4.2 直線、圓的位置關係
1．若直線3x＋4y＋k＝0與圓x2＋y2－6x＋5＝0相切，則k的值等於( )
a．1或－19b．10或－10
c．－1或－19d．－1或19
．解析：圓方程為(x－3)2＋y2＝22，∵圓與直線相切，
∴圓心到切線距離等於半徑．
∴＝2，∴k＝1或－19.
答案：a
2．如果實數x，y滿足等式(x－1)2＋y2＝，那麼的最大值是( )
abcd.
解析：的幾何意義是圓上的點p(x，y)與原點連線的斜率，結合圖形得，斜率的最大值為，
∴max＝.
答案：d
3．方程x(x2＋y2－1)＝0和x2－(x2＋y2－1)2＝0表示的圖形是( )
a．都是兩個點
b．一條直線和乙個圓
c．前者是一條直線和乙個圓，後者是兩個圓
d．前者為兩個點，後者是一條直線和乙個圓
答案：c
4．設a為圓c：(x＋1)2＋y2＝4上的動點，pa是圓c的切線，且|pa|＝1，則點p的軌跡方程是________．
答案：(x＋1)2＋y2＝5
5．下圖所示是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖．這個圓的圓拱跨度ab＝20 m，拱高op＝4 m，建造時每間隔4 m需要用一根支柱支撐，求支柱a2p2的高度(精確到0.01 m)．
解析：建立如下圖所示直角座標系，使圓心在y軸上，只需求出p2的縱座標，就可得出支柱a2p2的高度．
設圓心的座標是(0，b)，圓的半徑是r，那麼圓的方程是x2＋(y－b)2＝r2.
下面確定b和r的值．
因為p，b都在圓上，所以它們的座標(0,4)，(10,0)都滿足方程x2＋(y－b)2＝r2.於是得到方程組解得b＝－10.5，r2＝14.52，
所以，圓的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52.把點p2的橫座標x＝－2代入圓的方程，得
(－2)2＋(y＋10.5)2＝14.52，
即y＋10.5＝(p2的縱座標y＞0，平方根取正值)．所以y≈3.86(m)，
支柱a2p2的高度約為3.86 m.
6．已知x＋y＋1＝0，那麼的最小值是________．
解析：表示點(x，y)與點(－2，－3)之間的距離，又點(x，y)在直線x＋y＋1＝0上，故最小值為點(－2，－3)到直線x＋y＋1＝0的距離，即d＝＝2.
答案：2
7．當曲線y＝1＋與直線y＝k(x－2)＋4有兩個相異交點時，實數k的取值範圍是( )
ab.cd.
解析：曲線y＝1＋表示半圓x2＋(y－1)2＝4(y≥1)，若直線與曲線相切則k＝.結合圖形得直線與半圓有兩個不同交點時， 答案：c
8．若x，y滿足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，則2x＋y的最大值和最小值分別為________和________．x2＋y2的最大值和最小值分別是________和________．
答案：2 －2 ＋2 －2
9．設有半徑為3公里的圓形村落，a，b兩人同時從村落中心出發，a向東而b向北前進，a離開村後不久，改變前進方向，斜著沿切於村落周界的方向前進，後來恰好與b相遇．設a，b兩人的速度都一定，其比為3∶1，問a，b兩人在何處相遇？
解析：如圖所示，
以村落中心為座標原點，以東西方向為x軸建立直角座標系，又設a向東走到d轉向到c恰好與b相遇，設cd方程為＋＝1(a>3，b>3)，設b的速度為v，則a的速度為3v，依題意有
解得所以b向北走3.75公里時相遇．
直線與圓的方程
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直線與圓的綜合應用
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直線和圓的方程
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