第一課時：§3.1.1 空間向量及其加減與數乘運算
教學要求：理解空間向量的概念，掌握其表示方法；會用圖形說明空間向量加法、減法、數乘向量及它們的運算律；能用空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題．
教學重點：空間向量的加減與數乘運算及運算律．
教學難點：由平面向量模擬學習空間向量．
教學過程：
一、複習引入
1、有關平面向量的一些知識：什麼叫做向量？向量是怎樣表示的呢？
既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向線段表示；用字母、等表示；
用有向線段的起點與終點字母：．長度相等且方向相同的向量叫相等向量.
2. 向量的加減以及數乘向量運算：
向量的加法：
向量的減法：
實數與向量的積：
實數λ與向量的積是乙個向量，記作λ，其長度和方向規定如下2)當λ＞0時，λ與同向； 當λ＜0時，λ與反向； 當λ＝0時，λ＝.
3. 向量的運算運算律：加法交換律：＋＝＋
4. 三個力都是200n，相互間夾角為60°，能否提起一塊重500n的鋼板？
二、新課講授
1. 定義：我們把空間中具有大小和方向的量叫做空間向量．向量的大小叫做向量的長度或模.
→ 舉例？ 表示？（用有向線段表示） 記法？ → 零向量？ 單位向量？ 相反向量？
→ 討論：相等向量？ 同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量．
→ 討論：空間任意兩個向量是否共面？
2. 空間向量的加法、減法、數乘向量的定義與平面向量的運算一樣：
=+，（指向被減向量），
λ （請學生說說數乘運算的定義？）
3. 空間向量的加法與數乘向量的運算律．
⑴加法交換律： + = +；
⑵加法結合律
⑶數乘分配律
⑶數乘結合律：λ(u) =(λu) ．
4. 推廣：⑴；
⑵；⑶空間平行四邊形法則．
5. 出示例：已知平行六面體（底面是平行四邊形的四稜柱）（如圖），化簡下列向量表示式，並標出化簡結果的向量：
； 師生共練 → 變式訓練
6. 練習：課本p92 7. 小結：概念、運算、思想（由平面向量模擬學習空間向量）
三、鞏固練習： 作業：p106 a組 1、2題.
第二課時： §3.1.2 空間向量的數乘運算（二）
教學要求：了解共線或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共線向量定理及其推論；掌握空間直線的向量引數方程；會運用上述知識解決立體幾何中有關的簡單問題．
教學重點：空間直線、平面的向量引數方程及線段中點的向量公式．
教學過程：
一、複習引入
1. 回顧平面向量向量知識：平行向量或共線向量？怎樣判定向量與非零向量是否共線？
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由於任何一組平行向量都可以平移到同一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量．
向量與非零向量共線的充要條件是有且只有乙個實數λ，使＝λ.稱平面向量共線定理，
二、新課講授
1.定義：與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．平行於記作//．
2．關於空間共線向量的結論有共線向量定理及其推論：
共線向量定理：空間任意兩個向量、（≠0），//的充要條件是存在實數λ，使＝λ.
理解：⑴上述定理包含兩個方面：①性質定理：
若∥（≠0），則有＝，其中是唯一確定的實數。②判斷定理：若存在唯一實數，使＝（≠0），則有∥（若用此結論判斷、所在直線平行，還需（或）上有一點不在（或）上）.
⑵對於確定的和，＝表示空間與平行或共線，長度為 ||，當》0時與同向，當<0時與反向的所有向量.
3. 推論：如果l為經過已知點a且平行於已知非零向量的直線，那麼對於任意一點o，點p在直線l上的充要條件是存在實數t滿足等式．
其中向量叫做直線l的方向向量.
推論證明如下：
∵ l//a ，∴ 對於l上任意一點p，存在唯一的實數t，使得．(*)
又∵ 對於空間任意一點o，有，
∴ ， ． ①
若在l上取，則有．(**)
又 當時，．③
理解：⑴ 表示式①和②都叫做空間直線的向量引數表示式，③式是線段的中點公式．事實上，表示式(*)和(**)既是表示式①和②的基礎，也是直線引數方程的表達形式．
⑵ 表示式①和②三角形法則得出的，可以據此記憶這兩個公式．
⑶ 推論一般用於解決空間中的三點共線問題的表示或判定．
空間向量共線（平行）的定義、共線向量定理與平面向量完全相同，是平面向量相關知識的推廣．
4. 出示例1：用向量方法證明順次連線空間四邊形四邊中點的四邊形是平行四邊形. （ 分析：如何用向量方法來證明？）
5. 出示例2：如圖o是空間任意一點，c、d是線段ab的三等分點，分別用、表示、.
三、鞏固練習： 作業：
第三課時： §3.1.2 空間向量的數乘運算（三）
教學要求：了解向量與平面平行、共面向量的意義，掌握向量與平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推論；掌握點在已知平面內的充要條件；會用上述知識解決立幾中有關的簡單問題．
教學重點：點在已知平面內的充要條件．
教學難點：對點在已知平面內的充要條件的理解與運用．
教學過程：
一、複習引入
1. 空間向量的有關知識——共線或平行向量的概念、共線向量定理及其推論以及空間直線的向量表示式、中點公式．
2. 必修④《平面向量》，平面向量的乙個重要定理——平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內兩個不共線的向量，那麼對這一平面內的任意乙個向量a，有且只有一對實數λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．
二、新課講授
1. 定義：如果表示空間向量a的有向線段所在直線與已知平面α平行或在平面α內，則稱向量a平行於平面α，記作a//α．
向量與平面平行，向量所在的直線可以在平面內，而直線與平面平行時兩者是沒有公共點的．
2. 定義：平行於同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面內的，但可以平移到同一平面內．
3. 討論：空間中任意三個向量一定是共面向量嗎？請舉例說明．
結論：空間中的任意三個向量不一定是共面向量．例如：對於空間四邊形abcd，、、這三個向量就不是共面向量．
4. 討論：空間三個向量具備怎樣的條件時才是共面向量呢？
5. 得出共面向量定理：如果兩個向量a、b不共線，則向量p與向量a、b共面的充要條件是存在實數對x，y，使得 p= xa+yb ．
證明：必要性：由已知，兩個向量a、b不共線．
∵ 向量p與向量a、b共面
∴ 由平面向量基本定理得：存在一對有序實數對x，y，使得 p= xa+yb．
充分性：如圖，∵ xa，yb分別與a、b共線， ∴ xa，yb都在a、b確定的平面內．
又∵ xa+yb是以｜xa｜、｜yb｜為鄰邊的平行四邊形的一條對角線所表示的向量，並且此平行四邊形在a、b確定的平面內，
∴ p= xa+yb在a、b確定的平面內，即向量p與向量a、b共面．
說明：當p、a、b都是非零向量時，共面向量定理實際上也是p、a、b所在的三條直線共面的充要條件，但用於判定時，還需要證明其中一條直線上有一點在另兩條直線所確定的平面內．
6. 共面向量定理的推論是：空間一點p在平面mab內的充要條件是存在有序實數對x，y，使得，① 或對於空間任意一定點o，有 ．②
分析：⑴推論中的x、y是唯一的一對有序實數； ⑵由得：， ∴③
公式①②③都是p、m、a、b四點共面的充要條件．
7. 例題：課本p95例1 ，解略． → 小結：向量方法證明四點共面
三、鞏固練習
1. 練習：課本p96 練習3題.
2. 作業：課本p96 練習2題.
第四課時： §3.1.3 空間向量的數量積運算
教學要求：掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法；掌握兩個向量數量積的概念、性質和計算方法及運算律；掌握兩個向量數量積的主要用途，會用它解決立體幾何中的一些簡單問題.
教學重點：兩個向量的數量積的計算方法及其應用．
教學難點：向量運算在幾何證明與計算中的應用．
教學過程：
一、複習引入
1.複習平面向量數量積定義：
2. 平面向量中有兩個平面向量的數量積，與其類似，空間兩個向量也有數量積.
二、新課講授
1. 兩個非零向量夾角的概念：已知兩個非零向量a與b，在空間中任取一點o，作＝a，＝b，則∠aob叫做向量a與b的夾角，記作＜a,b＞．
說明：⑴規定：＜a，b＞． 當＜a、b＞＝０時，a與b同向； 當＜a、b＞＝π時，a與b反向；
當＜a、b＞＝時，稱a與b垂直，記a⊥b．
⑵ 兩個向量的夾角唯一確定且＜a,b＞＝＜b,a＞．
⑶ 注意：①在兩向量的夾角定義中，兩向量必須是同起點的．
②＜a,b＞(a,b)
2. 兩個向量的數量積：已知空間兩個向量a與b，|a||b|cos＜a、b＞叫做向量a、b的數量積，記作a·b，即 a·b＝|a||b|cos＜a,b＞.
說明：⑴零向量與任一向量的數量積為0，即0·a＝０；
⑵符號「· 」在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用「×」代替.
幾何意義：已知向量＝a和軸l，e是l上和l同方向的單位向量．作點a在l上的射影a′，點b在l上的射影b′，則叫做向量在軸l上或在e方向上的正射影，簡稱射影．可以證明：＝｜｜cos＜a,e＞＝a·e．說明：
乙個向量在軸上的投影的概念，就是a·e的幾何意義．
3. 空間數量積的性質：根據定義，空間向量的數量積和平面向量的數量積一樣，具有以下性質：
⑴a·e＝｜a｜·cos＜a,e＞； ⑵a⊥ba·b＝０
⑶當a與b同向時，a·b＝｜a｜·｜b｜； 當a與b反向時，a·b＝－｜a｜·｜b｜.
特別地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝.
⑷cos＜a,b＞＝; ⑸｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜.
4. 空間向量數量積的運算律：與平面向量的數量積一樣，空間向量的數量積有如下運算律：
⑴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) (數乘結合律)； ⑵ a·b＝b·a (交換律)；
空間向量及其運算知識總結
1 空間向量的概念 在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量 注 空間的乙個平移就是乙個向量 向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量 空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示 2 空間向量的運算 定義 與平面向量運算一樣，空間向量的加法 減法與數乘向量運算如下 運算律 ...
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向量及其線性運算
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