第二章：實數
知識梳理
1.平方根
如果乙個數x的平方等於a，那麼，這個數x就叫做a的平方根；即:當時，我們稱x是a的平方根，記做：。因此：
（1）當a=0時，它的平方根只有乙個，也就是0本身；
（2）當a＞0時，也就是a為正數時，它有兩個平方根，且它們是互為相反數，通常記做：。
（3）當a＜0時，也即a為負數時，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；
（2） 的平方根是它本身。
（3）若的平方根是±2，則x= ；的平方根是
（4）當x時，有意義。
（5）乙個正數的平方根分別是m和m-4，則m的值是多少？這個正數是多少？
2.算術平方根
（1）如果乙個正數x的平方等於a，即，那麼，這個正數x就叫做a的算術平方根，記為：「」，讀作，「根號a」，其中，a稱為被開方數。特別規定：0的算術平方根仍然為0。
（2）算術平方根的性質：具有雙重非負性，即：。
（3）算術平方根與平方根的關係：算術平方根是平方根中正的乙個值，它與它的相反數共同構成了平方根。因此，算術平方根只有乙個值，並且是非負數，它只表示為：
；而平方根具有兩個互為相反數的值，表示為：。
例1.（1）下列說法正確的是
a.1的算數平方根是 b.；c.的平方根是d.0沒有平方根
（2）下列各式正確的是（ ）
a. b. c. d.
（3）的算術平方根是
（4）若有意義，則
（5）已知△abc的三邊分別是且滿足，求c的取值範圍。
（6）（提高題）如果x、y分別是4－的整數部分和小數部分。求x － y的值.
3.立方根
（1）如果x的立方等於a，那麼，就稱x是a的立方根，或者三次方根。記做：，讀作，3次根號a。
注意：這裡的3表示的是開根的次數。一般的，平方根可以省寫根的次數，但是，當根的次數在兩次以上的時候，則不能省略。
（2）平方根與立方根：每個數都有立方根,並且乙個數只有乙個立方根；但是，並不是每個數都有平方根，只有非負數才能有平方根。
例3.（1）64的立方根是
（2）若，則b等於（ ）
a. 1000000 b. 1000 c. 10 d. 10000
（3）下列說法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。
其中正確的有
a、1個 b、2個 c、3個 d、4個
（4）已知：a=是的算術平方根，b=是的立方根。求a－b的平方根。
4.無理數
（1）無限不迴圈小數叫做無理數；它必須滿足「無限」以及「不迴圈」這兩個條件。在初中階段，無理數的表現形式主要包含下列幾種：
①特殊意義的數，如：圓周率以及含有的一些數，如：2-，3等；②開方開不盡的數，如:等；
③特殊結構的數：如：2.
010 010 001 000 01…（兩個1之間依次多1個0）等。應當要注意的是：帶根號的數不一定是無理數，如：
等；無理數也不一定帶根號，如：
（2）有理數與無理數的區別：
①有理數指的是有限小數和無限迴圈小數，而無理數則是無限不迴圈小數；
②所有的有理數都能寫成分數的形式（整數可以看成是分母為1的分數），而無理數則不能寫成分數形式。
例4.（1）下列各數：①3.
141、②0.333330.3030003000003……（相鄰兩個3之間0的個數逐次增加2）、其中是有理數的有＿＿＿＿＿＿＿；是無理數的有＿＿＿＿＿＿＿。
（填序號）
（2）有五個數:0.125125…,0.1010010001…,-, ,其中無理數有 ( )個
a 2 b 3 c 4 d 5
4.實數
（1）有理數與無理數統稱為實數。在實數中，沒有最大的實數，也沒有最小的實數；絕對值最小的實數是0，最大的負整數是-1。
（2）實數的性質：實數a的相反數是-a；實數a的倒數是（a≠0）；實數a的絕對值|a|=，它的幾何意義是：在數軸上的點到原點的距離。
（3）實數的大小比較法則：實數的大小比較的法則跟有理數的大小比較法則相同：即正數大於0，0大於負數；正數大於負數；兩個正數，絕對值大的就大，兩個負數，絕對值大的反而小。
（在數軸上，右邊的數總是大於左邊的數）。對於一些帶根號的無理數，我們可以通過比較它們的平方或者立方的大小。
（4）實數的運算：在實數範圍內，可以進行加、減、乘、除、乘方、開方六種運算。運算法則和運算順序與有理數的一致。
例5.（1）下列說法正確的是（ ）；
a、任何有理數均可用分數形式表示 ； b、數軸上的點與有理數一一對應 ；
c、1和2之間的無理數只有； d、不帶根號的數都是有理數。
（2）a，b在數軸上的位置如圖所示，則下列各式有意義的是( )
ab、 c、 d、
（3）比較大小(填「>」或「<」).
3（4）數的大小關係是 ( )
ab.cd.
（5）將下列各數：，用「＜」連線起來
（6）若，且，則
（7）計算：
（8）已知：，
求代數式的值。
6.（提高題）觀察下列等式：回答問題：
①②③，……
（1）根據上面三個等式的資訊，請猜想的結果；
（2）請按照上式反應的規律，試寫出用n表示的等式，並加以驗證。
課後練習
一、考查題型：
1． －1的相反數的倒數是
2． 已知｜a+3|+＝0，則實數（a+b）的相反數
3． 數－3．14與－л的大小關係是
4． 和數軸上的點成一一對應關係的是
5． 和數軸上表示數－3的點a距離等於2．5的b所表示的數是
6． 在實數中л,－,0, ,－3．14,無理數有（ ）
（a）1 個 （b）2個 （c）3個 （d）4個
7．乙個數的絕對值等於這個數的相反數，這樣的數是（ ）
（a）非負數 （b）非正數 （c）負數 （d）正數
8．若x＜－3，則｜x＋3｜等於（ ）
（a）x＋3 （b）－x－3 （c）－x＋3 （d）x－3
9．下列說法正確是（ ）
（a） 有理數都是實數 （b）實數都是有理數
（b） 帶根號的數都是無理數（d）無理數都是開方開不盡的數
10．實數在數軸上的對應點的位置如圖，比較下列每組數的大小：
（1） c-b和d-a
（2） bc和ad
二、考點訓練：
*1．判斷題：
（1）如果a為實數，那麼－a一定是負數；（ ）
（2）對於任何實數a與b,|a－b|=|b－a|恆成立；（ ）
（3）兩個無理數之和一定是無理數；（ ）
（4）兩個無理數之積不一定是無理數；（ ）
（5）任何有理數都有倒數；（ ）
（6）最小的負數是－1；（ ）
（7）a的相反數的絕對值是它本身；（ ）
（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，則a－b=－1；（ ）
2．把下列各數分別填入相應的集合裡
－|－3|，21．3，－1．234，－,00，3－2，ctg45°,1.2121121112．．．．．．中
無理數集合
負分數集合
整數集合
非負數集合
*3．已知1（a）－2x （b）2 （c）2x （d）－2
4．下列各數中，哪些互為相反數？哪些互為倒數？哪些互為負倒數？
－3, －1， 3， － 0．3， 3－1， 1 +， 3
互為相反數： 互為倒數： 互為負倒數：
*5．已知ｘ、ｙ是實數，且（x－）2和｜ｙ＋2｜互為相反數，求ｘ，y的值
6.ａ,b互為相反數，c,d互為倒數，m的絕對值是2，
求+4m-3cd
*7．已知＝0，求
三、解題指導
1．下列語句正確的是（ ）
（a）無盡小數都是無理數 （b）無理數都是無盡小數
（c）帶拫號的數都是無理數 （d）不帶拫號的數一定不是無理數。
2．和數軸上的點一一對應的數是（ ）
（a）整數 （b）有理數 （c）無理數 （d）實數
3．零是（ ）
（a） 最小的有理數 （b）絕對值最小的實數
（c）最小的自然數 （d）最小的整數
4.如果a是實數，下列四種說法：
（1）ａ2和｜ａ｜都是正數，（2）｜ａ｜＝－ａ，那麼ａ一定是負數，
（3）ａ的倒數是，（4）ａ和－ａ的兩個分別在原點的兩側，其中正確的個數為（ ）
（a）0 （b）1 （c）2 （d）3
*5．比較下列各組數的大小：
（1） (2) (3)a6．若a,b滿足=0,則的值是
*7．實數a,b,c在數軸上的對應點如圖，其中o是原點，且|a|=|c|
（1） 判定a+b,a+c,c-b的符號
（2） 化簡|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|
*8．數軸上點a表示數－1，若ab＝3，則點b所表示的數為
9．已知x<0,y>0，且y<|x|，用"<"鏈結x，－x，－|y|，y。
10．最大負整數、最小的正整數、最小的自然數、絕對值最小的實數各是什麼？
11．絕對值、相反數、倒數、平方數、算術平方根、立方根是它本身的數各是什麼？
八年級數學上冊第二章實數知識點總結練習
第二章 實數 無理數 1.定義 無限不迴圈小數的小數叫做無理數 注 它必須滿足 無限 以及 不迴圈 這兩個條件。2.常見無理數的幾種型別 1 特殊意義的數，如 圓周率以及含有的一些數，如 2 3等 2 特殊結構的數 看似迴圈而實則不迴圈 如 2.010 010 001 000 01 兩個1之間依次多...
八年級數學上冊二章教學反思
八年級數學上冊第 一 二章教學反思 青島版 今年接手八年級，沒教之前，就聽多少老師談過，七年級的數學平均分在七八十分上，可上了八年級平均分下降的特別的多，當時我還不怎麼相信，因為我看過課程不是很難，所以相信我的學生一定能學好。剛上第一章時是孩子們最頭疼的幾何題，我仔細閱覽課本之後，把第一章的知識點系...
八年級數學上冊
八年級數學上冊期末綜合水平測試 一 認認真真選，沉著應戰！每小題3分 共30分 1.4的平方根是 a 2 b 4 c d 2.不等式的解集是 a bc d 3.下列圖案中是軸對稱圖形的是 4.比較的大小，正確的是 5.下列計算正確的是 a bcd 6.如圖1，小明從點o出發，先向西走40公尺，再向南...