一．知識梳理
1． 數列求和的方法技巧
(1)分組轉化法
有些數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將數列通項拆開或變形，可轉化為幾個等差、等比數列或常見的數列，即先分別求和，然後再合併．
(2)錯位相減法
這是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用於求數列的前n項和，其中，分別是等差數列和等比數列．
(3)倒序相加法
這是在推導等差數列前n項和公式時所用的方法，也就是將乙個數列倒過來排列(反序)，當它與原數列相加時若有公式可提，並且剩餘項的和易於求得，則這樣的數列可用倒序相加法求和．
(4)裂項相消法
利用通項變形，將通項**成兩項或n項的差，通過相加過程中的相互抵消，最後只剩下有限項的和．這種方法，適用於求通項為的數列的前n項和，其中若為等差數列，則
常見的拆項公式：
②＝(－)；
④＝(－)．
2． 數列應用題的模型
(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是乙個固定量時，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差．
(2)等比模型：如果後乙個量與前乙個量的比是乙個固定的數時，該模型是等比模型，這個固定的數就是公比．
(3)混合模型：在乙個問題中同時涉及等差數列和等比數列的模型．
(4)生長模型：如果某乙個量，每一期以乙個固定的百分數增加(或減少)，同時又以乙個固定的具體量增加(或減少)時，我們稱該模型為生長模型．如分期付款問題，樹木的生長與砍伐問題等．
(5)遞推模型：如果容易找到該數列任意一項an與它的前一項an－1(或前n項)間的遞推關係式，我們可以用遞推數列的知識來解決問題.
二．預習練習
1． 已知數列1，3，5，7，…，則其前n項和sn
2． 在等差數列中，a1＝－2 013，其前n項和為sn，若－＝2，則s2 013的值等於________．
3． 對於數列，a1＝4，an＋1＝f(an)，n＝1,2，…，則a2 013
4． 設是以2為首項，1為公差的等差數列，是以1為首項，2為公比的等比數列，記mn＝ab1＋ab2＋…＋abn，則數列中不超過2 013的項的個數為________．
5． 在等差數列中，其前n項和是sn，若s15>0，s16<0，則在，，…，中最大的是________．
三．典型例題
考點一分組轉化求和法
例1 等比數列中，a1，a2，a3分別是下表第
一、二、三行中的某乙個數，且a1，a2，a3中的任何兩個數不在下表的同一列.
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足：bn＝an＋(－1)nln an，求數列的前n項和sn.
變式已知sn為數列的前n項和，且sn＝2an＋n2－3n－2，n＝1,2,3，…
(1)求證：數列為等比數列；
(2)設bn＝an·cos nπ，求數列的前n項和tn.
.考點二錯位相減求和法
例2 (2013·山東)設等差數列的前n項和為sn，且s4＝4s2，a2n＝2an＋1.
(1)求數列的通項公式；
(2)設數列的前n項和為tn，且tn＋＝λ(λ為常數)．令cn＝b2n，n∈n*，求數列的前n項和rn.
變式設數列滿足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.
(1)求數列的通項公式；
(2)令bn＝nan，求數列的前n項和sn.
考點三裂項相消求和法
例3 (2013·廣東)設數列的前n項和為sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈n*.
(1)求a2的值；
(2)求數列的通項公式；
(3)證明：對一切正整數n，有＋＋…＋<.
變式已知，， (x≥0)成等差數列．又數列(an>0)中，a1＝3，此數列的前n項和為sn，對於所有大於1的正整數n都有sn＝f(sn－1)．
(1)求數列的第n＋1項；
(2)若是，的等比中項，且tn為的前n項和，求tn.
考點四數列的實際應用
例4 (2012·湖南)某公司一下屬企業從事某種高科技產品的生產．該企業第一年年初有資金2 000萬元，將其投入生產，到當年年底資金增長了50%，預計以後每年資金年增長率與第一年的相同．公司要求企業從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，並將剩餘資金全部投入下一年生產．設第n年年底企業上繳資金後的剩餘資金為an萬元．
(1)用d表示a1，a2，並寫出an＋1與an的關係式；
(2)若公司希望經過m(m≥3)年使企業的剩餘資金為4 000萬元，試確定企業每年上繳資金d的值(用m表示)．
變式某產品在不做廣告宣傳且每千克獲利a元的前提下，可賣出b千克．若做廣告宣傳，廣告費為n(n∈n*)千元時比廣告費為(n－1)千元時多賣出千克．
(1)當廣告費分別為1千元和2千元時，用b表示銷售量s；
(2)試寫出銷售量s與n的函式關係式；
(3)當a＝50，b＝200時，要使廠家獲利最大，銷售量s和廣告費n分別應為多少？
四．課後練習
一、填空題
1． 在乙個數列中，如果n∈n*，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數)，那麼稱這個數列為等積數列，稱k為這個數列的公積．已知數列是等積數列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12
2． 秋末冬初，流感盛行，特別是甲型h1n1流感．某醫院近30天每天入院**甲流的人數依次構成數列，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈n*)，則該醫院30天入院**甲流的人數為________．
3． 數列滿足a1＝1，且對任意的m，n∈n*都有am＋n＝am＋an＋mn，則
4． 已知函式f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a2 012
5． (2013·安徽)如圖，互不相同的點a1，a2，…，an，…和b1，b2，…，bn，…分別在角o的兩條邊上，所有anbn相互平行，且所有梯形anbnbn＋1an＋1的面積均相等．設oan＝an，若a1＝1，a2＝2，則數列的通項公式是________．
6． 已知數列滿足3an＋1＋an＝4(n≥1)且a1＝9，其前n項之和為sn，則滿足不等式|sn－n－6|《的最小整數n是________．
7．氣象學院用3.2萬元買了一台天文觀測儀，已知這台觀測儀從啟用的第一天起連續使用，第n天的維修保養費為(n∈n*)元，使用它直至報廢最合算(所謂報廢最合算是指使用這台儀器的平均耗資最少)，一共使用了________天．
二、解答題
8．(2013·江西)正項數列的前n項和sn滿足：s－(n2＋n－1)sn－(n2＋n)＝0.
(1)求數列的通項公式an；
(2)令bn＝，數列的前n項和為tn，證明：對於任意的n∈n*，都有tn<.
9．將函式f(x)＝sin x·sin (x＋2π)·sin (x＋3π)在區間(0，＋∞)內的全部極值點按從小到大的順序排成數列(n∈n*)．
(1)求數列的通項公式；
(2)設bn＝2nan，數列的前n項和為tn，求tn的表示式．
10．在等比數列中，a2＝，a3·a6＝.設bn＝log2a2·log2a2，tn為數列的前n項和．
(1)求an和tn；
(2)若對任意的n∈n*，不等式λtn11． 已知函式f(x)滿足ax·f(x)＝b＋f(x) (ab≠0)，f(1)＝2且f(x＋2)＝－f(2－x)對定義域中任意x都成立．
(1)求函式f(x)的解析式；
(2)若正項數列的前n項和為sn，滿足sn＝2.求證：數列是等差數列；
(3)若bn＝，數列的前n項和為tn，求tn.
2019高三數列專題複習
高三理科數學專題複習 數列的概念 基礎回扣 1 數列的定義 按照一定順序排列的一列數稱為數列，數列中的每乙個數叫做這個數列的項 2 數列的分類 3.數列的表示法 數列有三種表示法，它們分別是 4 數列的通項公式 如果數列的第n項與序號n之間的關係可以用乙個式子來表示，那麼這個公式叫做這個數列的通項公...
2019屆高三數學專題複習教案 數列
一 本章知識結構 二 重點知識回顧 數列的概念及表示方法 定義 按照一定順序排列著的一列數 表示方法 列表法 解析法 通項公式法和遞推公式法 圖象法 分類 按項數有限還是無限分為有窮數列和無窮數列 按項與項之間的大小關係可分為單調數列 擺動數列和常數列 與的關係 2 等差數列和等比數列的比較 定義 ...
2019高三數學數列專題檢測
一 選擇題 1.在等差數列中，若 120，則2 的值為 a 20 b 22 c 24d 28 2.在等比數列中，首項a1 0，則是遞增數列的充要條件是公比q滿足 a q 1b q 1c 03.已知等差數列的公差為2,若成等比數列,則 a 4b 6c 8 d 10 4.等比數列中，則的前4項和為 a ...