譜分析方面也是經常用的。雖然很多人都知道fft是什麼，可以用...