創新小題有兩個特點「新」，「小」．
所謂「新」，有三個方面：
1、知識背景新
在創新小題中，出題者往往會通過給出某些新的概念、結論、性質或方式方法作為資訊，而後在此背景下讓考生解決相關的問題．解決這類問題的重難點在於正確的理解資訊，並將其表述形式轉化為常規而便於使用的（這一過程稱為資訊遷移）．
2、探索問題新
有些創新小題並不給出新的知識背景（或是僅給出的知識背景相當簡單），但要求考生解決與題幹資訊關聯不直接的複雜問題或是對一些開放性結論作出判斷．解決這類問題的重難點在於如何在給定資訊背景下通過積極的探索（主要方式有觀察猜測、遞推歸納、模擬、分類討論等等）獲得更多有效的資訊．
3、綜合方式新
有些創新小題既沒有新的知識背景，要求解決的問題也很常規，但題目的綜合性強，綜合方式新穎靈活．主要表現在題幹條件不是簡單的堆砌而需要靈活轉化利用，考查知識點時不是無味的「拼盤」而有層次的遞進考查．解決這類問題的重難點在於如何將錯綜的條件轉化為規整的條件以及如何將棘手的問題分解化歸為熟悉的問題．
所謂「小」，也有三個方面：
1、題幹小巧
由形式所限，創新小題題幹所承載的資訊量一般都較小，也就是說解題的關鍵點很集中，一般不需要進行複雜的轉化或討論．
2、探索目標小
創新小題的問題相對封閉，也就是說解題時要明確目標，集中力量窮追猛打．
3、計算強度小
創新小題主要考查的是思維的靈活程度，而對計算能力要求相對較低，因此當解題過程**現很複雜的計算時應考慮轉換調整思考方向．
針對創新小題的這些特點，我們循如下圖所示的解題流程圖，就在解題過程中涉及的一些樸素的、具有一般性的想法展開**．
對於在題幹中給出某些新的概念、結論、性質或方式方法作為資訊的創新小題，我們需要對新的資訊進行閱讀理解，並根據問題的不同將資訊轉化為不同的表達方式以方便解題．
考點1：對資訊的理解
為了準確的理解新資訊，我們經常使用的手段是模擬、例項化和化簡條件．很多創新小題甚至直接以這三種手段為考查物件．
例1 ⑴（2023年豐台一模）設集合，在上定義運算「」為：，其中為被除的餘數，．則滿足關係式的（）的個數為（ ）
a．1b．2c．3d．4
⑵（2023年房山高三期末）規定記號「」表示一種運算，即，其中均為正實數．若，則的值為______，此時函式的最小值為
備選1 （2023年朝陽二模）對於任意兩個正整數，定義運算（用表示運算符號）：
當都是正偶數或都是正奇數時，；
當中乙個為正偶數，另乙個為正奇數時，．
例如，，．
在上述定義中，集合的元素有個．
備選2 （2014.5東城理）對任意實數，定義運算「⊙」：設，若函式的圖象與軸恰有三個交點，則的取值範圍是（ ）．
ab．cd．例2 （2023年朝陽二模）把形如（）的正整數表示成各項都是整數、公差為的等差數列前項的和，稱作「對的項分劃」．例如，把表示成，稱作「對的項分劃」，把64表示成，稱作「對的項分劃」．據此，對的項分劃中最大的數是______；若的項分劃中第項是，則的值是______．
備選3 （2023年四川）函式的定義域為，若且時總有，則稱為單函式．例如，函式（）是單函式．下列命題：
① 函式（）是單函式；
② 若為單函式，且，則；
③ 若為單函式，則對於任意，它至多有乙個原象；
④ 函式在某區間上具有單調性，則一定是單函式．
其中的真命題是寫出所有真命題的編號）
考點2：對資訊的轉化
我們知道數學有三種語言：文字語言、圖形語言以及符號語言．數學資訊也有對應的不同表達形式：本質化的文字語言、直觀化的圖形語言以及形式化的符號語言．為了有效的應用資訊，我們必須用最合適的語言表達資訊．
例3 已知，用表示不超過的最大整數，記．
⑴（2023年朝陽一模文）若，則與的大小關係是（ ）
a．不確定（與的值有關） b．
cd．⑵（2023年豐台一模文）下面關於函式的四個命題：
① 函式的定義域為，值域為；
② 函式的圖象關於軸對稱；
③ 函式是週期函式，最小正週期為；
④ 函式在上是增函式．
其中正確命題的序號是寫出所有正確命題的序號）
備選4 ⑴用表示不超過的最大整數，若函式恰好有三個零點，則實數的取值範圍是
⑵（2023年朝陽一模）定義區間，，，的長度均為，多個區間並集的長度為各區間長度之和，例如，的長度．設，，若用分別表示不等式，方程，不等式解集區間的長度，則當時，有（ ）
ab．，，
cd．，，
例4 ⑴（2023年豐台一模）定義在區間上的連續函式，如果，使得，則稱為區間上的「中值點」．下列函式：
①； ②； ③；④中，
在區間上「中值點」多於乙個的函式序號為寫出所有滿足條件的函式序號）
⑵（2023年朝陽二模）集合由滿足以下條件的函式組成：對任意時，都有．對於兩個函式，，以下關係成立的是（ ）
ab．，
cd．，
【備註】注意下面的題目：
（2023年東城高三期末理）已知函式，在區間內任取兩個實數、且，不等式恆成立，則實數的取值範圍是
備選5 （2023年西城一模）設函式的定義域為，若存在非零實數使得對於任意，，有，且，則稱為上的高調函式．
如果定義域為的函式為上的高調函式，那麼實數的取值範圍是
如果定義域為的函式是奇函式，當時，，且為上的4高調函式，那麼實數的取值範圍是
備選6 （2014湖北文）如圖所示，函式的圖象由兩條射線和三條線段組成．
若，，則正實數的取值範圍為
備選7 （2014湖北理）已知函式是定義在上的奇函式，當時，．若，，則實數的取值範圍為（ ）．
ab． c． d．
很多時候，我們已經明確的清楚了條件的本質，但所積累的資訊與條件不足以解決問題．這時我們就需要對資訊進行進一步的加工處理以獲得更多、更有用的資訊．常用的手段有：觀察猜測，歸納遞推，模擬與分類討論．
考點3：觀察猜測
理解題意後，我們可以對題目進行深層次的探索．探索的過程實際上是不停的實踐過程，在實踐中需要著眼於問題仔細觀察得到的代數式或幾何圖形的特性，進而作出一些有用的判斷．接下來對於判是的命題嘗試進行證明，對於判否的命題嘗試構造反例（證偽）．起初的判斷可能並不是正確的甚至是沒有用的，但在證明或構造反例的過程中可以調整修正方向，進而進行更進一步的判斷，最終徹底解決問題．
例5 ⑴（2023年順義二模）給定集合，若對於任意，有，且，則稱集合為閉集合，給出如下四個結論：
① 集合為閉集合；
② 集合為閉集合；
③ 若集合、為閉集合，則為閉集合；
④ 若集合、為閉集合，且、均為的真子集，則存在，使得．
其中正確結論的序號是
⑵（2023年廣東）設是整數集的非空子集，如果有，則稱關於數的乘法是封閉的．若、是的兩個不相交的非空子集，，且有；，有，則下列結論恆成立的是（ ）
a．、中至少有乙個關於乘法是封閉的
b．、中至多有乙個關於乘法是封閉的
c．、中有且只有乙個關於乘法是封閉的
d．、中每乙個關於乘法都是封閉的
備選8 （2023年四川理）設為複數集的非空子集．若對任意，都有，則稱為封閉集．下列命題：
① 集合（其中為虛數單位）為封閉集；
② 若為封閉集，則一定有；
③ 封閉集一定是無限集；
④ 若為封閉集，則滿足的任意集合也是封閉集．
其中真命題是寫出所有真命題的序號）
例6 （2023年福建理）已知函式，對於曲線上橫座標成等差數列的三個點、、，給出以下判斷：
①一定是鈍角三角形；
②可能是直角三角形；
③可能是等腰三角形；
④不可能是等腰三角形．
其中正確的判斷是（ ）
a．①③ b．①④ c．②③ d．②④
備選9 （2023年東城一模）如果對任意乙個三角形，只要它的三邊長、、都在函式的定義域內，就有、、也是某個三角形的三邊長，則稱為「л型函式」．則下列函式：
是「л型函式」的序號為________．
備選10 （2023年豐台高三期末）函式的導函式為，若對於定義域內任意（），有恆成立，則稱為恆均變函式．給出下列函式：
其中為恆均變函式的序號是寫出所有滿足條件的函式的序號）
考點4：歸納遞推
當討論與自然數有關的命題時，我們往往可以從簡單情形入手歸納出規律，然後再將此規律遞推到一般情形，從而解決問題．
例7 （2023年福建）五位同學圍成一圈依序迴圈報數，規定：
① 第一位同學首次報出的數為，第二位同學首次報出的數也為，之後每位同學所報出的數都是前兩位同學所報出的數之和；
② 若報出的數為的倍數，則報該數的同學需拍手一次．
已知甲同學第乙個報數，當五位同學依序迴圈報到第個數時，甲同學拍手的總次數為________．
【備註】可以結合下面的題目講解：
（2011西城一模文）
某次測試成績滿分為150分，設名學生的得分分別為（，），（）為名學生中得分至少為分的人數．記為名學生的平均成績．則（ ）
ab．cd．備選11 （2023年海淀二模）給定集合，對映滿足：
① 當時，；
② 任取，若，則有．
則稱對映：是乙個「優對映」．例如：用表1表示的對映：是乙個「優對映」．
表1表2
⑴ 已知表2表示的對映：是乙個優對映，請把表2補充完整（只需填出乙個滿足條件的對映）；
第2知識塊第8講
第8講對數與對數函式 一 選擇題 1 已知log7 log3 log2x 0，那麼x等於 a.b.c.d.解析 log7 log3 log2x 0，則log3 log2x 1，log2x 3，x 8，因此x 答案 c 2 2010 模擬精選 已知f x5 lg x，則f 2 a lg 2 b lg ...
第8講填數遊戲
一 知識要點 小朋友都喜愛做遊戲。填數遊戲不但非常有趣，而且能促使你積極地思考問題 分析問題 發展能力。但有時也有一定的難度，不過，只要你掌握了填寫方法，填起來就很輕鬆了。填數時，要仔細觀察圖形，確定圖形中關鍵的位置應填幾，一般是圖形的頂點及中間位置。另外，要將所填的空與所提供的數字聯絡起來，一般要...
第8講比和比例
比的概念是借助於除法的概念建立的。兩個數相除叫做兩個數的比。例如，5 6可記作5 6。比值。表示兩個比相等的式子叫做比例 式 如，3 7 9 21。判斷兩個比是否成比例，就要看它們的比值是否相等。兩個比的比值相等，這兩個比能組成比例，否則不能組成比例。在任意乙個比例中，兩個外項的積等於兩個內項的積。...