第十章演算法、統計與概率第3課時統計初步(2)
1. (必修3p55練習2改編)乙個容量為20的樣本資料，分組後，組別與頻數如下：
則樣本在(20，50]上的頻率為________．
答案：0.6
解析：本題考查樣本的頻率運算．據表知樣本分佈在(20，50]的頻數3＋4＋5＝12，故其頻率為＝0.6.
2. (必修3p61練習2改編)某籃球運動員在7天中進行投籃訓練的時間(單位：min)用莖葉圖表示(如圖)，圖中左列表示訓練時間的十位數，右列表示訓練時間的個位數，則該運動員這7天的平均訓練時間為________min.
答案：72
解析：由莖葉圖知平均訓練時間為＝×(64＋65＋67＋72＋75＋80＋81)＝72.
3. (必修3p68練習4改編)下表是乙個容量為20的樣本資料分組後的頻數分布，若利用組中值計算本組資料的平均值，則
答案：16.5
解析：＝(12×4＋15×6＋18×6＋21×4)＝×330＝16.5.
4. (必修3p71練習1改編)某射擊選手連續射擊5槍命中的環數分別為：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，則這組資料的方差為________．
答案：0.032
解析：資料9.7，9.
9，10.1，10.2，10.
1的平均數＝＝10，方差＝(0.09＋0.01＋0.
01＋0.04＋0.01)＝0.
032.故答案為0.032.
5. 小波一星期的總開支分布圖如圖①所示，一星期的食品開支如圖②所示，則小波一星期的雞蛋開支佔總開支的百分比為________．
答案：3%
解析：由圖②可知，雞蛋佔食品開支的比例為＝10%，結合圖①可知小波在乙個星期的雞蛋開支佔總開支的比例為30%×10%＝3%.
1. 繪製頻率分布表的步驟
(1) 求全距，決定組距和組數，組距＝．
(2) 分組，通常對組內數值所在區間取左閉右開區間，最後一組取閉區間．
(3) 登記頻數，計算頻率，列出頻率分布表．
2. 作頻率分布直方圖的方法
(1) 先製作頻率分布表，然後作直角座標系；
(2) 把橫軸分成若干段，每一線段對應乙個組的組距，然後以此線段為底作一矩形，它的高等於該組的，這樣得出一系列的矩形．
(3) 每個矩形的面積恰好是該組的頻率，這些矩形就構成了頻率分布直方圖．
3. 莖葉圖
莖相同者共用乙個莖(如兩位數中的十位數)，莖按從小到大的順序從上向下列出，共莖的葉(如兩位數中的個位數)，一般按從小到大(或從大到小)的順序同行列出．這樣將樣本資料有條理地列出來的圖形叫做莖葉圖．其優點是要樣本資料較少時，莖葉圖可以保留樣本資料的所有資訊，直觀反映出資料的水平狀況、穩定程度，且便於記錄和表示；缺點是對差異不大的兩組資料不易分析，且樣本資料很多時效果不好．
4. 平均數、標準差和方差
設一組樣本資料x1，x2，…， xn，其平均數為x －，則x －＝，稱s2＝)2為這個樣本的方差，稱其算術平方根s＝為這個樣本的標準差．
[備課札記]
題型1 頻率分布直方圖及其應用
例1 (2013·南京二模)根據2023年初我國發布的《環境空氣質素指數aqi技術規定(試行)》，aqi共分為六級：(0，50]為優，(50，100]為良，(100，150]為輕度汙染，(150，200]為中度汙染，(200，300]為重度汙染，300以上為嚴重汙染.2023年12月1日出版的《a市早報》對a市2023年11月份中30天的aqi進行了統計，頻率分布直方圖如圖所示．根據頻率分布直方圖，可以看出a市該月環境空氣質素優、良的總天數為________．
答案：12
解析：空氣質素優、良的aqi指數小於等於100，由頻率分布直方圖知，其頻率為(0.002＋0.
006)×50＝0.4，所以該市11月份中30天的空氣質素優、良的總天數為0.4×30＝12.
(2013·常州高階中學模擬)根據國家質量監督檢驗檢疫局發布的《車輛駕駛人員血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗》(gb19522—2004)中規定車輛駕駛人員血液酒精含量：「飲酒駕車非醉酒駕車」的臨界值為20 mg/100 ml；「醉酒駕車」的臨界值為80 mg/100 ml.某地區交通執法部門統計了5月份的執法記錄資料：
根據此資料，可估計該地區5月份「飲酒駕車非醉酒駕車」發生的頻率為________．
答案：0.09
解析：由統計表可知，「飲酒駕車非醉酒駕車」發生的頻數為11＋5＋2＝18，所以「飲酒駕車非醉酒駕車」發生的頻率為＝0.09.
題型2 樣本的數字特徵
例2 (2013·江蘇)抽樣統計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓練成績(單位：環)，結果如下：
則成績較為穩定(方差較小)的那位運動員成績的方差為________．
答案：2
解析：易得乙較為穩定，乙的平均值為：＝＝90.方差為：s2＝[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]/5＝2.
已知2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…，2xn＋1的方差是3，則x1，x2，x3，…，xn的標準差為________．
答案：解析：設x1，x2，x3，…，xn的標準差為s，則x1，x2，x3，…，xn的方差是s2，所以2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…，2xn＋1的方差是4s2，由題意，4s2＝3，所以s＝.
題型3 統計知識的綜合應用
例3 (2013·遼寧)為了考察某校各班參加課外書法小組的人數，從全校隨機抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數作為樣本資料，已知樣本平均數為7，樣本方差為4，且樣本資料互不相同，則樣本資料中的最大值為________．
答案：10
解析：由已知可設5個班級參加的人數分別為x1，x2，x3，x4，x5，又s2＝4，＝7，所以[(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2]/5＝4，所以(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20，即五個完全平方數之和為20，要使其中乙個達到最大，這五個數必須是關於0對稱分布的，而9＋1＋0＋1＋9＝20，也就是(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝20，所以五個班級參加的人數分別為4，6，7，8，10，最大數字為10.
(2013·啟東中學訓練)在樣本的頻率分布直方圖中，共有9個小長方形， 若第乙個長方形的面積為0.02，前五個與後五個長方形的面積分別成等差數列且公差是互為相反數，若樣本容量為1 600，則中間一組(即第五組)的頻數為_______．
答案：360
解析：設前五個長方形的面積成等差數列的公差為d，則9個小長方形的面積分別為0.02，0.
02＋d，0.02＋2d，0.02＋3d，0.
02＋4d，0.02＋3d，0.02＋2d，0.
02＋d，0.02，而小長方形的面積就是該組資料的頻率，從而有9個小長方形的面積和為 1，可得2(4×0.02＋d)＋0.
02＋4d＝1，解得d＝.所以第5組的頻率為0.02＋4×＝，故第5組的頻數為1 600×＝360.
1. (2013·鹽城三模)下圖是7位評委給某作品打出的分數的莖葉圖，那麼這組資料的方差是________．
答案：解析：將莖葉圖中的每個資料減去90，得7個資料為－2，－1，－1，0，1，1，2，易得平均數＝－2－1－1＋0＋1＋1＋2＝0，所以它們的方差為s2＝[(－2)2＋(－1)2＋(－1)2＋02＋12＋12＋22]＝.
這也是原資料的方差．
2. 某市高三數學抽樣考試中，對90分及其以上的成績情況進行統計，其頻率分布直方圖如右下圖所示，若(130，140]分數段的人數為90人，則(90，100]分數段的人數為________．
答案：810
解析：根據直方圖，組距為10，在(130，140]內的＝0.005，所以頻率為0.
05，因為此區間上的頻數為90，所以這次抽考的總人數為1 800人．因為(90，100]內的＝0.045，所以頻率為0.45，設該區間的人數為x，則由＝0.
45，得x＝810，即(90，100]分數段的人數為810.
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