第一章集合
（一）集合的有關概念
1. 集合理論創始人康托爾稱集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，並且能判斷乙個給定的東西是否屬於這個總體。
2. 一般地，研究物件統稱為元素（element），一些元素組成的總體叫集合（set），也簡稱集。
3. 關於集合的元素的特徵
（1）確定性：設a是乙個給定的集合，x是某乙個具體物件，則或者是a的元素，或者不是a的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立。
（2）互異性：乙個給定集合中的元素，指屬於這個集合的互不相同的個體（物件），因此，同一集合中不應重複出現同一元素。
（3）集合相等：構成兩個集合的元素完全一樣
（二）集合的表示方法
1.我們可以用自然語言來描述乙個集合，但這將給我們帶來很多不便，除此之外還常用列舉法和描述法來表示集合。
（1） 列舉法：把集合中的元素一一枚舉出來，寫在大括號內。
如：，，…；
說明：集合中的元素具有無序性，所以用列舉法表示集合時不必考慮元素的順序。
（2） 描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內。
具體方法：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）範圍，再畫一條豎線，在豎線後寫出這個集合中元素所具有的共同特徵。
如：，，，…；
強調：描述法表示集合應注意集合的代表元素
（三）集合與集合之間的「包含」關係；
a=，b=
集合a是集合b的部分元素構成的集合，我們說集合b包含集合a；
如果集合a的任何乙個元素都是集合b的元素，我們說這兩個集合有包含關係，稱集合a是集合b的子集（subset）。
記作：讀作：a包含於（is contained in）b，或b包含（contains）a
當集合a不包含於集合b時，記作a b
用venn圖表示兩個集合間的「包含」關係
（四）集合與集合之間的 「相等」關係；
，則中的元素是一樣的，因此
即（五）真子集的概念
若集合，存在元素，則稱集合a是集合b的真子集（proper subset）。
記作：a b（或b a）
（六）空集的概念
不含有任何元素的集合稱為空集（empty set），記作：
規定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（七）結論：
，且，則
作業：1． 已知集合，≥，且滿足，求實數的取值範圍。
2．設集合，
，試用venn圖表示它們之間的關係。
3.包含關係含於a與屬於關係a屬於a有什麼區別？（口述）
4. 寫出集合所有子集，並指出哪些是它的真子集？
（八）集合的基本運算
1. 並集
一般地，由所有屬於集合a或屬於集合b的元素所組成的集合，稱為集合a與b的並集（union）
記作：a∪b讀作：「a並b」
即： a∪b=
venn圖表示：
說明：兩個集合求並集，結果還是乙個集合，是由集合a與b的所有元素組成的集合（重複元素只看成乙個元素）。
2. 交集
一般地，由屬於集合a且屬於集合b的元素所組成的集合，叫做集合a與b的交集（intersection）。
記作：a∩b讀作：「a交b」
即： a∩b=
交集的venn圖表示
說明：兩個集合求交集，結果還是乙個集合，是由集合a與b的公共元素組成的集合。
拓展：求下列各圖中集合a與b的並集與交集
說明：當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集.
3. 補集
全集：一般地，如果乙個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那麼就稱這個集合為全集（universe），通常記作u。
補集：對於全集u的乙個子集a，由全集u中所有不屬於集合a的所有元素組成的集合稱為集合a相對於全集u的補集（complementary set）,簡稱為集合a的補集，
記作：cua
即：cua=
補集的venn圖表示
說明：補集的概念必須要有全集的限制.
求集合的並、交、補是集合間的基本運算，運算結果仍然還是集合，區分交集與並集的關鍵是「且」與「或」，在處理有關交集與並集的問題時，常常從這兩個字眼出發去揭示、挖掘題設條件，結合venn圖或數軸進而用集合語言表達，增強數形結合的思想方法。
集合基本運算的一些結論：
a∩ba，a∩bb，a∩a=a，a∩=,a∩b=b∩a
aa∪b，ba∪b，a∪a=a，a∪=a,a∪b=b∪a
（cua）∪a=u，（cua）∩a=
若a∩b=a，則ab，反之也成立
若a∪b=b，則ab，反之也成立
若x∈（a∩b），則x∈a且x∈b
若x∈（a∪b），則x∈a，或x∈b
作業：(3)設平面內的直線a上的點的集合為a，直線b上的點的集合為b，試用集合的運算表示直線a，b的位置關係？
課後作業
（1） 已知x=,a=,b=，且
，試求p、q；
（2） 集合a=,b=,若ab=，求p、q；
（3） a=，b=，且ab =，求b
第二章基本初等函式及其應用
（一）函式的有關知識點
1．函式的概念：
設a、b是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合a中的任意乙個數x，在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：a→b為從集合a到集合b的乙個函式（function）．
記作y=f(x)，x∈a．
其中，x叫做自變數，x的取值範圍a叫做函式的定義域（domain）；與x的值相對應的y值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域（range）．
注意：「y=f(x)」是函式符號，可以用任意的字母表示，如「y=g(x)」；
函式符號「y=f(x)」中的f(x)表示與x對應的函式值，乙個數，而不是f乘x．
2． 構成函式的三要素：
定義域、對應關係和值域.
說明：由於值域是由定義域和對應關係決定的，所以，如果兩個函式的定義域和對應關係完全一致，即稱這兩個函式相等（或為同一函式）
3．區間的概念
（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；
（2）無窮區間；
（3）區間的數軸表示．
作業：1.判斷下列函式f（x）與g（x）是否表示同乙個函式，說明理由？
（1）f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1
（2）f ( x ) = x； g ( x ) =
（3）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2
（4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) =
2. 求下列函式的定義域
（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
(二) 對映的相關知識點
1. 我們已經知道，函式是建立在兩個非空數集間的一種對應，若將其中的條件「非空數集」弱化為「任意兩個非空集合」，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應關係，這種的對應就叫對映（mapping）
一般地，設a、b是兩個非空的集合，如果按某乙個確定的對應法則f，使對於集合a中的任意乙個元素x，在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：ab為從集合a到集合b的乙個對映（mapping）．
記作「f：ab」
說明：（1）這兩個集合有先後順序，a到b的對映與b到a的對映是截然不同的．其中f表示具體的對應法則，可以用漢字敘述．
（2）「都有唯一」什麼意思？
包含兩層意思：一是必有乙個；二是只有乙個，也就是說有且只有乙個的意思。
例題：下列哪些對應是從集合a到集合b的對映？
（1）a=，b=r，對應關係f：數軸上的點與它所代表的實數對應；
（2）a=，b=，對應關係f：平面直角體系中的點與它的座標對應；
（3）a=，b=，對應關係f：每乙個三角形都對應它的內切圓；
（4）a=，b=，對應關係f：每乙個班級都對應班裡的學生．
（5）將（3）中的對應關係f改為：每乙個圓都對應它的內接三角形；
（6）將（4）中的對應關係f改為：每乙個學生都對應他的班級。
（三）函式的表示法
常用的函式表示法：
（1）解析法；
（2）圖象法；
（3）列表法．
注意：函式圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷乙個圖形是否是函式圖象的依據；
解析法：必須註明函式的定義域；
圖象法：是否連線；
列表法：選取的自變數要有代表性，應能反映定義域的特徵．
例題：1．下表是某校高一（1）班三位同學在高一學年度幾次數學測試的成績及班級及班級平均分表：
請你對這三們同學在高一學年度的數學學習情況做乙個分析．能否用解析法呢？
2. 畫函式y=f(x)=的圖象，然後作出y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的圖象，並簡要說明三者（圖象）之間的關係．
3. 某市郊空調公共汽車的票價按下列規則制定：
（1） 乘坐汽車5公里以內，票價2元；
（2） 5公里以上，每增加5公里，票價增加1元（不足5公里按5公里計算）．
已知兩個相鄰的公共汽車站間相距約為1公里，如果沿途（包括起點站和終點站）設20個汽車站，請根據題意，寫出票價與里程之間的函式解析式，並畫出函式的圖象．
（四） 函式的單調性
1. 增（減）函式
一般地，設函式y=f(x)的定義域為i，如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數x1，x2，當x1f(x2)），那麼就說f(x)在區間d上是增函式 (減函式)．
注意：函式的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函式的區域性性質；
高一數學第一章
課題 1.1集合的含義及表示 內容分析 教學過程 一 複習引入 1 簡介數集的發展，複習最大公約數和最小公倍數，質數與和數 2 教材中的章頭引言 3 集合論的創始人 康托爾 德國數學家 見附錄 4 物以類聚 人以群分 5 教材中例子 p4 二 講解新課 一 集合的有關概念 由一些數 一些點 一些圖形...
第一章集合教案
第一章集合與函式 1.1.1集合的含義與表示 一.教學目標 l.知識與技能 1 通過例項，了解集合的含義，體會元素與集合的屬於關係 2 知道常用數集及其專用記號 3 了解集合中元素的確定性.互異性.無序性 4 會用集合語言表示有關數學物件 5 培養學生抽象概括的能力.2.過程與方法 1 讓學生經歷從...
高一數學必修一第一章《集合與函式》測試
一 選擇題 每小題3分，共30分 1 已知全集,則 ab.cd.2 圖中陰影部分表示的集合是 a.b.c.d.3 方程組的解集是 ab.c.d.4 下列函式與表示同一函式的是 a.b.cd.5 函式的減區間是 a 2 b.2c.3d.3 6 函式在區間上是減函式，則y的最小值是 a 1b.3c.2d...