考綱要求
1．了解構成函式的要素，會求一些簡單函式的定義域和值域；了解對映的概念．
2．在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函式．
3．了解簡單的分段函式，並能簡單地應用．
1．函式與對映的概念
2．函式的有關概念
(1)函式的定義域、值域．
在函式y＝f(x)，x∈a中，x叫做自變數叫做函式的定義域；與x的值相對應的y值叫做函式值叫做函式的值域，顯然，值域是集合b的子集．
(2)函式的三要素和
3．函式的表示方法
表示函式的常用方法有和
4．分段函式
若函式在其定義域的不同子集上，因不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函式稱為分段函式．
分段函式的定義域等於各段函式的定義域的其值域等於各段函式的值域的分段函式雖由幾個部分組成，但它表示的是乙個函式．
1．設f，g都是從a到a的對映(其中a＝)，其對應關係如下表：
則f(g(3))等於( )．
a．1 b．2
c．3 d．不存在
2．集合a＝，b＝，下列不表示從a到b的函式的是( )．
a．f：x→y＝xb．f：x→y＝x
c．f：x→y＝xd．f：x→y＝
3．下列各函式中，表示同乙個函式的是( )．
a．f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg x
b．f(x)＝lg，g(x)＝lg(x＋1)－lg(x－1)
c．f(u)＝，g(v)＝
d．f(x)＝x，g(x)＝
4．(2015山東高考)函式f(x)＝＋的定義域為( )．
a．[－1，1]
b．(0,1]
c．[－1,0]
d．(－1,0)∪(0,1]
5．已知函式f(x)＝若f(x)＝2，則x等於( )．
a．log32
b．－2
c．log32或－2
d．2一、求簡單函式的定義域、值域
【例1－1】(2012江蘇高考)函式f(x)＝的定義域為
【例1－2】已知函式f(3－2x)的定義域為[－1,2]，求f(x)的定義域．
【例1－3】求下列函式的值域：
(1)y＝x2＋2x，x∈[0,3]；
(2)y＝；
(3)y＝log3x＋logx3－1.
方法提煉 1．求函式定義域的方法
(1)求具體函式y＝f(x)的定義域：
(2)求抽象函式的定義域：
①若已知函式f(x)的定義域為[a，b]，其復合函式f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出．
②若已知函式f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域．
提醒：定義域必須寫成集合或區間的形式．
2．求值域的方法
常見的求值域的方法有：①配方法；②換元法；③基本不等式法；④利用函式的單調性；⑤分離常數法；⑥數形結合法；⑦導數法等．
3．若兩個函式的定義域與值域相同，它們不一定是同一函式，如函式y＝x與y＝x＋1，其定義域與值域完全相同，但不是同乙個函式；再如y＝sin x與y＝cos x，其定義域都為r，值域都為[－1,1]，顯然不是同乙個函式．定義域和解析式相同的兩個函式是同乙個函式．
4．分段函式的定義域、值域為各段上的定義域、值域的並集；最大(小)值是各段最大(小)值中最大(小)的；圖象則是由各段上的圖象合成的．
二、求函式的解析式
【例2－1】若函式f(x)＝(a≠0)，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，則f(x
【例2－2】若2f(x)－f(－x)＝x＋1，求f(x)．
【例2－3】已知y＝f(x)是定義在r上的奇函式，當x≤0時，f(x)＝2x＋x2.
(1)求x＞0時，f(x)的解析式；
(2)若關於x的方程f(x)＝2a2＋a有三個不同的解，求a的取值範圍．
方法提煉函式解析式的求法：
1．湊配法：由已知條件f(g(x))＝f(x)，可將f(x)改寫成關於g(x)的表示式，然後以x替代g(x)，便得f(x)的表示式；
2．待定係數法：若已知函式的型別(如一次函式、二次函式)，可用待定係數法；
3．換元法：已知復合函式f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值範圍；
4．方程思想：已知關於f(x)與f或f(－x)的表示式，可根據已知條件再構造出另外乙個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．
提醒：如果函式的解析式相同、定義域不同，則為不相同的函式，因此求函式的解析式時，如果定義域不是r，一定要註明函式的定義域，否則會導致錯誤．
忽略分段函式中自變數的取值範圍而致誤
【典例】設函式f(x)＝若f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，求關於x的方程f(x)＝x的解．
錯解：當x≤0時，f(x)＝x2＋bx＋c.
因為f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，
所以解得
所以f(x)＝
當x≤0時，由f(x)＝x得x2＋2x－2＝x得x＝－2或x＝1.
當x＞0時，由f(x)＝x得x＝2.
所以方程f(x)＝x的解為：－2,1,2.
分析：(1)條件中f(－2)，f(0)，f(－1)所適合的解析式是f(x)＝x2＋bx＋c，所以可構建方程組求出b，c的值．(2)在方程f(x)＝x中，f(x)用哪個解析式，要進行分類討論．
正解：當x≤0時，f(x)＝x2＋bx＋c，
因為f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，
∴解得∴f(x)＝
當x≤0時，由f(x)＝x得，x2＋2x－2＝x，
得x＝－2或x＝1.由於x＝1＞0，所以捨去．
當x＞0時，由f(x)＝x得x＝2，
所以方程f(x)＝x的解為－2,2.
答題指導：
1．對於分段函式問題，是高考的熱點．在解決分段函式問題時，要注意自變數的限制條件．首先要判斷自變數屬於定義域的哪個子集，然後再代入相應關係式求解.
2．就本題而言，當x≤0時，由f(x)＝x得出兩個x值，但其中的x＝1不符合要求，錯解中沒有捨去此值，因而導致了增解．分段函式問題分段求解，但一定注意各段的限制條件．
1．已知函式f(x)＝＋(x－1)0的定義域為m，g(x)＝ln(2－x)的值域為n，則m∩n＝( )．
a． b．
c． d．
2．已知f＝lg x，則f(x)＝( )．
a．lg b．lg
c．lg d．lg
3．(2012陝西高考)設函式f(x)＝則f(f(－4
4．設g(x)是定義在r上、以1為週期的函式．若函式f(x)＝x＋g(x)在區間[0,1]上的值域為[－2,5]，則f(x)在區間[0,3]上的值域為
5．對a，b∈r，記min＝函式f(x)＝min (x∈r)的最大值為________．
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