（三）推理與證明
章末綜合測評
(時間120分鐘，滿分150分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．下面四個推理不是合情推理的是( )
a．由圓的性質模擬推出球的有關性質
b．由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內角和都是180°，歸納出所有三角形的內角和都是180°
c．某次考試張軍的成績是100分，由此推出全班同學的成績都是100分
d．蛇、海龜、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龜、蜥蜴是爬行動物，所以所有的爬行動物都是用肺呼吸的
【解析】 逐項分析可知，a項屬於模擬推理，b項和d項屬於歸納推理，而c項中各個學生的成績不能模擬，不是合情推理．
【答案】 c
2．用反證法證明命題「若直線ab，cd是異面直線，則直線ac，bd也是異面直線」的過程歸納為以下三個步驟：
①則a，b，c，d四點共面，所以ab，cd共面，這與ab，cd是異面直線矛盾；
②所以假設錯誤，即直線ac，bd也是異面直線；
③假設直線ac，bd是共面直線．
則正確的序號順序為( )
ab．③①②
c．①③② d．②③①
【解析】 結合反證法的證明步驟可知，其正確步驟為③①②.
【答案】 b
3．下列推理是歸納推理的是( )
a．a，b為定點，動點p滿足|pa|＋|pb|＝2a>|ab|，得p的軌跡為橢圓
b．由a1＝1，an＝3n－1，求出s1，s2，s3，猜想出數列的前n項和sn的表示式
c．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜出橢圓＋＝1的面積s＝πab
d．科學家利用魚的沉浮原理製造潛艇
【解析】 由歸納推理的特點知，選b.
【答案】 b
4．用反證法證明「a，b，c中至少有乙個大於0」，下列假設正確的是( )
a．假設a，b，c都小於0
b．假設a，b，c都大於0
c．假設a，b，c中都不大於0
d．假設a，b，c中至多有乙個大於0
【解析】 用反證法證明「a，b，c中至少有乙個大於0」，應先假設要證命題的否定成立．而要證命題的否定為「假設a，b，c中都不大於0」，故選c.
【答案】 c
5．下面給出了四個模擬推理．
①a，b為實數，若a2＋b2＝0則a＝b＝0；模擬推出：z1，z2為複數，若z＋z＝0，則z1＝z2＝0；
②若數列是等差數列，bn＝(a1＋a2＋a3＋…＋an)，則數列也是等差數列；
模擬推出：若數列是各項都為正數的等比數列，dn＝，則數列也是等比數列；
③若a，b，c∈r，則(ab)c＝a(bc)；模擬推出：若a，b，c為三個向量，則(a·b)·c＝a·(b·c)；
④若圓的半徑為a，則圓的面積為πa2；模擬推出：若橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，則橢圓的面積為πab.
上述四個推理中，結論正確的是( )
a．①② b．②③
c．①④ d．②④
【解析】 ①在複數集c中，若z1，z2∈c，z＋z＝0，則可能z1＝1且z2＝i，故錯誤；②在模擬等差數列性質推理等比數列性質時，一般思路有：由加法模擬推理為乘法，由減法模擬推理為除法，由算術平均數模擬推理為幾何平均數等，故正確；③由於向量的數量積運算結合律不成立，錯誤；④若圓的半徑為a，則圓的面積為πa2；模擬推出，若橢圓長半軸長為a，短半軸長為b，則橢圓面積為πab，正確．
【答案】 d
6．將平面向量的數量積運算與實數的乘法運算相模擬，易得下列結論：
①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.
以上通過模擬得到的結論正確的個數為( )
a．1b．2
c．3 d．4
【解析】 平面向量的數量積的運算滿**換律和分配律，不滿足結合律，故①③正確，②錯誤；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，從而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④錯誤．故選b.
【答案】 b
7．(2016·昌平模擬)已知為等比數列，b5＝2，則b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若為等差數列，a5＝2，則的類似結論為( )
a．a1a2a3…a9＝29
b．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29
c．a1a2a3…a9＝2×9
d．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
【解析】 根據等差、等比數列的特徵知，a1＋a2＋…＋a9＝2×9.
【答案】 d
8．(2016·北京高考)袋中裝有偶數個球，其中紅球、黑球各佔一半．甲、乙、丙是三個空盒．每次從袋中任意取出兩個球，將其中乙個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另乙個球放入乙盒，否則就放入丙盒．重複上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則( )
a．乙盒中黑球不多於丙盒中黑球
b．乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多
c．乙盒中紅球不多於丙盒中紅球
d．乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多
【解析】 取兩個球往盒子中放有4種情況：
①紅＋紅，則乙盒中紅球數加1；
②黑＋黑，則丙盒中黑球數加1；
③紅＋黑(紅球放入甲盒中)，則乙盒中黑球數加1；
④黑＋紅(黑球放入甲盒中)，則丙盒中紅球數加1.因為紅球和黑球個數一樣多，所以①和②的情況一樣多，③和④的情況完全隨機．
③和④對b選項中的乙盒中的紅球數與丙盒中的黑球數沒有任何影響．
①和②出現的次數是一樣的，所以對b選項中的乙盒中的紅球數與丙盒中的黑球數的影響次數一樣．
綜上，選b.
【答案】 b
9．在等差數列中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈n＋)成立，模擬上述性質，在等比數列中，若b11＝1，則有( )
a．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b19－n
b．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b21－n
c．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b19－n
d．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b21－n
【解析】 令n＝10時，驗證即知選b.
【答案】 b
10．將石子擺成如圖1的梯形形狀．稱數列5,9,14,20，…為「梯形數」．根據圖形的構成，此數列的第2 016項與5的差，即a2 016－5＝( )
圖1a．2 018×2 014 b．2 018×2 013
c．1 010×2 012 d．1 011×2 013
【解析】 an－5表示第n個梯形有n－1層點，最上面一層為4個，最下面一層為n＋2個．
∴an－5＝，
∴a2 016－5＝
＝2 013×1 011.
【答案】 d
11．在直角座標系xoy中，乙個質點從a(a1，a2)出發沿圖2中路線依次經過b(a3，a4)，c(a5，a6)，d(a7，a8)，…，按此規律一直運動下去，則a2 015＋a2 016＋a2 017＝( )
圖2a．1 006 b．1 007
c．1 008 d．1 009
【解析】 依題意a1＝1，a2＝1；a3＝－1，a4＝2；a5＝2，a6＝3；…，歸納可得a1＋a3＝1－1＝0，a5＋a7＝2－2＝0，…，進而可歸納得a2 015＋a2 017＝0，a2＝1，a4＝2，a6＝3，…，進而可歸納得a2 016＝×2 016＝1 008，a2 015＋a2 016＋a2 017＝1 008.故選c.
【答案】 c
12．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：「是乙或是丙獲獎．」乙說：「甲、丙都未獲獎．」丙說：
「我獲獎了．」丁說：「是乙獲獎了．」四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎歌手是( )
a．甲 b．乙
c．丙 d．丁
【解析】
由上表可知：獲獎歌手是丙．
【答案】 c
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上)
13．已知圓的方程是x2＋y2＝r2，則經過圓上一點m(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2.模擬上述性質，可以得到橢圓＋＝1類似的性質為
【解析】 圓的性質中，經過圓上一點m(x0，y0)的切線方程就是將圓的方程中的乙個x與y分別用m(x0，y0)的橫座標與縱座標替換．故可得橢圓＋＝1類似的性質為：過橢圓＋＝1上一點p(x0，y0)的切線方程為＋＝1.
【答案】 經過橢圓＋＝1上一點p(x0，y0)的切線方程為＋＝1
14．觀察下列等式：
13＝1，
13＋23＝9，
13＋23＋33＝36，
13＋23＋33＋43＝100，
…照此規律，第n個等式可為
【解析】 依題意，注意到13＝2,13＋23＝2＝9,13＋23＋33＝2＝36，…，照此規律，第n個等式可為13＋23＋33＋…＋n3＝2.
【答案】 13＋23＋33＋…＋n3＝2
15．(2016·東莞高二檢測)當n＝1時，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，當n＝2時，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，當n＝3時，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，當n∈n＋時，你能得到的結論是
【解析】 根據題意，由於當n＝1時，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，當n＝2時，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，
當n＝3時，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，
當n∈n＋時，左邊第二個因式可知為an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn，那麼對應的表示式為(a－b)·(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1.
【答案】 (a－b)(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1
16．如圖3，如果乙個凸多面體是n(n∈n＋)稜錐，那麼這個凸多面體的所有頂點所確定的直線共有________條，這些直線共有f(n)對異面直線，則f(4f(n答案用數字或n的解析式表示)
圖3【解析】 所有頂點所確定的直線共有稜數＋底邊數＋對角線數＝n＋n＋＝.從題圖中能看出四稜錐中異面直線的對數為f(4)＝4×2＋×2＝12，所以f(n)＝n(n－2)＋·(n－2)＝.
【答案】 12
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
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高中數學選修2 2第2章《推理與證明》單元測試題
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