高考數學新題型選編

高考數學新題型選編（共70個題）

1、（ⅰ）已知函式：求函式的最小值;

（ⅱ）證明:；

（ⅲ）定理:若均為正數,則有成立

(其中．請你構造乙個函式，證明：

當均為正數時，．

解：（ⅰ）令得…2分

當時，　　故在上遞減．

當故在上遞增．所以，當時，的最小值為.….4分

（ⅱ）由，有即

故5分（ⅲ）證明:要證：

只要證：

設…………………7分

則令得8分

當時，故上遞減，類似地可證遞增

所以的最小值為………………10分而=

==由定理知: 故

故即14分

2、用模擬推理的方法填表

答案：3、10．定義一種運算「*」：對於自然數n滿足以下運算性質：

（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，則n*1等於

a．nb．n+1c．n -1d．答案：d

4、若為的各位數字之和，如：，，則;記____

答案：5

5、下面的一**形為某一四稜錐s-abcd的側面與底面。

（1）請畫出四稜錐s-abcd的示意圖，是否存在一條側稜垂直於底面？如果存在，請給出證明；如果不存在，請說明理由；

（2）若sa面abcd，e為ab中點，求二面角e-sc-d的大小；

（3）求點d到面sec的距離。

（1）存在一條側稜垂直於底面（如圖）………………3分

證明：且ab、ad是面abcd內的交線sa底面abcd……………………5分

（2）分別取sc、sd的中點g、f，連ge、gf、fa，

則gf//ea,gf=ea,af//eg

而由sa面abcd得sacd，

又adcd，cd面sad，

又sa=ad,f是中點，

面scd,eg面scd,面scd

所以二面角e-sc-d的大小為90…………10分

(3)作dhsc於h，

面sec面scd,dh面sec,

dh之長即為點d到面sec的距離，12分

在rtscd中，

答：點d到面sec的距離為………………………14分

6、乙個計算裝置有乙個入口a和一輸出運算結果的出口b，將自然數列中的各數依次輸入a口，從b口得到輸出的數列，結果表明：①從a口輸入時，從b口得；②當時，從a口輸入，從b口得到的結果是將前一結果先乘以自然數列中的第個奇數，再除以自然數列中的第個奇數。試問：

（1）從a口輸入2和3時，從b口分別得到什麼數？

（2）從a口輸入100時，從b口得到什麼數？並說明理由。

解（1）

（2）先用累乖法得

得7、在△abc中，，給出△abc滿足的條件，就能得到動點a的軌跡方程，下表給出了一些條件及方程：

則滿足條件①、②、③的軌跡方程分別為用代號、、填入）

答案：8、已知兩個函式和的定義域和值域都是集合,其定義如下表.

填寫下列的**,其三個數依次為

a. 3,1,2b . 2,1,3c. 1,2,3d. 3,2,1

答案：d

9、在實數的原有運算法則中，我們補充定義新運算「」如下：

當時，；

當時，。

則函式的最大值等於（ c ）

（「·」和「－」仍為通常的乘法和減法）ab. 1 c. 6 d. 12

10、已知，［x］表示不大於x的最大整數，如，，，則使成立的x的取值範圍是答案：2

11、為研究「原函式圖象與其反函式圖象的交點是否在直線上」這個課題，我們可以分三步進行研究：

（i）首先選取如下函式：

，，求出以上函式圖象與其反函式圖象的交點座標：

與其反函式的交點座標為（－1，－1）

與其反函式的交點座標為（0，0），（1，1）

與其反函式的交點座標為（），（－1，0），（0，－1）

（ii）觀察分析上述結果得到研究結論；

（iii）對得到的結論進行證明。

現在，請你完成（ii）和（iii）。

解：（ii）原函式圖象與其反函式圖象的交點不一定在直線y＝x上 2分

（iii）證明：設點（a，b）是的圖象與其反函式圖象的任一交點，由於原函式與反函式圖象關於直線y＝x對稱，則點（b，a）也是的圖象與其反函式圖象的交點，且有

若a＝b時，交點顯然在直線上

若a 若a 綜上所述，如果函式是增函式，並且的圖象與其反函式的圖象有交點，則交點一定在直線上；

如果函式是減函式，並且的圖象與其反函式的圖象有交點，則交點不一定在直線y＝x上14分

12、設m是由滿足下列條件的函式構成的集合：「①方程有實數根；②

函式的導數滿足.」

（i）判斷函式是否是集合m中的元素，並說明理由；

（ii）集合m中的元素具有下面的性質：若的定義域為d，則對於任意

[m，n]d，都存在[m，n]，使得等式成立」，

試用這一性質證明：方程只有乙個實數根；

（iii）設是方程的實數根，求證：對於定義域中任意的.

解：（1）因為，…………2分

所以滿足條件………………3分

又因為當時，，所以方程有實數根0.

所以函式是集合m中的元素.…………4分

（2）假設方程存在兩個實數根），

則，………5分不妨設，根據題意存在數

使得等式成立，……………………7分

因為，所以，

與已知矛盾，所以方程只有乙個實數根；…………9分

（3）不妨設，因為所以為增函式，所以，

又因為，所以函式為減函式，………………10分

所以，…………11分

所以，即…………12分

所以13分13、在算式「2×□+1×□=30」的兩個口中，分別填入兩個自然數，使它們的倒數之和最小，則這兩個數應分別為和答案：9，12.

14、如圖為一幾何體的的展開圖，其中abcd是邊長

為6的正方形，sd=pd＝6，cr=sc，aq=ap，點s,

d,a,q及p,d,c,r共線，沿圖中虛線將它們摺疊起來，

使p，q，r，s四點重合，則需要個這樣的

幾何體，可以拼成乙個稜長為6的正方體。答案：3

15、用水清洗一堆蔬菜上殘留的農藥的效果假定如下：用x單位量的水清洗一次以後，蔬菜上殘留的農藥量與這次清洗前殘留的農藥量之比為．

（ⅰ）試解釋的實際意義；

（ⅱ）現有a（a＞0）單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份後清洗兩次．哪種方案清洗後蔬菜上殘留的農藥比較少？請說明理由．

答案：解：（i）f（0）=1．表示沒有用水清洗時，蔬菜上的農藥量沒有變化．……………2＇

（ⅱ）設清洗前蔬菜上的農藥量為1，那麼用a單位量的水清洗1次後．殘留的農藥量為 w1=1×f（a4＇

又如果用單位量的水清洗1次，殘留的農藥量為1×f（）=，

此後再用單位量的水清洗1次後，殘留的農藥量為

w2=·f（）=28＇

由於w1－w29＇

故當a>2時，w1>w2，此時，把a單位量的水平均分成2份後，清洗兩次，殘留的農藥量較少；當a=2時，w1=w2，此時，兩種清洗方式效果相同；當a<2時，w116、直角座標系中橫座標、縱座標均為整數的點稱為格點，如果函式f(x)的圖象恰好通過k(k∈n*)個格點，則稱函式f(x)為k階格點函式。下列函式：

1 f(x)=sinx； ②f(x)=π(x－1)2+3； ③ ④，

其中是一階格點函式的有答案：①②④

17、一水池有2個進水口,1個出水口,乙個口進出水速度如圖甲、乙所示.某天0點到6點,

該水池的蓄水量如圖丙所示(至少開啟乙個水口),給出以下3個論斷：

進水量出水量蓄水量

甲乙丙（1）0點到3點只進水不出水；（2）3點到4點不進水只出水；（3）4點到6點不進水不

出水。則一定不確定的論斷是把你認為是符合題意的論斷序號都填上)。

答案：（2）（3）

18、已知等比數列的前n項和為sn.

(ⅰ)若sm，sm＋2，sm＋1成等差數列，證明am，am＋2，am＋1成等差數列；

(ⅱ)寫出(ⅰ)的逆命題，判斷它的真偽，並給出證明.

證 (ⅰ) ∵sm＋1＝sm＋am＋1，sm＋2＝sm＋am＋1＋am＋2．

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