第8講對數與對數函式
一、選擇題
1．已知log7[log3(log2x)]＝0，那麼x等於
a. b. c. d.
解析：log7[log3(log2x)]＝0，則log3(log2x)＝1，log2x＝3，x＝8，因此x＝.
答案：c
2．(2010·模擬精選)已知f(x5)＝lg x，則f(2)＝( )
a．lg 2 b．lg 32 c．lg d. lg 2
解析：設x5＝2x＝2f(2)＝lg 2＝lg 2.
答案：d
3．若x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，則( )
a．ac．b解析：解法一：∵x∈，∴ln x∈(－1,0)，
b＝2ln x＝ln x2.又y＝ln x是增函式，x2∵c－a＝ln3x－ln x＝ln x(ln2x－1)>0，
∴c>a，b解法二：x∈，ln x∈(－1,0)，不妨令ln x＝－0.1，則(－0.1)3>－0.1>－0.1×2，故
選c項．
答案：c
4．(2010·創新題)已知函式f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f＝4，則f(2 010)的值為
( )
a．－4 b．2 c．－2 d．0
解析：設f(x)＝f(x)－2，即f(x)＝alog2x＋blog3x，
則f＝alog2＋blog3＝－(alog2x＋blog3x)＝－f(x)，
∴f(2 010)＝－f＝－[f－2]＝－2，
即f(2 010)－2＝－2，故f(2 010)＝0.
答案：d
二、填空題
5．函式f(x)＝log2(x2－1)的定義域為________．
解析：由x2－1>0，得定義域為(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
6．(2009·皖南八校第二次聯考)設奇函式f(x)的定義域為r，且週期為5，若f(1)<－1，
f(4)＝loga2(a>0，且a≠1)，則實數a的取值範圍是________．
解析：∵f(4)＝－f(－4)＝－f(1)>1，
∴loga2>1，∴1答案：(1,2)
7．(2010·山東青島檢測)對於函式f(x)的定義域中的任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下結論：
①f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；
②f(－x1x2)＝f(x1)＋f(x2)；
③(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0；
④f <.
當f(x)＝lg(－x)時，上述結論中正確的序號是寫出全部正確結論的序號)
解析：①f(x1＋x2)＝lg(－x1－x2)，f(x1)f(x2)＝lg(－x1)·lg(－x2)，故①不成立；
②f(－x1x2)＝lg[(－x1)(－x2)]＝lg(－x1)＋lg(－x2)＝f(x1)＋f(x2)，故②成立；
③(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＝(x1－x2)[lg(－x1)－lg(－x2)]，若x1lg(－x2)，故
(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0；若x1>x2，同理可得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0.故③成立；
④f＝lg，
＝＝lg，
又－>，
故f >，故④不成立．
答案：②③
三、解答題
8．求值：.
解：解法一：原式＝
＝＝.解法二：原式＝＝.
9．(2010·浙江溫州模擬)已知函式f(x)＝ln(x＋)
(1)證明f(x)為奇函式；
(2)若f(x)＝ln(2＋)，求x的值．
證明：(1)∵x＋>x＋|x|≥0，
∴f(x)的定義域為r.
f(－x)＝ln(－x＋)
＝ln＝ln(x＋)－1
＝－f(x)
因此f(x)為奇函式．
(2)解：由f(x)＝ln(2＋)，
即x＋＝2＋，解得x＝2.
10．(2009·山東實驗中學檢測)設a、b∈r，且a≠2，
若奇函式f(x)＝lg在區間(－b，b)上有定義．
(1)求a的值；
(2)求b的取值範圍；
(3)判斷函式f(x)在區間(－b，b)上的單調性．
解：(1)f(－x)＝－f(x)，即lg＝－lg，
即＝，整理得：1－a2x2＝1－4x2，
∴a＝±2，又a≠2，故a＝－2.
(2)f(x)＝lg的定義域是，
∴0(3)f(x)＝lg＝lg
＝lg.
∴函式在定義域內是單調遞減的．
1．(2010·創新題)對任意實數a、b，定義運算「*」如下：
a*b＝，則函式f(x)＝log (3x－2)*log2x的值域為( )
a．[0b．(－∞，0]
c. d.
解析：在同一直角座標系中畫出y= (3x-2)和y=log2x這兩個函式的圖象，由圖象可
得f(x)=
值域為(-∞，0]．
答案：b
2．(★★★★)設a>0，a≠1，函式f(x)＝a (x2－2x＋3)有最小值，則不等式loga(x2－
5x＋7)<0的解集為________．
解析：∵lg(x2－2x＋3)有最小值，∴a>1，則不等式loga(x2－5x＋7)<0，
解得2答案：(2,3)
第3知識塊第6講
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