第8講比和比例

比的概念是借助於除法的概念建立的。

兩個數相除叫做兩個數的比。例如，5÷6可記作5∶6。

比值。　　表示兩個比相等的式子叫做比例（式）。如，3∶7=9∶21。

判斷兩個比是否成比例，就要看它們的比值是否相等。兩個比的比值相等，這兩個比能組成比例，否則不能組成比例。

在任意乙個比例中，兩個外項的積等於兩個內項的積。即：如果a∶b=c∶d，那麼a×d=b×c。

兩個數的比叫做單比，兩個以上的數的比叫做連比。例如a∶b∶c。連比中的「∶」不能用「÷」代替，不能把連比看成連除。

把兩個比化為連比，關鍵是使第乙個比的後項等於第二個比的前項，方法是把這兩項化成它們的最小公倍數。例如，

甲∶乙=5∶6，乙∶丙=4∶3，

因為[6，4]=12，所以

5∶ 6=10∶ 12， 4∶3=12∶9，

得到甲∶乙∶丙=10∶12∶9。

例1 已知3∶(x-1)=7∶9，求x。

解： 7×(x-1)=3×9，

x-1=3×9÷7，

例2 六年級一班的男、女生比例為3∶2，又來了4名女生後，全班共有44人。求現在的男、女生人數之比。

分析與解：原來共有學生44-4=40（人），由男、女生人數之比為3∶2知，如果將人數分為5份，那麼男生佔3份，女生佔2份。由此求出

女生增加4人變為16+4=20（人），男生人數不變，現在男、女生人數之比為 24∶20=6∶5。

在例2中，我們用到了按比例分配的方法。

將乙個總量按照一定的比分成若干個分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是將按已知比分配變為按份數分配，把比的各項相加得到總份數，各項與總份數之比就是各個分量在總量中所佔的分率，由此可求得各個分量。

例3 配製一種農藥，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1∶2∶12，現在要配製這種農藥2700千克，求各種原料分別需要多少千克。

分析：總量是2700千克，各分量的比是1∶2∶12，總份數是1+2+12=15，

答：生石灰、硫磺粉、水分別需要180，360和2160千克。

在按比例分配的問題中，也可以先求出每份的量，再求出各個分量。如例3中，總份數是1+2+12=15，每份的量是2700÷15=180（千克），然後用每份的量分別乘以各分量的份數，即用180千克分別乘以1，2，12，就可以求出各個分量。

例4 師徒二人共加工零件400個，師傅加工乙個零件用9分鐘，徒弟加工乙個零件用15分鐘。完成任務時，師傅比徒弟多加工多少個零件？

分析與解：解法很多，這裡只用按比例分配做。師傅與徒弟的工作效率

有多少學生？

按比例分配得到

例6 某高速公路收費站對於過往車輛收費標準是：大客車30元，小客車15元，小轎車10元。某日通過該收費站的大客車和小客車數量之比是5∶6，小客車與小轎車之比是4∶11，收取小轎車的通行費比大客車多210元。

求這天這三種車輛通過的數量。

分析與解：大客車、小轎車通過的數量都是與小客車相比，如果能將5∶6中的6與4∶11中的4統一成[4，6]=12，就可以得到大客車∶小客車∶小轎車的連比。

由5∶6=10∶12和4∶11=12∶33，得到

大客車∶小客車∶小轎車=10∶12∶33。

以10輛大客車、12輛小客車、33輛小轎車為一組。因為每組中收取小轎車的通行費比大客車多10×33-30×10=30（元），所以這天通過的車輛共有210÷30=7（組）。這天通過

大客車=10×7=70（輛），

小客車=12×7=84（輛），

小轎車=33×7=231（輛）。