根的判別式與韋達定理專題
【課標要求】
一根的判別式及應用(△=b2-4ac)：
一元二次方程的根的判別式為：。
根的判別式的應用：
當時方程有兩個實數根。當時，方程有兩個不相等的實數根；
當時，方程有兩個相等的實數根。
當時方程沒有實數根。
(1)判定一元二次方程根的情況。
(2)確定字母的值或取值範圍。
例1 不解方程，判斷下列方程的根的情況。
例題2.若方程，問：a取何值時方程（1）有兩個不相等的實數根
（2）有2個相等的實數根 （3）沒有實數根？
【例2】求證：無論取何值，方程都有兩個不相等的實根。
分析：列出△的代數式，證其恆大於零。
【例3】當為什麼值時，關於的方程有實根。
分析：題設中的方程未指明是一元二次方程，還是一元一次方程，所以應分＝0和≠0兩種情形討論。
略解：當＝0即時，≠0，方程為一元一次方程，總有實根；當≠0即時，方程有根的條件是：
△＝≥0，解得≥
∴當≥且時，方程有實根。
綜上所述：當≥時，方程有實根。
探索與創新：
【問題一】已知關於的方程有兩個不相等的實數根、，問是否存在實數，使方程的兩實數根互為相反數？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由。
略解： 化簡得
三、試證：關於的方程必有實根。
七、已知＞0，關於的方程有兩個相等的正實根，求的值。
四、已知關於的方程的根的判別式為零，方程的乙個根為1，求、的值。
二韋達定理的應用
根與係數的關係(韋達定理)的應用：韋達定理:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1、x2，則x1+x2=—，x1·x2=。
(1)已知一根求另一根及未知係數；
1 若x1 =是二次方程x2＋ax＋1＝0的乙個根,則a＝ ，該方程的另乙個根x2 =
2 已知x=1是方程x2+bx-2=0的乙個根，則方程的另乙個根是（ ）
3 已知3是關於x的方程x2－5x＋c＝0的乙個根，則這個方程的另乙個根是
4 若x=2是關於x的方程的乙個根，則a 的值為______.
5 已知關於x的方程的乙個根為2,則m=_____,另一根是_______.
6、已知m是方程x2－2x－5＝0的乙個根，則2m2－4m的值是
(2) 求與方程的根有關的代數式的值；
1 關於的方程有兩個不相等的實根、，且有，則的值是
a．1 b．－1 c．1或－1 d． 2
【答案】b
2 若一元二次方程序的兩根為0、2，則
之值為何？
a．2 b．5 c．7 d． 8
【答案】b
3 是方程x2+x-1=0的根，則式子m3+2m2+2009的值為( )
a.2008 b.2009 c.2010 d.2011
答案：c
4．若a為方程(x)2=100的一根，b為方程(y3)2=17的一根，且a、b都是正數，則ab的值為（ ）
a．13 b．7 c． －7 d． 13
答案：b
5設是方程的兩個實數根，則的值為（ ）
a．2006 b．2007 c．2008 d．2009
答案：c
6若關於的一元二次方程的常數項為0，則的值等於（ ）
a、1b、2c、1或2d、0
答案： b
7已知m是方程x2－2x－5＝0的乙個根，則2m2－4m的值是
a、5 b、10 c、－5d、－10
8已知方程x2-5x+2=0的兩個解分別為，，則+ -的值為（ ）
a.-7 b.-3。 c.7 d.3
9已知m、n是方程的兩根，則與的積是答案：2
10方程x2－2x－1=0的兩個實數根分別為x1，x2，則(x1－1)(x2－1
已知是方程的兩根，且，則a的值等於
答案：－4
(3)已知兩根求作方程；
1求作乙個一元二次方程使它的根分別是原方程各根的倒數，則這個一元二次方程是（ ）
a．x2+3x+1=0; b．x2+3x-1=0
c．x2-3x+1=0 d．x2-3x-1=0
答案：c
(4)已知兩數的和與積，求這兩個數；
(5)確定根的符號:(x1，x2是方程兩根)。
（3）、應用韋達定理時，要確保一元二次方程有根，即一定要判斷根的判別式是否非負;求作一元二次方程時，一般把求作方程的二次項係數設為1，即以x1、x2為根的一元二次方程為x2-(x1+x2)x+x1x2=0;求字母係數的值時，需使二次項係數a≠0，同時滿足△≥0;求代數式的值，常用整體思想，把所求代數式變形成為含有兩根之和x1+x2，兩根之積x1x2的代數式的形式，整體代入。
1下列四個結論中，正確的是
a.方程x＋=－2有兩個不相等的實數根
b.方程x＋=1有兩個不相等的實數根
c.方程x＋=2有兩個不相等的實數根
d.方程x＋=a（其中a為常數，且|a|>2）有兩個不相等的實數根
【答案】d
2 ①若b=2a+c,則一元二次方程a+bx+c=o必有一根為-2；
②若ac<0, 則方程 c+bx+a=o有兩個不等實數根；
③若-4ac=0, 則方程 c+bx+a=o有兩個相等實數根；
其中正確的個數是（ ）
a．o個 個 c.2個 d．3 個答案】c
3 對於一元二次方程ax2+bx+c=o(a≠0)，下列說法：
①若+ =-1，則方程ax2+bx+c=o 一定有一根是x=1;
②若c=a3，b=2a2，則方程ax2+bx+c=o有兩個相等的實數根；
③若a<0，b<0，c>0，則方程cx2+bx+a=0必有實數根；
④若ab-bc=0且<-l，則方程cx2+bx+a=0的兩實數根一定互為相反數．．
其中正確的結論是( )
a．①②③④ b．①②④ c．①③ d．②④
答案：a
4 對於一元二次方程ax2+bx+c=o(a≠0)，下列說法：
①若a+c=0，方程ax2+bx+c=o必有實數根；
②若b2+4ac<0，則方程ax2+bx+c=o一定有實數根；
③若a-b+c=0，則方程ax2+bx+c=o一定有兩個不等實數根；
④若方程ax2+bx+c=o有兩個實數根，則方程cx2+bx+a=0一定有兩個實數根．
其中正確的是( )
a．①② b．①③ c．②③ d．①③④
答案：a
5 已知關於x的方程x 2＋bx＋a＝0有乙個根是－a(a≠0)，則a－b的值為
ab．0
c．1d．2
【答案】a
6 已知關於x的一元二次方程(a－1)x2－2x+1=0有兩個不相等的實數根,則a的取值範圍是( )
<2b,a><2且a≠<－2·
【答案】c·
7如果關於x的方程 kx2 －2x －1=0有兩個實數根，那麼k的取值範圍是 （ ）
a． b． cd．
答案：a
8 若關於的一元二次方程的乙個根為1，則的值為 ( )
a．－1bc．1d．或
答案：b
9 關於x的方程(a －5)－4x－1＝0有實數根，則a滿足（ ）
a．a≥1 b．a＞1且a≠5 c．a≥1且a≠5 d．a≠5
答案：a
10 下列哪乙個數與方程的根最接近（ ）
a、2b、3c、4d、5
【答案】b
11 關於x的方程(3－a)x2－2x＋1＝0有實數根，則a滿足
且a≠3 且a≠3
答案b12
已知關於x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則m的取值範圍是（ ）
ab.c. 且d. 且
答案： c
13 若關於的一元二次方程的常數項為0，則的值等於（ ）
a、1b、2c、1或2d、0
答案： b
14 設關於x的方程的兩根x1、x2滿足，則k的值是
答案：－1
15 ，則
答案：1
16 已知關於x的方程x2－2（k－1）x+k2=0有兩個實數根x1，x2.
（1）求k的取值範圍；（4分）
（2）若，求k的值. （6分）
【答案】解：（1）依題意，得即，解得.
（2）解法一：依題意，得.
以下分兩種情況討論：
①當時，則有，即解得∵
∴不合題意，捨去
②時，則有，即
解得∵，∴
綜合①、②可知k=﹣3.
解法二：依題意可知.
由（1）可知
∴，即∴
解得∵，∴
2、（重慶一中初2011級10—11學年度下期3月月考）已知x是一元二次方程的實數根，求代數式：的值．
3、（2023年北京四中三模）
已知，△abc的兩邊ab、ac的長是關於x的一元二次方程x2 - (2k+3)x+k2+3k+2=0的兩實根，第三邊bc的長為5。
韋達定理及應用
一 知識要點 1 若一元二次方程中，兩根為，則，補充公式 2 以，為兩根的方程為 3 用韋達定理分解因式 二 例題 1 不解方程說出下列方程的兩根和與兩根差 1 2 3 2 已知關於的方程，是否存在負數，使方程的兩個實數根的倒數和等於4？若存在，求出滿足條件的的值 若不存在，說明理由。3 已知方程，...
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韋達定理定理的應用
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