**平面內最短路徑的原理主要有以下兩種：一是「垂線段最短」，二是「兩點之間，線段最短」．立體圖形上的最短路徑問題需借助平面展開圖轉化為平面問題．求平面內折線的最短路徑通常用軸對稱變換、平移變換或旋轉變換等轉化為兩點之間的線段．
一、典例解析
例1. [2017·烏魯木齊] 如圖f10－6，點a(a，3)、b(b，1)都在雙曲線y＝上，點c，d分別是x軸、y軸上的動點，則四邊形abcd周長的最小值為( )
a．5 b．6 c．2＋2 d．8
例2．如圖，△abc是等邊三角形，ab＝3，e在ac上且ae＝ac，d是直線bc上一動點，線段ed繞點e逆時針旋轉90°，得到線段ef，當點d運動時，則線段af的最小值是 ．
例3．我們發現：若ad是△abc的中線，則有ab2+ac2＝2（ad2+bd2），請利用結論解決問題：如圖，在矩形abcd中，已知ab＝20，ad＝12，e是dc中點，點p在以ab為直徑的半圓上運動，則cp2+ep2的最小值是 ．
例4. 如圖，菱形abcd的對角線ac上有一動點p，bc=6, ∠abc＝150°，則ap+bp+pd的最小值為_____．
二、鞏固練習
1．[2016·蘇州] 矩形oabc在平面直角座標系中的位置如圖所示，點b的座標為(3，4)，d是oa的中點，點e在ab上，當△cde的周長最小時，點e的座標為( )
a．(3，1) b．(3，) c．(3，) d．(3，2)
2．[2015·遵義] 如圖，在四邊形abcd中，∠c＝50°，∠b＝∠d＝90°，e，f分別是bc，dc上的點，當△aef的周長最小時，∠eaf的度數為( )
a．50° b．60° c．70° d．80°
3．[2016·安徽] 如圖，在rt△abc中，ab⊥bc，ab＝6，bc＝4，p是△abc內部的乙個動點，且滿足∠pab＝∠pbc，則線段cp長的最小值為( )
a. b．2 c. d.
4.（2017南通選壓）如圖，矩形abcd中，ab＝10，bc＝5，點e，f，g，h分別在矩形abcd各邊上，且ae＝cg，bf＝dh，則四邊形efgh周長的最小值為（ ）
a．5 b．10 c．10 d．15
5. [揚州市江都市一模]如圖，△abc中，∠bac=60°，∠abc=45°，ab=2，d是線段bc上的乙個動點，以ad為直徑畫⊙o分別交ab，ac於e，f，連線ef，則線段ef長度的最小值為（ ）
a、2 b、 cd、3
6.如圖，在直角△abc中，∠c＝90°，bc＝3，ac＝4，d、e分別是ac、bc上的一點，且de＝3．若以de為直徑的圓與斜邊ab相交於m、n，則mn的最大值為（ ）
a． b．2 c． d．
7．（2014徐州二模）如圖，在△abc中，∠c＝90°，ac＝4，bc＝2，點a、c分別在x軸、y軸上，當點a在x軸上運動時，點c隨之在y軸上運動，在運動過程中，點b到原點的最大距離是（ ）
a．6 b． c． d．
8．（2018惠山區校級二模）如圖，已知矩形abcd，ab＝4，bc＝6，點m為矩形內一點，點e為bc邊上任意一點，則ma+md+me的最小值為（ ）
a．3+2 b．4+3 c．2+2 d．10
7.2016·東營]如圖，在rt△abc中，∠b＝90°，ab＝4，bc>ab，點d在bc上，以ac為對角線的平行四邊形adce中，de的最小值是________．
37．（2017惠山區模擬）已知，在平面直角座標系中，點a（4，0），點b（m，m），點c為線段oa上一點（點o為原點），則ab+bc的最小值為 ．
8.[泰興市二模]如圖，定長弦cd在以ab為直徑的⊙o上滑動（點c、d與點a、b不重合），m是cd的中點，過點c作cp⊥ab於點p，若cd=3，ab=8，則pm的最大值是
9.如圖，在平面直角座標系xoy中，以原點o為圓心的圓過點a（13，0），直線y=kx－3k+4與⊙o交於b、c兩點，則弦bc的長的最小值為
10.如圖，正方形 abcd 中，ab=3cm，以 b 為圓心，1cm 長為半徑畫☉b，點 p 在☉b 上移動，連線 ap，並將 ap 繞點 a 逆時針旋轉 90°至 ap'，連線 bp'，在點 p 移動過程中，bp' 長度的最小值為 cm。
11．（2017無錫一模）如圖，正方形abcd的邊長為1，點p為bc上任意一點（可以與b點或c重合），分別過b，c，d作射線ap的垂線，垂足分別是b'，c'，d'，則bb'+cc'+dd'的最大值與最小值的和為 ．
12．如圖，△abc∽△ade，∠bac＝∠dae＝90°，ab＝6，ac＝8，f為de中點，若點d在直線bc上運動，連線cf，則在點d運動過程中，線段cf的最小值是 ．
13．（2023年咸寧中考題）如圖，已知rt△abc中，∠acb＝90°，ac＝bc＝3，⊙c的半徑為1，點p是線段ab上一動點，過點p作⊙c的切線pq，切點為q，求切線pq長的最小值．
14.(216鹽城倒1）如圖1，已知一次函式y＝x+3的圖象與x軸、y軸分別交於a、b兩點，拋物線y＝﹣x2+bx+c過a、b兩點，且與x軸交於另一點c．
（1）求b、c的值；
（2）如圖1，點d為ac的中點，點e**段bd上，且be＝2ed，連線ce並延長交拋物線於點m，求點m的座標；
（3）將直線ab繞點a按逆時針方向旋轉15°後交y軸於點g，連線cg，如圖2，p為△acg內一點，連線pa、pc、pg，分別以ap、ag為邊，在他們的左側作等邊△apr，等邊△agq，連線qr
①求證：pg＝rq；
②求pa+pc+pg的最小值，並求出當pa+pc+pg取得最小值時點p的座標．
（2）.【自主探索】：在「問題提出」的條件不變的情況下，的最小值為 ．
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