獎學金評定數學模型
張雨晴 1207020421 信計四班
摘要本文主要是研究高校綜合獎學金評定的問題。首先，將主要影響因素綜合成績、衛生扣分、學生工作、獲獎情況和民主投票進行統一量化，然後我們根據各校對學生綜合素質各方面不同側重的要求，通過建立層次模型求出了各個因素的權重，建立了綜合評價模型，對獎學金的評定進行定量分析。
對於問題一，由於現有考查課為分等級給分 ,區別度低。另外為了減小將等級轉化為百分制分數取值的隨意性，故採用偏大型柯西分布和對數函式構造了乙個隸屬函式
將考查課的等級轉化為百分制分數與考試課的成績統一起來。然後採用標準分模型，將所得學生的考查課和考試課分數進行標準化處理，從而克服了不同教師打分不同及標準差不同的問題。最後，我們建立難度係數模型，解決了不同科目難度不同的問題。
運用matlab和excel計算得出學生綜合成績和排名。
對於問題二，我們將綜合成績、衛生扣分、學生工作、獲獎情況和民主投票設為方案層，以確定方案層各個因素的權重為目標層，將定量分析與定性分析相結合，量化求出各因素的權重，然後通過權向量的一致性檢驗，得到了合理的各因素的權重。運用ｍａｔａｂ程式可得到前面各值。
對於問題三，在綜合獎學金評定的過程，我們必須考慮到所有的因素。已知綜合成績在第一問中已經求出，其餘各因素，根據當前我國高等學校的實際加分政策和分析者的認知，確定了其他因素所對應的分數量化模型。然後用第一問中的標準分模型，將衛生扣分、學生工作、獲獎情況和民主投票的分數標準化。
最後採用線性加權法，將各因素對應的分數與第二問權重值進行加權，得到學生的綜合得分和排名，從而給出了獲獎學生的名單。運用excel運算得到結果。
對於問題四，我們根據前面幾個問題所建立的模型給出了綜合獎學金評定的具體實施過程和實施依據說明。
關鍵字：綜合獎學金評定標準分模型難度係數模型層次分析法線性加權法
一、 問題重述
獎學金評定方案涉及每個學生的切身利益，一直是學生關注的熱點問題之一。所以獎學金的評定能否實現公正、公平、合理是制定評定方案的重要準則。
本文中獎學金的評定是根據綜合成績、衛生扣分情況、學生工作、獲獎情況以及學生投票數等主要方面影響。所以我們的目標就是在與學校實現的培養目標一致的情況下確立出獎學金評定的方案。並有以下要求：
(1) 根據excel中的相關資料，選擇一種合理的方法，計算出學生的綜合成績（包括考試課和考查課兩部分），並給出具體排名。
(2) 結合你所了解的相關情況，確定出綜合成績、衛生、學生工作、獲獎情況和學生民主投票在獎學金評定過程中所佔的權重。
(3) 該班級的獎學金獲獎指標為一等獎1個，二等獎3個，三等獎5個，請給出具體獲獎名單。
(4) 撰寫一篇不超過2頁的獎學金評定說明，向負責獎學金評定的人（如班主任、班長等）闡述你們計算獎學金的主要依據和過程。
二、問題分析
對於第乙個問題，綜合成績的計算範圍是考試科目和考查科目 , 我們認為考試科目和考查科目的權重比為1:1，獎學金評定的標準是學校培養目標的具體化，對學生的行為具有導向功能。考試科目和考查科目一樣重要。
只是考核形式不同而已。假設我們將各個等級對應到不同的分數區間段中去90～100為優秀，85～89為良好，82～84為中等，78～81為合格，然後將考查課中的不同等級分別對應到各自的取值區間任取乙個數字，這樣得到的結果隨意性很大，也沒有依據，不具科學性。
為了克服上訴所說方法中的不足，我們採用偏大型柯西分布和對數函式構造了乙個隸屬函式
經檢驗這個函式是符合實際的，通過這種方式取值得到的結果更具有科學性，使結果也更加有說服力。通過構建隸屬函式將考試分數與考查分數統一起來 。
學年實得學分成績取決於實際考試分數和學分2個因素.計算學分成績的方法是:把學分在該學年總學分中的比重作為權重 ,對相應科目的考試成績進行加權 ,得出乙個加權成績.
我們認為學分在獎學金評定模型中的作用基本合理 ,問題應集中在實際考試分數上.
主要表現在 3個方面:不同老師打分存在差異 ,不同科目分數分布的標準不同 ,不同科目之間難度存在差異. 所以我們將成績進行標準化處理後，再計算加權成績，最後建立難度係數模型，即可計算出學生的綜合成績和排名。
對於第二問，由於權重應該與學校希望實現的培養目標一致，即各部分的權重應該體現出學校對學生各方面要求的側重，以引導學生按照學校的培養目標確定自己的發展方向。故可以採用層次分析法，量化求出各因素所佔的權重，通過一致性檢驗，得到各因素在獎學金評定過程中所佔的權重。
對於第三問，則是利用問題二解出的各因素所佔權重並結合問題一中的學生成績標準分模型，得出獎學金獲獎名單。
對於第四問，則是對前幾問的模型和演算法進行總結，以期達到可以讓我們所建立的綜合獎學金評定體系推廣使用的目的。
三、 模型假設
1．學校採用學分制度 ,每個專業每個學年都有考試課和考查課.學生必須學習所有的課目 .
2．獎學金的評定在同一專業的同一班級裡進行 ,因此有相同的考試課和考查課. 乙個學年評定獎學金一次.
3．每門課程的考試都是正規、嚴格的 ,所以每個學生的考試都成績基本可信. 評分制度為 100分制 ,老師給學生打分的時候允許有自己的習慣和傾向 ,但均堅持公平的原則.
4．對於每門課程 ,每個班的成績均服從正態分佈.
5.學生投票都是公平公正的
6.獎學金評判標準除了受體中所給因素影響外不再受其他條件影響
四、 符號說明
符號定義如下:
1)表示隸屬函式的引數；
2 )為學生的數目;為考試課程和考查課程的數目；
3)為學生課程的期末考試成績;（1<<14,1<<12）；
4）=,為考試成績矩陣,表示名學生門課程的成績,課程為考試課和考查課；
5）,為學分權向量,其分量由門課程的學分在總學分中所佔的比重組成,即 ,；
6）=,為課程的難度係數;
7）=,為綜合測評成績的第 1部分學分成績向量
.由上述符號可知,現有學年學分成績模型為: =，其中 ,是名學生的考試分數;是對應科目的學分比重.
五、模型建立與求解;
5.1 計算綜合成績與排名
5.1.1 模型建立
1．隸屬函式的構造
1）我們將考查課成績分為五個等級｛優秀，良好，中等，合格，不合格｝將其等級依次對應為5，4，3，2，1。
2）這裡為連續量化，故採用偏大型柯西分布和對數函式構造了乙個隸屬函式（其中為待定引數）
3）求解隸屬函式
當「優秀」時，則隸屬度為1，即f(5)=1；
當「良好」時，則隸屬度為0.8，即f(3)=0.8；
當「不合格」時，則隸屬度為0.01，即f(1)=0.01。
計算得到。
則4）畫出隸屬函式影象
圖15）根據這個規律，對於任何乙個評價，都可以給出乙個合理的量化值。我們給出f(2.5)=0.
6993，f(3.2)=0.8252，f(4.
8)=0.9840,f(4.0)=0.
9126。將等級制轉化為百分制，則優秀對應為98.40，良好對應為91.
26，中等對應為82.52，合格對應為69.93。
2 .考試分數的標準化。
1）由模型假設可知, 同一科目的考試分數服從正態分佈. 為使不同教師給出的分數具有可比性, 把由不同教師給出的、服從不同期望和方差的、正態分佈的分數標準化為標準正態分佈 . 當各科的標準分合成時, 就保證了各科成績在合成分中的權重。
採取以下數學模型將原始的考試成績標準化:
其中,為學生在課程的標準化的考試成績,即標準考試成績;
為學生在課程的原始考試成績;為課程的考試平均成績;為課程考試成績的標準差
2）按照上述方法, 可以把成績矩陣標準化為標準成績矩陣.正態化後的標準分數有正數、負數和小數, 為了使用方便,可以對轉換為正態化的標準分數進行一次線性變換, 採用公式 , 經過變換,所得的分數全部是正數, 其意義和標準化分數相同,不同之處就是消除了負數和小數, 記線性變換後的成績矩陣為 .
3． 構造考試科目的難度係數
為提高不同難度科目之間的可比性, 引入難度係數向量 ,表示不同科目的難易程度,其中表示課程的難度係數,並根據各個科目考試的平均成績來確定 .假設m 個科目的考試平均分分別為，，…,. 令=++…+,考試的平均成績越低說明該課程的難度越高, 所以使用.
/來表示課程的難度係數 (= 1, 2, , m ) . 故難度係數向量為
確定後，即可得到新的成績矩陣=後，其中表示對應的分量相乘，不同一般的矩陣乘法。
5.1.2 模型求解
1）把原始成績矩陣標準化,得到標準化成績矩陣=();
2）線性化標準成績矩陣為；
3）根據各科原始考試成績的平均分計算難度係數向量；
4）計算新的成績矩陣 =；
5） ， =1是學分權向量,由各個課程的原始學分計算得到;
6）=，是由標準化與線性化的考試成績與原始學分權向量相乘得到的學分成績.表1
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