平面向量的概念及線性運算
一、目標認知
學習目標：
1．了解向量的實際背景.
2．理解平面向量和向量相等的含義.
3．理解向量的幾何表示.
4．掌握向量加、減、數乘運算，並理解其幾何意義.
5．理解兩個向量共線的含義.
6．了解向量的線性運算性質及其幾何意義.
重點： 理解並掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量.
難點： 平行向量、相等向量和共線向量的區別和聯絡.
二、知識要點梳理
知識點一：向量的概念
1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
2．向量的表示方法:
(1)字母表示法:如等.
(2)幾何表示法:用一條有向線段表示向量.如等.
(3)向量的有關概念
向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用來表示向量的有向線段的長度).
零向量:長度為零的向量叫零向量.
單位向量:長度等於1個單位的向量.
相等向量:長度相等且方向相同的向量.
相反向量: 長度相等且方向相反的向量.
共線向量:方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱為平行向量).
規定:與任一向量共線.
要點詮釋：
1．數量與向量的區別：數量只有大小，是乙個代數量，可以進行代數運算、比較大小；
向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.
2．零向量的方向是任意的，注意0與0的含義與書寫區別.
3．平行向量可以在同一直線上，要區別於兩平行線的位置關係；共線向量可以相互平行，要區別於在
同一直線上的線段的位置關係.
知識點二：向量的加(減)法運算
1．運算法則：三角形法則、平行四邊形法則
2．運算律：①交換律：；②結合律：
要點詮釋：
1．兩個向量的和與差仍是乙個向量，可用平行四邊形或三角形法則進行運算，但要注意向量的起點與
終點.2．.**該式中等號成立的條件，可以解決許多相關的問題.
知識點三：數乘向量
1．實數與向量的積：實數與向量的積是乙個向量，記作：
(1)；
(2)①當時，的方向與的方向相同；
②當時.的方向與的方向相反；
③當時，.
2．運算律
設為實數
結合律：；
分配律：，
3．共線向量基本定理
非零向量與向量共線的充要條件是當且僅當有唯一乙個非零實數，使.
要點詮釋：
是判定兩個向量共線的重要依據，其本質是位置關係與數量關係的相互轉化，體現了數形結合的高度統一.
三、規律方法指導
1.向量的線性運算
(1)在正確掌握向量加法減法運算法則的基礎上能結合圖形進行向量的計算，將數和形有機結合，並能
利用向量運算完成簡單的幾何證明；
(2)向量的加法表示兩個向量可以合成，利用它可以解決有關平面幾何中的問題，減法的三角形法則應
記住:連線兩端(兩向量的終點)，指向被減(箭頭指向被減數).記清法則是靈活運用的前提.
2.共線向量與三點共線問題
向量共線的充要條件實質上是由實數與向量的積得到的.通常用來判斷三點在同一條直線上或兩直線平行.該定理主要用於證明點共線、求係數、證直線平行等題型問題.
經典例題透析
型別一：向量的基本概念
1．判斷下列各命題是否正確：
(1)若，則；
(2)若a、b、c、d是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；
(3)若，則
(4)兩向量相等的充要條件是且.
思路點撥：相等向量即為長度相等且方向相同的向量.
解析：(1)不正確，兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同，因此由推不出.
(2)正確，且.又a、b、c、d是不共線的四點，四邊形是
平行四邊形，則且與方向相同.因此.
(3)正確，的長度相等且方向相同；又的長度相等且方向相同，的
長度相等且方向相同.故.
(4)不正確，當但方向相反時，即使，也不能得到，故不是的充要
條件.總結昇華：我們應該清醒的認識到，兩個非零向量相等的充要條件應是長度相等且方向相同，向量相等是可傳遞的.複習向量時，要注意將向量與實數、向量與線段、向量運算與實數運算區別開來.
舉一反三：
【變式1】下列說法正確的個數是( )
①向量，則直線直線
②兩個向量當且僅當它們的起點相同，終點也相同時才相等；
③向量既是有向線段；
④在平行四邊形中，一定有.
a.0個 b.1個 c.2個 d.3個
【答案】c
型別二：向量的線性運算
2．如圖所示，的兩條對角線相交於點，且用表示
思路點撥：利用三角形法則和數乘運算，用向量法討論幾何問題，關鍵是選取適當的基向量表示其他向量，本題的基底就是，由它可以「生」成.
解析：在中
總結昇華：用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量加、減法、數乘向量外，還應充分利用平面幾何的一些定理，因此在求向量時要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發的基本向量或首尾相連的向量，運用向量加、減法運算及數乘運算來求解，既充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關係，運用加法三角形、平行四邊形法則，運用減法三角形法則，充分利用三角形的中位線，相似三角形對應邊成比例的平面幾何的性質，把未知向量轉化為與已知向量有直接關係的向量來求解.
舉一反三：
【變式1】如圖，△中，點是的中點，點在邊上，且，與相交於點，求的值.
【答案】解：(如圖)設
則和分別共線，
∴存在使故 ，而
∴由基本定理得
即型別三：共線向量與三點共線問題
3．設兩非零向量和不共線，
(1)如果求證三點共線.
(2)試確定實數，使和共線.
思路點撥：要證明三點共線，須證存在使即可.而若和共線，則一定存在，使.
解析：(1)證明
共線，又有公共點，
三點共線.
(2)解 ∵ 和共線，
∴存在，使，
則由於和不共線，
只能有則.
總結昇華：本題充分地運用了向量共線的充要條件，即共線存在使(正用與逆用)
舉一反三：
【變式1】設和是兩個不共線的非零向量，若向量，試證明：a、c、d三點共線.
證明：∴又∴∴與共線，
∴a、c、d三點共線.
型別四：綜合應用
4．在中，分別為三邊上的動點，且在時，分別從a，b，c出發，各以一定的速度沿各邊向b，c，a移動，當t=1時，分別到達b，c，a，求證：在的任何一時刻t，的重心為g.
解析：設的重心為g.
由已知點d，e，f在邊ab，bc，ca上的速度分別是
在任意時刻時，有
又為一確定向量. 的重心不變.
總結昇華：熟練地進行向量的線性運算是解決本題的關鍵，另外中設重心為g，則應該熟練記憶並靈活運用.
舉一反三：
【變式1】如圖，已知點分別是三邊的中點，
求證：.
【答案】
證明：鏈結.
因為分別是三邊的中點，
所以四邊形為平行四邊形.
由向量加法的平行四邊形法則，得(1)，
同理在平行四邊形中，(2)，
在平行四邊形在中，(3)
將(1)(2)(3)相加，得
學習成果測評
基礎達標：
1.下面的幾個命題：
①若；②長度不等且方向相反的兩向量不一定是共線向量；
③若滿足且與同向，則；
④由於方向不定，故不能與任何向量平行；
⑤對於任意向量必有.
其中正確命題的序號是：( )
a.①②③ b.⑤ c.③⑤ d.①⑤
2.在正六邊形abcdef中，o為其中心，則
a. b. c. d.
3.如圖所示，d、e、f分別是△abc的邊ab、bc、ca的中點，則=( )
a. b. c. d.
4.若是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是( )
a. b.
c. d.
5.如圖，在平行四邊形abcd中，m、n分別是dc、bc中點，已知，用表示
6.設是兩個不共線向量，則向量與向量共線的充要
條件是7.一條漁船距對岸4km，以2km/h速度向垂直於對岸的方向劃去，到達對岸時，船的實際航程為8km，求河水的流速.
8.如圖，d、e是△abc中ab、ac的中點，m、n分別是de、bc的中點，已知，試用
分別表示.
能力提公升：
1.已知向量，且則一定共線的三點是( )
2.已知則是a、b、c三點構成三角形的( )
a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d既不充分也不必要條件
3.已知向量若與共線，則( )
a. b. c. d.或
4.若則(用表示)
5.已知在△abc中，d、e、f分別是bc、ca、ab的中點，
求證：(1)；(2)； (3).
6.已知△oab中，點c是以a為中心的b的對稱點，d是將分成2：1的乙個內分點，dc與oa交於e，設
.(1)用與表示；
(2)若，求實數的值.
綜合**：
1.下列命題中，真命題的個數為( )
①方向相同 ②方向相反
③有相等的模 ④方向相同
a.0 b.1 c.2 d.3
2.在中，已知是邊上一點，，則( )
a. b. c. d.
3.設是兩個不共線的向量，則向量與向量共線的充要條件
是( )
4.已知正方形abcd邊長為1，，則的模等於( )
a.0 b.3 c. d.
5.兩個非零向量相等是兩個向量相等的條件.
6.如圖所示，已知一點o到平行四邊形abcd的三個頂點a、b、c的向量為，則
7.若非零向量、滿足｜-｜=｜｜，則( )
a.｜2｜＞｜-2｜ b.｜2｜＜｜-2｜
c.｜2｜＞｜2-｜ d.｜2｜＜｜2-｜
4 1平面向量的概念及其線性運算答
第一節平面向量的概念及其線性運算 1 設a0為單位向量，下列命題中 若a為平面內的某個向量，則a a a0 若a與a0平行，則a a a0 若a與a0平行且 a 1，則a a0，假命題的個數是 a 0b 1 c 2 d 3 解析 選d 向量是既有大小又有方向的量，a與 a a0的模相同，但方向不一定...
9 5空間向量及其運算
第一課時 3.1.1 空間向量及其加減與數乘運算 教學要求 理解空間向量的概念，掌握其表示方法 會用圖形說明空間向量加法 減法 數乘向量及它們的運算律 能用空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題 教學重點 空間向量的加減與數乘運算及運算律 教學難點 由平面向量模擬學習空間向量 教學過程...
4 1平面向量的概念及其線性運算 高效訓練
絕密 啟用前 2018 2019學年度?學校5月月考卷 試卷副標題 考試範圍 考試時間 100分鐘 命題人 注意事項 1 答題前填寫好自己的姓名 班級 考號等資訊 2 請將答案正確填寫在答題卡上 第i卷 選擇題 請點選修改第i卷的文字說明 1 已知點a 1,3 b 4,1 則與向量同方向的單位向量為...