第二章：實數
【無理數】
1. 定義：無限不迴圈小數的小數叫做無理數；注：它必須滿足「無限」以及「不迴圈」這兩個條件。
2. 常見無理數的幾種型別：
（1）特殊意義的數，如：圓周率以及含有的一些數，如：2-，3等；
（2）特殊結構的數（看似迴圈而實則不迴圈）：如：2.
010 010 001 000 01…（兩個1之間依次多1個0）等。（3）無理數與有理數的和差結果都是無理數。如：
2-是無理數
（4）無理數乘或除以乙個不為0的有理數結果是無理數。如2,
（5）開方開不盡的數，如:等；應當要注意的是：帶根號的數不一定是無理數，如：等；無理數也不一定帶根號，如：）
3.有理數與無理數的區別：
（1）有理數指的是有限小數和無限迴圈小數，而無理數則是無限不迴圈小數；
（2）所有的有理數都能寫成分數的形式（整數可以看成是分母為1的分數），而無理數則不能寫成分數形式。
例：（1）下列各數：①3.
141、②0.333330.3030003000003……（相鄰兩個3之間0的個數逐次增加2）、其中是有理數的有＿＿＿＿；是無理數的有＿＿＿。
（填序號）
（2）有五個數:0.125125…,0.1010010001…,-, ,其中無理數有 ( )個
【算術平方根】：
1. 定義：如果乙個正數x的平方等於a，即，那麼，這個正數x就叫做a的算術平方根，記為：
「」，讀作，「根號a」，其中，a稱為被開方數。例如32=9，那麼9的算術平方根是3，即。
特別規地，0的算術平方根是0，即，負數沒有算術平方根
2.算術平方根具有雙重非負性：（1）若有意義，則被開方數a是非負數。（2）算術平方根本身是非負數。
3.算術平方根與平方根的關係：算術平方根是平方根中正的乙個值，它與它的相反數共同構成了平方根。
因此，算術平方根只有乙個值，並且是非負數，它只表示為：；而平方根具有兩個互為相反數的值，表示為：。
例：（1）下列說法正確的是
a．1的立方根是； b．；（c）、的平方根是； （ d）、0沒有平方根；
（2）下列各式正確的是（ ）
a、 b、 c、 d、
（3）的算術平方根是4）若有意義，則
（5）已知△abc的三邊分別是且滿足，求c的取值範圍。
（6）（提高題）如果x、y分別是4－的整數部分和小數部分。求x － y的值.
平方根：
1.定義：如果乙個數x的平方等於a，即，那麼這個數x就叫做a的平方根；，我們稱x是a的平方（也叫二次方根），記做：
2.性質：（1）乙個正數有兩個平方根，且它們互為相反數；
（2）0只有乙個平方根，它是0本身； （3）負數沒有平方根
例（1）若的平方根是±2，則x= ；的平方根是 （2）當x 時，有意義。
（3）乙個正數的平方根分別是m和m-4，則m的值是多少？這個正數是多少？
3. （1）（2）中，a可以取任意實數。如
例：1.求下列各式的值
（123）
2.已知，那麼a的取值範圍是 。3.已知2＜x＜3,化簡 。
【立方根】
1.定義：一般地，如果以個數x的立方等於a，即x3=a,那麼這個數x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）記為，讀作，3次根號a。如23=8，則2是8的立方根，0的立方根是0。
2.性質：正數的立方根的正數；0的立方根是0；負數的立方根是負數。立方根是它本身的數有0,1，-1.
例：（1）64的立方根是（2）若，則b等於
（3）下列說法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。
其中正確的有a、1個 b、2個 c、3個 d、4個
比較兩個數的大小：
方法一：估算法。如3＜＜4方法二：作差法。如a＞b則a-b＞0.
方法三：乘方法.如比較的大小。
例：比較下列兩數的大小
（12）
【實數】
定義：（1）有理數與無理數統稱為實數。在實數中，沒有最大的實數，也沒有最小的實數；絕對值最小的實數是0，最大的負整數是-1。
（2）實數也可以分為正實數、0負實數。
實數的性質：實數a的相反數是-a；實數a的倒數是（a≠0）；實數a的絕對值|a|=，它的幾何意義是：在數軸上的點到原點的距離。
實數的大小比較法則：實數的大小比較的法則跟有理數的大小比較法則相同：即正數大於0，0大於負數；正數大於負數；兩個正數，絕對值大的就大，兩個負數，絕對值大的反而小。
（在數軸上，右邊的數總是大於左邊的數）。對於一些帶根號的無理數，我們可以通過比較它們的平方或者立方的大小。
實數的運算：在實數範圍內，可以進行加、減、乘、除、乘方、開方六種運算。運算法則和運算順序與有理數的一
實數與數軸的關係：每個實數與數軸上的點是一一對應的
（1）每個實數可以以用數軸上的乙個點來表示。
（2）數軸上的每個點都表示已個實數。
例：（1）下列說法正確的是（ ）；
a、任何有理數均可用分數形式表示 ； b、數軸上的點與有理數一一對應 ；
c、1和2之間的無理數只有； d、不帶根號的數都是有理數。
（2）a，b在數軸上的位置如圖所示，則下列各式有意義的是( )
ab、 c、 d、
（3）比較大小(填「>」或「<」).
3（4）數的大小關係是 ( )
a. b. cd.
（5）將下列各數：，用「＜」連線起來
（6）若，且，則
【二次根式】
定義：形如的式子叫做二次根式，a叫做被開方數
注意：（1）從形式上看二次根式必須有二次根號「」，如是二次根式，而=3,3顯然就不是二次根式。
（2）被開方數a可以是數，也可以是代數式。若a是數，則這個數必須是非負數；若a是代數式，則這個代數式的取值必須是非負數，否則沒有意義。
例：下列根式是否為二次根式
（123） （4）
二次根式的性質：
性質1： 積的算術平方根等於積中各因式的算術平方根的積，運用這個性質也可以對二次根式進行化簡。
性質2： 商的算術平方根等於被除數的算術平方**以除數的算術平方根。
最簡二次根式：被開方數中不含分母，也不含能開得盡方的因數或因式，這樣的二次根式，叫做最簡二次根式。
例：1.化簡：
（123）
2.計算：
3.已知：，求代數式的值。
6.（提高題）觀察下列等式：回答問題：
① ②
③，……
（1）根據上面三個等式的資訊，請猜想的結果；
（2）請按照上式反應的規律，試寫出用n表示的等式，並加以驗證。
課後練習
一、重點考查題型：
1.－1的相反數的倒數是 2.已知｜a+3|+＝0，則實數（a+b）的相反數
3.數－3．14與－л的大小關係是 4.和數軸上的點成一一對應關係的是
5.和數軸上表示數－3的點a距離等於2．5的b所表示的數是
6.在實數中л,－,0, ,－3．14,無理數有個
7．乙個數的絕對值等於這個數的相反數，這樣的數是（ ）
（a）非負數 （b）非正數 （c）負數 （d）正數
8．若x＜－3，則｜x＋3｜= 。
9．下列說法正確是（ ）
（a） 有理數都是實數 （b）實數都是有理數
（b） 帶根號的數都是無理數 （d）無理數都是開方開不盡的數
10．實數在數軸上的對應點的位置如圖，比較下列每組數的大小：
（1） c-b和d-a
（2） bc和ad
二、考點訓練：
*1．判斷題：
（1）如果a為實數，那麼－a一定是負數；（ ）
（2）對於任何實數a與b,|a－b|=|b－a|恆成立；（ ）
（3）兩個無理數之和一定是無理數；（ ）
（4）兩個無理數之積不一定是無理數；（ ）
（5）任何有理數都有倒數；（ ）
（6）最小的負數是－1；（ ）
（7）a的相反數的絕對值是它本身；（ ）
（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，則a－b=－1；（ ）
2．把下列各數分別填入相應的集合裡
－|－3|，21．3，－1．234，－,00，3－2，ctg45°,1.2121121112．．．．．．中
無理數集合負分數集合
整數集合非負數集合
*3．已知14．下列各數中，哪些互為相反數？哪些互為倒數？哪些互為負倒數？
－3, －1， 3， － 0．3， 3－1， 1 +， 3
互為相反數： 互為倒數： 互為負倒數：
*5．已知ｘ、ｙ是實數，且（x－）2和｜ｙ＋2｜互為相反數，求ｘ，y的值
6.ａ,b互為相反數，c,d互為倒數，m的絕對值是2，
求+4m-3cd
*7．已知＝0，求
三、解題指導
1．下列語句正確的是（ ）
a、無盡小數都是無理數b、無理數都是無盡小數
c、帶拫號的數都是無理數 d、不帶拫號的數一定不是無理數。
2．和數軸上的點一一對應的數是（ ）
八年級數學上冊第二章
第二章 實數 知識梳理 1.平方根 如果乙個數x的平方等於a，那麼，這個數x就叫做a的平方根 即 當時，我們稱x是a的平方根，記做 因此 1 當a 0時，它的平方根只有乙個，也就是0本身 2 當a 0時，也就是a為正數時，它有兩個平方根，且它們是互為相反數，通常記做 3 當a 0時，也即a為負數時，...
八年級數學上學期第二章實數複習課教案
c.有理數 d.不是有理數3 下列說法中正確的是 a.和數軸上的點一一對應的數是有理數 b.數軸上的點可以表示所有的實數 c.帶根號的數都是無理數 d.不帶根號的數都是無理數 4 下列說法正確的是 a.兩個無理數的和是無理數 b.有理數與無理數的差都是有理數 c.帶分數線的數一定是有理數 d.開方開...
八年級數學上冊知識點總結
1 過兩點有且只有一條直線 2 兩點之間線段最短 3 同角或等角的補角相等 4 同角或等角的餘角相等 5 過一點有且只有一條直線和已知直線垂直 6 直線外一點與直線上各點連線的所有線段中，垂線段最短 7 平行公理經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行 8 如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩...