《數學建模課程設計》
設計題目： 屋簷水槽問題數學建模
專業數學與應用數學
班級學號0909401-13
姓名童源
指導教師王扉
成績2011 年 11 月 18 日
屋簷的水槽問題
房屋管理部門想在房頂的邊簷安裝乙個簷槽，其目的是為了雨天出入方便。從屋脊到屋簷的房頂可看成是乙個12公尺長，6公尺寬的矩形平面，房頂與水平方向的傾斜角度一般在ba
現有一公司想承接這項業務，允諾：提供一種新型的簷槽，包括乙個橫截面為半圓形（半徑為7.5cm）的水槽和乙個豎直的排水管（直徑為10cm），不論天氣情況如何，這種簷槽都能排掉房頂的雨水。
房管部門猶豫，考慮公司的承諾能否實現。請你建立數學模型，論證這個方案的可行性。ba
1 問題的簡化
水槽的容量能否足以排出雨水的問題，簡化為水箱的流入流出問題。從房頂上流下的雨水量是流入量；順垂直於房頂的排水管排出的是流出量。水槽能否在沒有溢位的情況下將全部雨水排出，即就是要研究水槽中水的深度與時間的函式關係。
2 假設
（1）雨水垂直下落並且直接落在房頂上；
（2）落在房頂上的雨水全部迅速流入水槽中；
（3）直接落入水槽中的雨水可忽略不計；
（4）落在房頂上的雨沒有濺到外面去；
（5）在排水系統中不存在一些預料不到的障礙，象落在房頂上的雜物、樹葉等。
3 符號說明
4 模型的建立
根據速度平衡原理，對於房頂排水系統水槽中水的容量的變化率=雨水的流入速度 - 排水管流出的速度。
分別是單位時間流入水槽和從水槽流出的雨水量的體積雨
表示單位時間裡落在水平面上雨水的深度，房頂的面積水流 b
實際受雨的水平面積，房頂上雨水的流速
流入水槽的速度應是在鉛垂方向的分量
排水管的流出速度應與水槽中水的深度有關。
根據能量守恆原理
水槽中水的體積為
h5模型的求解與分析
將表中的資料代入（7）式，用matlab解得
由假設（1）若。先討論水槽的深度趨於乙個低於0.075m的穩定值，即時。
將代入上述模型，得到 h(t)= 899209.148v^2
當h(t)<=0.075時，解得 v<= 0.00028802
由此得到，當v<= 0.00028802 m/s時，水不溢位；當v> 0.00028802 m/s時，水溢位。
下面，用matlab對這一結論進一步分析。
不妨取v=0.0002、0.000288 分別代入方程（*）求其數值解，並作出圖形：
編寫 檔案：
function hp=a(t,h1)
hp=(1.374038*0.0002-0.001449*sqrt(h1))/sqrt(0.15*h1-h1^2);
function hp=b(t,h2)
hp=(1.374038*0.0003-0.001449*sqrt(h2))/sqrt(0.15*h2-h2^2);
執行matlab程式：
>> [t,h1]=ode45('a',[0,60],0.01);
>> plot(t,h1)
>> [t,h2]=ode45('b',[0,60],0.01);plot(t,h2)
我國氣象部門規定24 h降水量在200mm以上（約0.000 002m/s）的雨為特大暴雨。對於這種情形，v> 0.
00028802 m/s 即24 h降水量在24884.9mm以上的強降雨機率幾乎為0，因此，這個公司的承諾是能兌現的。
（2）若為週期函式，不妨設為正弦函式，即：
這表明下雨過程是在60s內發生的乙個短促的強陣雨過程，最大的降雨強度是0.000 01m/s,由方程（*）得到如下微分方程：
運用matlab求數值解：
編寫 檔案：
function f=shuicao(t,h)
f=(0.000412*sin(pi*t/60)-0.001449*sqrt(h))/sqrt(0.15*h-h^2);
執行matlab程式：
>> [t,h]=ode45('shuicao',[0,60],0.01);
>> plot(t,h)
從圖中可以看出，h(t)的最大值不會超過0.075m，因此，對於第（2）種情況，水槽的水也不會溢位，這個公司的承諾是能兌現的。
6、的改進模型
基於長時間特大暴雨的考慮，可做如下兩種改進：
(1)增大排水管的橫截面積，即增大排水管的直徑d。
(2)改變水槽的連線方式，讓水槽往屋簷傾斜一定角度，這相當於增加水槽的容水高度。
7、參考文獻
(1) 黎捷.maple9，0符號處理及應用[m].北京：科學出版社，2004
(2) 劉來福，曾文藝。數學模型與數學建模[m].北京師範大學出版社，2003。
(3) 數學模型（第三版）高等教育出版社。
數學建模獎學金評定模型
獎學金評定數學模型 張雨晴 1207020421 信計四班 摘要本文主要是研究高校綜合獎學金評定的問題。首先，將主要影響因素綜合成績 衛生扣分 學生工作 獲獎情況和民主投票進行統一量化，然後我們根據各校對學生綜合素質各方面不同側重的要求，通過建立層次模型求出了各個因素的權重，建立了綜合評價模型，對獎...
最經典數學建模Fisher模型
疾病診斷問題 疾病診斷問題 摘要 文中研究的是通過已給出的資料對其四項生化指標 血清銅藍蛋白 x1 藍色反應 x2 鳥吲哚乙酸 x3 中型硫化物 x4 進行分析，得出健康綜合指數的臨界值，從而協助醫生診斷就診人員是癌症病人還是萎縮性胃炎病人及健康人。首先，在合理的假設下，建立了判別分析模型，將表中的...
2019數學建模A題模型建立
2011高教社杯全國大學生數學建模競賽題目 請先閱讀 全國大學生數學建模競賽 格式規範 a題城市表層土壤重金屬汙染分析 隨著城市經濟的快速發展和城市人口的不斷增加，人類活動對城市環境質量的影響日顯突出。對城市土壤地質環境異常的查證，以及如何應用查證獲得的海量資料資料開展城市環境質量評價，研究人類活動...