分類又稱邏輯劃分．分類討論即是一種數學思維方法，也是一種重要的解題策略，常常能起到簡化問題、解決問題的作用．
數字的解題過程，實質是乙個變形過程，往往需要一些條件的限制，從而引起分類討論．
分類討論的關鍵問題就是：對哪個變數分類，如何分類．
分類的原則：由分類的定義，分類應滿足下列要求：
（1） 保證各類物件即不重複又不遺漏．
（2） 每次分類必須保持同一分類標準．
應用分類討論解決數學問題的一步驟：
（1） 確定討論物件和需要分類的全集．（2）確定分類標準（3）確定分類方法（4）逐項進行討論（5）歸納小結
應該注意的是，在運用時，不要盲目或機械地進行分類討論，有的題目雖然含有分類因素，但不要急於分類討論，要首先對問題作深入的研究，充分挖掘題目的已知量與未知量之間的關係，尋求正確的解題策略，則可以簡化分類討論的步驟或避免不必要的分類討論，使解題更簡單．
一、例題分析
例1：求函式求的值域．
分析：根據絕對值的定義
及題設中函式的表示式可知，要分別對絕對值號中的sinx,cosx,tgx,ctgx按照其大於零，小於零（不能為零）來討論，以去掉絕對值號．而決定三角函式值正負的因素是角x所在的象限，故按角x的終邊所在的象限為分類標準，進行分類討論：
解 （1）角x在第一象限時，
（2） 角x在第二象限時，
（3） 角x在第三象限時，
（4） 角x在第四象限時，
綜上所述：函式的值域
說明：數學中的概念有些是含有不同種類的，當題目涉及這樣的概念時，必須按給出概念的分類方式進行分類討論，才能使解答完整無誤．
例2，已知扇形的圓心角為60°，半徑為5cm，求這個扇形的內接長方形的最大面積．圖
解：如圖一，內接長方形cdef的面積為：s=ed·ef ， ed=oe·sinθ=5sinθ
在△efo中，運用正弦定理，得
∴ ∴
∴ 如圖二．取的中點m，連線om分扇形為兩個小扇形，在這二個小扇形中，各有原內接長方形的一半，∴內接長方形的面積為乙個小扇形中內接長方形面積的2倍． 即
∴ 再比較s大與s大′的大小
綜上，所求扇形的最大內接長方形的面積為 ．
說明：本題是由圖形的位置及形狀不能確定引起的分類討論，其原因在於扇形內接長方形相對於扇形的位置不確定，故而求出兩種位置下的面積而後判斷最大為多少．
例3 已知直角座標平面上點q（2，0）和圓c，x2+y2=1，動點m到圓c的切線長與|mq|的比等於常數λ（λ＞0）求動點m的軌跡方程，說明它表示什麼曲線．
解如圖，設直線mn切圓o於n，則動點m組成的集合是
p=(其中λ>0)
∵圓半徑|on|=1，∴|mn|2=|mo|2-|on|2=|mo|2-1
設點m的座標為（x，y），則
整理得：
檢驗，座標適合這個方程的點都屬於集合p，故這個方程為所求的軌跡方程．
當λ=1時，方程化為 ，它表示一條直線，該直線與x軸垂直且交x軸於點
當λ≠1時，方程化為
它表示圓，該圓圓心的座標為 ，半徑為
說明：本題在求出軌跡方程之後，在判定為何曲線時，因引數引起了分類討論：一些問題中的數學表示式中因含有會導致不同結論的引數，從而需對引數分情況討論為，求得問題的結果．
例4 已知a＞1，解關於x的不等式：
解：原不等式
（i）當1＜a＜2時，由①得：x＜a或x＞2
∵ ∴ 又∵ ∴
∴解集為
（ii）當a=2時，由①得x≠2，由③得
∴解集為
（iii）當a＞2時，由①得， x＜2或x＞a
∵ ∴解集為
說明：本題中引數a，在求解集過程中，不同的取值，影響解集，故而要分類討論，這是變形所需．
例5 某城市用水收費方法是：水費=基本費+超額費+排汙費，若每月水量不超過最低限量am3時，只付基本費8元和每戶每定額排汙費c元；若用水量超過am3時，除了付給同上的基本費和排汙費外，超過部分每方公尺付b元的超額費．已知每戶每月的排汙費不超過4元，該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費用如下表所示：
解：設每月用水量為xm3，支付費用為y元．
則 由題意知0＜c≤4，8+c≤12．
故第2、3月份用水量15 am3,13 am3大於最低用水限量am3
將分別代入中，得
① 再分析1月份用水量是否超過最低限量am3
不妨設8＞a，
將中，得
9=8+2（8–a）+c,
得2a=c+15 ②
∴1月份用水量不超過最低限量．
又∵y=8+c
∴9=8+c,c=1
∴a=10,b=2,c=1
說明：本題為實際應用問題，在解題過程中，隱含著分類討論：a>8,a=8,a<8，根據條件，逐一討論，使問題得以解決．
例6 設a＞0，且a≠1，解關於x的不等式：
解：原不等式
當0＜a＜1時，
原不等式
或（ⅱ）
或（ⅲ）
解不等式組（ⅰ），得 ；
解不等式組（ⅱ），得
解不等式組（ⅲ），無解．
∴原不等式的解集為
當a＞1時，
原不等式
（ⅰ）或（ⅱ）
或（ⅲ）
解不等式組（ⅰ），得
解不等式組（ⅱ），得a≤x二、習題練習
．1．已知不共面的三條直線a、b、c，a∥b∥c，過a作平面α，使b、c到α的距離相等，則滿足條件的平面α有（ ）
（a）1個 （b）2個 （c）4個 （d）無數個
2．函式與它的反函式是同一函式的充要條件是（ ）
（a）a=1，b=0 (b) a=-1，b=0
(c)a=±1，b=0 （d）a=1，b=0 或a=-1，b∈r
3．已知k是常數，若雙曲線的焦距與k值r無關，則k的取值範圍是（ ）
（a）-2＜k≤2 （b）k＞5
（c）-2＜k≤0 （d）0≤k＜2
4．已知數列前n次之和sn滿足 ，則an
5．直線m過點p（-2，1），點a（-1，-2）到直線m的距離等於1，則直線m的方程為
6．根據實數k的不同取值，討論直線y=k(x+1)與雙曲線
的公共點個數．
7．已知數列和函式當n為正偶數時， ；當n為正奇數時， ．求的通項公式．
8．設a>0,a≠1，解關於x的不等式．
三、習題解答
1．b）提示：兩種情況：過a與b、c所確定平面平行，或過a與b、c所確定平面相交．
2．選（d），提示： 的反函式為 ，依題意
∴ 由①得a=±1，當a=1時，b=0，當a= -1時，b∈r．
3．選（c）提示：表示雙曲線，則 ，此時， ，不合題意，當k≤0時，-2＜k≤0，此時， ，則 ，與k無關．
4． 提示：由且當n≥2時，
，若 ，
∴ 5．4x+3y+5=0，或x=-2 提示：直線m的斜率不存在時，方程為x=-1，滿足條件，當斜率存在時，設其方程為y-1=k(x+2)，由點到直線的距離公式，可得
6．解：由消去y整理得
當時， ，此時直線分別與雙曲線的漸近線平行，它仍分別與雙曲線的一支交於一點
當時，∴當時，直線分別與雙曲線只有乙個公共點；
當時，直線與雙曲線有兩個公共點；
當時，直線與雙曲線無交點．
7．解當n為正偶數時，
此時n-1為為正奇數，則
∴ ∴
當n為正奇數時，（n＞1）
此時n-1為為正偶數，則
∴ ，解得
而當n=1時，由已知得 ∴
故數列的通項公式為
8．解：原不等式
當 原不等式
∴原不等式的解集是 ；
當 原不等式
∴原不等式的解集為
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