一、 知識要點
1、若一元二次方程中，兩根為，。則，
，；補充公式
2、以，為兩根的方程為
3、用韋達定理分解因式
二、 例題
1、 不解方程說出下列方程的兩根和與兩根差：
（1） （2） （3）
2、 已知關於的方程，是否存在負數，使方程的兩個實數根的倒數和等於4？若存在，求出滿足條件的的值；若不存在，說明理由。
3、 已知方程，作乙個新的一元二次方程，使它的根分別是已知方程各根的平方的倒數。
4、 解方程組
5、 分解因式：
（12）
三、 練習
1、 在關於的方程中，（1）當兩根互為相反數時的值；（2）當一根為零時的值；（3）當兩根互為倒數時的值
2、 求出以一元二次方程的兩根的和與兩根的積為根的一元二次方程。
3、 解方程組
4、 分解因式
（12）
四、 聰明題
1、 已知一元二次方程的兩個實數根滿足，，，分別是的，，的對邊。（1）證明方程的兩個根都是正根；（2）若，求的度數。
2、在中，，斜邊ab=10，直角邊ac，bc的長是關於的方程的兩個實數根，求的值。
韋達定理的應用：
1.已知方程的乙個根，求另乙個根和未知係數
2.求與已知方程的兩個根有關的代數式的值
3.已知方程兩根滿足某種關係，確定方程中
字母係數的值
4.已知兩數的和與積，求這兩個數
5.已知方程的兩根x1，x2 ，求作乙個新的一元二次
方程x2 –(x1+x2) x+ x1x2 =0
6.利用求根公式在實數範圍內分解因式ax2+bx+c
= a(x- x1)(x- x2)
題1：（1）若關於x的一元二次方程2x2+5x+k=0
的一根是另一根的4倍，則k
（2）已知：a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0
的兩個根，求：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
解法一：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
1+2000a+a2 +6a)（1+2000b+b2 +5b)
= 6a5b=30ab
解法二：由題意知
∵ a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0
∴ a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b
∴ （1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
=（2006a - 2000a)（2005b - 2000b)
=6a5b=30ab
∵ab=1， a+b=-200
∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
ab +2006a+a2)（ ab +2005b+b2)
=a(b +2006+a) b( a +2005+b)
=a(2006-2000) b(2005-2000) =30ab
解法三：由題意知
∵ a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0
∴ a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b
∴ （1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
=（2006a - 2000a)（2005b - 2000b)
=6a5b=30ab
題2：已知:等腰三角形的兩條邊a,b是方程
x2-（k+2）x+2 k =0的兩個實數根,另
一條邊c=1，
求:k的值。
**韋達定理在解題中的應用
韋達定理是反映一元二次方程根與係數關係的重要定理．縱觀近年各省、市的中考(競賽)試題可以發現，關於涉及此定理的題目屢見不鮮，且條件隱蔽．在證(解)題時，學生往往因未看出題目中所隱含的韋達定理的條件而導致思路閉塞，或解法呆板，過程繁瑣冗長．下面舉例談談韋達定理在解題中的應用，供大家參考．
一、直接應用韋達定理
若已知條件或待證結論中含有a＋b和a·b形式的式子，可考慮直接應用韋達定理．
例1 在△abc中，a、b、c分別是∠a、∠b、∠c的對邊，d是ab邊上一點，且bc＝dc，設ad＝d．
求證：(1)c＋d＝2bcosa；
(2)c·d＝b2－a2．
分析：觀察所要證明的結論，自然可聯想到韋達定理，從而構造一元二次方程進行證明．
證明：如圖，在△abc和△adc中，由餘弦定理，有
a2＝b2＋c2－2bccosa；
a2＝b2＋d2－2bdcosa(cd＝bc＝a)．
∴ c2－2bccosa＋b2－a2＝0，
d2－2bdcosa＋b2－a2＝0．
於是，c、d是方程x2－2bxcosa＋b2－a2＝0的兩個根．
由韋達定理，有
c＋d＝2bcosa，c·d＝b2－a2．
例2 已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．
分析：顯然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．於是a和b可視為該一元二次方程的兩個根．再觀察待求式的結構，容易想到直接應用韋達定理求解．
解：由已知可構造乙個一元二次方程x2＋x－1=0，其二根為a、b．
由韋達定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．
故ab＋a＋b＝－2．
二、先恒等變形，再應用韋達定理
若已知條件或待證結論，經過恒等變形或換元等方法，構造出形如a＋b、a·b形式的式子，則可考慮應用韋達定理．
例3 若實數x、y、z滿足x＝6－y，z2＝xy－9．求證：x＝y．
證明：將已知二式變形為x＋y＝6，xy＝z2＋9．
由韋達定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的兩個根．
∵ x、y是實數，∴△＝36－4z2－36≥0．
則z2≤0，又∵z為實數，
∴z2＝0，即△＝0．
於是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．
由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的兩個根，由韋達定理
三、已知一元二次方程兩根的關係(或係數關係)求係數關係(或求兩根的關係)，可考慮用韋達定理
例5 已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比為1∶2，方程的判別式的值為1．求p與q之值，解此方程．
解：設x2＋px＋q＝0的兩根為a、2a，則由韋達定理，有
a＋2a＝－p， ①
a·2a＝q， ②
p2－4q＝1． ③
把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，於是a=±1．
∴ 方程為x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．
解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．
例6 設方程x2＋px＋q＝0的兩根之差等於方程x2＋qx＋p＝0的兩根之差，求證：p＝q或p＋q＝－4．
證明：設方程x2＋px＋q＝0的兩根為α、β，x2＋qx＋p＝0的兩根為α＇、β＇．
由題意知
故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．
從而有(α＋β)2－42－4α＇β＇．①
把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．
故p－q＝0或p＋q＋4＝0，
即p＝q或p＋q＝－4．
四、關於兩個一元二次方程有公共根的題目，可考慮用韋達定理
例7 m為問值時，方程x2＋mx－3＝0與方程x2－4x－(m－1)＝0有乙個公共根？並求出這個公共根．
解：設公共根為α，易知，原方程x2+mx－3＝0的兩根為α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的兩根為α、4－α．
由韋達定理，得α(m＋α)＝3， ①
α(4－α)＝－(m－1)． ②
由②得m＝1－4α＋α2， ③
把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，
即(α－3)(α2＋1)＝0．
∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．
把α＝3代入③，得m＝－2．
故當m＝－2時，兩個已知方程有乙個公共根，這個公共根為3．
韋達定理及其應用
一 知識要點 1 若一元二次方程中，兩根為，則，補充公式 2 以，為兩根的方程為 3 用韋達定理分解因式 二 例題 1 不解方程說出下列方程的兩根和與兩根差 1 2 3 2 已知關於的方程 是否存在負數，使方程的兩個實數根的倒數和等於4？若存在，求出滿足條件的的值 若不存在，說明理由。3 已知方程，...
韋達定理定理的應用
經典例題講解 已知，求 1 2 3 4 5 練習 1.不解方程說出下列方程的兩根和與兩根差 1 2 3 2.已知關於的方程，是否存在負數，使方程的兩個實數根的倒數和等於4？若存在，求出滿足條件的的值 若不存在，說明理由。3.已知方程，作乙個新的一元二次方程，使它的根分別是已知方程各根的平方的倒數。4...
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