一、集合
一、理解集合中的有關概念
（1）集合中元素的特徵： 確定性 ， 互異性 ， 無序性 。
集合元素的互異性：如：，，求；
（2）集合與元素的關係用符號，表示。
（3）常用數集的符號表示：自然數集 ；正整數集整數集 ；有理數集 、實數集 。
（4）集合的表示法： 列舉法 ， 描述法 ， 韋恩圖 。
注意：區分集合中元素的形式：
如：，，，
，，；（5）空集是指不含任何元素的集合。（、和的區別；0與三者間的關係）
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
注意：條件為，在討論的時候不要遺忘了的情況。
如：，如果，求的取值。
二、集合間的關係及其運算
（1）符號「」是表示元素與集合之間關係的，立體幾何中的體現點與直線（面）的關係 ；
符號「」是表示集合與集合之間關係的，立體幾何中的體現面與直線(面)的關係 。
（2）；；
（3）對於任意集合，則：
①；；；
（4）①若為偶數，則若為奇數，則
②若被3除餘0，則若被3除餘1，則若被3除餘2，則
三、集合中元素的個數的計算：
（1）若集合中有個元素，則集合的所有不同的子集個數為所有真子集的個數是所有非空真子集的個數是
（2）中元素的個數的計算公式為
（3）韋恩圖的運用：
四、滿足條件，滿足條件，
若則是的充分非必要條件；
若則是的必要非充分條件；
若則是的充要條件；
若則是的既非充分又非必要條件；
五、原命題與逆否命題，否命題與逆命題具有相同的
注意：「若，則」在解題中的運用，
如：「」是「」的條件。
六、反證法：當證明「若，則」感到困難時，改證它的等價命題「若則」成立，
步驟：1、假設結論反面成立；2、從這個假設出發，推理論證，得出矛盾；3、由矛盾判斷假設不成立，從而肯定結論正確。
矛盾的**：1、與原命題的條件矛盾；2、匯出與假設相矛盾的命題；3、匯出乙個恆假命題。
適用與待證命題的結論涉及「不可能」、「不是」、「至少」、「至多」、「唯一」等字眼時。
二、函式
一、對映與函式：
（1）對映的概念： （2）一一對映：（3）函式的概念：
如：若，；問：到的對映有個，到的對映有個；到的函式有個，若，則到的一一對映有個。
函式的圖象與直線交點的個數為個。
二、函式的三要素
相同函式的判斷方法兩點必須同時具備)
（1）函式解析式的求法：
①定義法（拼湊）：②換元法：③待定係數法：④賦值法：
（2）函式定義域的求法：
①，則則
③，則如：，則
⑤含參問題的定義域要分類討論；
如：已知函式的定義域是，求的定義域。
⑥對於實際問題，在求出函式解析式後；必須求出其定義域，此時的定義域要根據實際意義來確定。如：已知扇形的周長為20，半徑為，扇形面積為，則 ；定義域為
（3）函式值域的求法：
①配方法：轉化為二次函式，利用二次函式的特徵來求值；常轉化為型如：的形式；
②逆求法（反求法）：通過反解，用來表示，再由的取值範圍，通過解不等式，得出的取值範圍；常用來解，型如：；
④換元法：通過變數代換轉化為能求值域的函式，化歸思想；
⑤三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函式，運用三角函式有界性來求值域；
⑥基本不等式法：轉化成型如：，利用平均值不等式公式來求值域；
⑦單調性法：函式為單調函式，可根據函式的單調性求值域。
⑧數形結合：根據函式的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域。
求下列函式的值域：①（2種方法）；
②（2種方法）；③（2種方法）；
三、函式的性質：
函式的單調性、奇偶性、週期性
單調性：定義：注意定義是相對與某個具體的區間而言。
判定方法有：定義法（作差比較和作商比較）
導數法（適用於多項式函式）
復合函式法和影象法。
應用：比較大小，證明不等式，解不等式。
奇偶性：定義：注意區間是否關於原點對稱，比較f(x) 與f(-x)的關係。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)為偶函式；
f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)為奇函式。
判別方法：定義法， 影象法 ，復合函式法
應用：把函式值進行轉化求解。
週期性：定義：若函式f(x)對定義域內的任意x滿足：f(x+t)=f(x),則t為函式f(x)的週期。
其他：若函式f(x)對定義域內的任意x滿足：f(x+a)=f(x－a),則2a為函式f(x)的週期.
應用：求函式值和某個區間上的函式解析式。
四、圖形變換：函式影象變換：（重點）要求掌握常見基本函式的影象，掌握函式影象變換的一般規律。
常見影象變化規律：（注意平移變化能夠用向量的語言解釋，和按向量平移聯絡起來思考）
平移變換 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b
注意：（ⅰ）有係數，要先提取係數。如：把函式ｙ＝ｆ(２ｘ)經過平移得到函式ｙ＝ｆ(２ｘ＋４)的圖象。
（ⅱ）會結合向量的平移，理解按照向量（ｍ，ｎ）平移的意義。
對稱變換 y=f(x)→y=f(－x),關於ｙ軸對稱
y=f(x)→y=－f(x) ,關於ｘ軸對稱
y=f(x)→y=f|x|,把ｘ軸上方的圖象保留，ｘ軸下方的圖象關於ｘ軸對稱
y=f(x)→y=|f(x)|把ｙ軸右邊的圖象保留，然後將ｙ軸右邊部分關於ｙ軸對稱。（注意：它是乙個偶函式）
伸縮變換：y=f(x)→y=f(ωx),
y=f(x)→y=af(ωx+φ)具體參照三角函式的圖象變換。
乙個重要結論：若f(a－x)＝f(a+x)，則函式y=f(x)的影象關於直線x=a對稱；
如：的圖象如圖，作出下列函式圖象：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）；（8）；
（9）。
五、反函式：
（1）定義：
（2）函式存在反函式的條件
（3）互為反函式的定義域與值域的關係
（4）求反函式的步驟：①將看成關於的方程，解出，若有兩解，要注意解的選擇；②將互換，得；③寫出反函式的定義域（即的值域）。
（5）互為反函式的圖象間的關係
（6）原函式與反函式具有相同的單調性；
（7）原函式為奇函式，則其反函式仍為奇函式；原函式為偶函式，它一定不存在反函式。
如：求下列函式的反函式：；；
七、常用的初等函式：
（1）一元一次函式：，當時，是增函式；當時，是減函式；
（2）一元二次函式：
一般式：；對稱軸方程是頂點為
兩點式：；對稱軸方程是 ；與軸的交點為
頂點式：；對稱軸方程是頂點為
①一元二次函式的單調性：
當時： 為增函式； 為減函式；當時： 為增函式； 為減函式；
②二次函式求最值問題：首先要採用配方法，化為的形式，
ⅰ、若頂點的橫座標在給定的區間上，則
時：在頂點處取得最小值，最大值在距離對稱軸較遠的端點處取得；
時：在頂點處取得最大值，最小值在距離對稱軸較遠的端點處取得；
ⅱ、若頂點的橫座標不在給定的區間上，則
時：最小值在距離對稱軸較近的端點處取得，最大值在距離對稱軸較遠的端點處取得；
時：最大值在距離對稱軸較近的端點處取得，最小值在距離對稱軸較遠的端點處取得；
有三個型別題型：
(1)頂點固定，區間也固定。如：
(2)頂點含引數(即頂點變動)，區間固定，這時要討論頂點橫座標何時在區間之內，何時在區間之外。
(3)頂點固定，區間變動，這時要討論區間中的引數．
③二次方程實數根的分布問題： 設實係數一元二次方程的兩根為；則：
注意：若在閉區間討論方程有實數解的情況，可先利用在開區間上實根分布的情況，得出結果，在令和檢查端點的情況。
（3）反比例函式：
（4）指數函式：
指數運算法則
指數函式：y= (a>o,a≠1)，圖象恆過點（0，1），單調性與a的值有關，在解題中，往往要對a分a>1和0（5）對數函式：
指數運算法則
對數函式：y= (a>o,a≠1) 圖象恆過點（1，0），單調性與a的值有關，在解題中，往往要對a分a>1和0注意：（1）與的圖象關係是
（2）比較兩個指數或對數的大小的基本方法是構造相應的指數或對數函式，若底數不相同時轉化為同底數的指數或對數，還要注意與1比較或與0比較。
（3）已知函式的定義域為，求的取值範圍。
已知函式的值域為，求的取值範圍。
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