線性規劃常見題型及解法 2016.5.5
一、已知線性約束條件，探求線性目標關係最值問題
例1、設變數x、y滿足約束條件，則的最大值為 。
解析：如圖1，畫出可行域，得在直線2x-y=2與直線x-y=-1的交點a(3,4)處，目標函式z最大值為18
點評：本題主要考查線性規劃問題,由線性約束條件畫出可行域,然後求出目標函式的最大值.，是一道較為簡單的送分題。數形結合是數學思想的重要手段之一。
習題1、若x、y滿足約束條件，則z=x+2y的取值範圍是 （ ）
a、[2,6] b、[2,5] c、[3,6] d、（3,5]
解：如圖，作出可行域，作直線l：x+2y＝0，將
l向右上方平移，過點a（2,0）時，有最小值
2，過點b（2,2）時，有最大值6，故選a
二、已知線性約束條件，探求非線性目標關係最值問題
例2、已知則的最小值是 .
解析：如圖2，只要畫出滿足約束條件的可行域，而表示可行域內一點到原點的距離的平方。由圖易知a（1，2）是滿足條件的最優解。的最小值是為5。
點評：本題屬非線性規劃最優解問題。求解關鍵是在挖掘目標關係幾何意義的前提下，作出可行域，尋求最優解。
習題2、已知x、y滿足以下約束條件 ，則z=x2+y2的最大值和最小值分別是（ ）
a、13，1 b、13，2
c、13， d、，
解：如圖，作出可行域,x2+y2是點（x，y）到原點的距離的平方，故最大值為點a（2,3）到原點的距離的平方，即|ao|2=13，最小值為原點到直線2x＋y－2=0的距離的平方，即為，選c
練習2、已知x，y滿足，則的最大值為最小值為
2，0三、設計線性規劃，探求平面區域的面積問題
例3、在平面直角座標系中，不等式組表示的平面區域的面積是（）(a) (b)4 (c) (d)2
解析：如圖６，作出可行域，易知不等式組表示的平面區域是乙個三角形。容易求三角形的三個頂點座標為ａ（０，２），b(2,0),c(-2,0).於是三角形的面積為：從而選ｂ。
點評：有關平面區域的面積問題，首先作出可行域，探求平面區域圖形的性質；其次利用面積公式整體或部分求解是關鍵。
習題3、不等式組表示的平面區域的面積為
（ ） a、4 b、1 c、5 d、無窮大
解：如圖，作出可行域，△abc的面積即為所求，由梯形ombc的面積減去梯形omac的面積即可，選b
四、已知平面區域，逆向考查約束條件。
例4、已知雙曲線的兩條漸近線與直線圍成乙個三角形區域,表示該區域的不等式組是（）
(a) (b) (c) (d)
解析：雙曲線的兩條漸近線方程為，與直線圍成乙個三角形區域（如圖4所示）時有。
點評：本題考查雙曲線的漸近線方程以及線性規劃問題。驗證法或排除法是最效的方法。
習題4、如圖所示，表示陰影部分的二元一次不等式組是
a b cd．
c五、約束條件設計引數形式，考查目標函式最值範圍問題。
例5、在約束條件下，當時，目標函式的最大值的變化範圍是（）
a. b. c. d.
解析：畫出可行域如圖3所示,當時, 目標函式在處取得最大值, 即;當時, 目標函式在點處取得最大值,即,故,從而選d;
點評：本題設計有新意，作出可行域，尋求最優解條件，然後轉化為目標函式z關於s的函式關係是求解的關鍵。
六、求約束條件中引數的取值範圍
例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面區域包含點（0,0）和（－1,1），則m的取值範圍是 （ ）
a、（-3,6） b、（0,6） c、（0,3） d、（-3,3）
解：|2x－y＋m|＜3等價於
由右圖可知,故0＜m＜3，選c
習題6、不等式表示的平面區域包含點和點則的取值範圍是
a． b． c． d．
a七、已知最優解成立條件，探求目標函式引數範圍問題。
例7、已知變數，滿足約束條件。若目標函式（其中）僅在點處取得最大值，則的取值範圍為
解析：如圖5作出可行域，由其表示為斜率為，縱截距為ｚ的平行直線系, 要使目標函式（其中）僅在點處取得最大值。則直線過ａ點且在直線（不含界線）之間。即則的取值範圍為。
點評：本題通過作出可行域，在挖掘的幾何意義的條件下，借助用數形結合利用各直線間的斜率變化關係，建立滿足題設條件的的不等式組即可求解。求解本題需要較強的基本功，同時對幾何動態問題的能力要求較高。
習題7、已知x、y滿足以下約束條件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最優解有無數個，則a的值為
（ ） a、－3 b、3 c、－1 d、1
解：如圖，作出可行域，作直線l：x+ay＝0，要使目標函式z=x+ay(a>0)取得最小值的最優解有無數個，則將l向右上方平移後與直線x+y＝5重合，故a=1，選d
八、研究線性規劃中的整點最優解問題
例8、某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y須滿足約束條件則的最大值是
(a)80 (b) 85 (c) 90 (d)95
解析：如圖７，作出可行域，由，它表示為斜率為，縱截距為的平行直線系,要使最得最大值。當直線通過取得最大值。
因為，故ａ點不是最優整數解。於是考慮可行域內ａ點附近整點經檢驗直線經過ｂ點時，
點評：在解決簡單線性規劃中的最優整數解時，可在去掉限制條件求得的最優解的基礎上，調整優解法，通過分類討論獲得最優整數解。
九、求可行域中整點個數
例9、滿足|x|＋|y|≤2的點（x，y）中整點（橫縱座標都是整數）有（ ）
a、9個 b、10個 c、13個 d、14個
解：|x|＋|y|≤2等價於
作出可行域如右圖，是正方形內部（包括邊界），容易得到整點個數為13個，選c
習題9、不等式表示的平面區域內的整點個數為
a． 13個 b． 10個c． 14個 d． 17個a
高考數學線性規劃題型總結
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