模組三：行程問題
簡單地將行程問題分類：
1 直線上的相遇、追及問題（含多次往返型別的相遇、追及）
2 火車過人、過橋和錯車問題
3 多個物件間的行程問題
4 環形問題與時鐘問題
5 流水行船問題
一些習慣性的解題方法：
1利用設數法、設份數處理
2 利用速度變化情況進行分段處理
3 利用和差倍分以及比例關係，將形程過程進行對比分拆
4 利用方程法求解
一.直線上的相遇與追及
直線上的相遇與追及是行程問題中最基本的兩類問題，這兩類問題的解決可以說是絕大多數行程問題解決的基礎~
例題1：甲、乙兩輛汽車同時從東西兩地相向開出，甲每小時行56千公尺，乙每小時行48千公尺，兩車在離兩地中點32千公尺處相遇。問：東西兩地間的距離是多少千公尺？
思路解析1：比例法：三個要點：
1、時間相等，速率比=距離比。v甲：v乙＝56：
48=7：6,相同時間內，甲走七份乙走六份2、兩車第一次劈面相遇時合走乙個全程。全程13份3、在距中點32公里處相遇，即相遇時，甲比乙多走32×2=64公里。
多走乙份=64,全程為13×64=832公尺
思路解析2：兩車相遇時，甲比乙多走32×2=64公里。把相遇題目轉化成追及題目。
每小時甲比乙多走56－48=8公里。距離差÷速率差=追擊時候。64÷8=8小時。
即相遇時候為八小時。以是相遇時候×速率和=距離和（56＋48）×8＝832公里
例題2：甲乙二人練習跑步，若甲讓乙先跑10公尺，則甲跑5秒鐘可追上乙；若甲讓乙先跑2秒鐘，則甲跑4秒鐘就能追上乙.問：甲、乙二人的速度各是多少？
思路解析：第一次：速度差10÷5=2（公尺/秒）；第二次：路程差2×4=8（公尺）;乙速度：8÷2=4（公尺/秒）；甲速度：4+2=6（公尺/秒）
二. 火車過人、過橋與錯車問題
在火車問題中，速度和時間並沒有什麼需要特殊處理的地方，特殊的地方是路程。因為此時的路程不僅與火車前進的距離有關，還與火車長、隧道長、橋長這些物體長度相關。就拿火車過橋來說，如果題目考察的是火車過橋的整個過程，那麼就應該從"車頭上橋"開始到"車尾下橋"結束，對應的路程就等於"車長橋長"；如果題目考察的是火車停留在橋上的過程，那就應該從"車尾上橋"到"車頭下橋"結束。
對應的路程就應該是"火車車長橋長".
知識點撥：
火車過橋問題常用方法
⑴ 火車過橋時間是指從車頭上橋起到車尾離橋所用的時間，因此火車的路程是橋長與車身長度之和.
⑵ 火車與人錯身時，忽略人本身的長度，兩者路程和為火車本身長度；火車與火車錯身時，兩者路程和則為兩車身長度之和.
⑶ 火車與火車上的人錯身時，只要認為人具備所在火車的速度，而忽略本身的長度，那麼他所看到的錯車的相應路程仍只是對面火車的長度.
對於火車過橋、火車和人相遇、火車追及人、以及火車和火車之間的相遇、追及等等這幾種型別的題目，在分析題目的時候一定得結合著圖來進行.
例題1：從一列火車頭到達橋頭算起，用5秒鐘時間全部駛上一座大鐵橋，26秒後全部駛離鐵橋，已知大橋全長525公尺，求火車過橋時的速度和火車的長度。
例題2：小李在鐵路旁邊沿鐵路方向的公路上散步，他散步的速度是1.5 公尺/秒，這時迎面開來一列火車，從車頭到車尾經過他身旁共用了 20秒．已知火車全長 390公尺，求火車的速度．
例題3：同方向行駛的火車，快車每秒行30公尺，慢車每秒行22公尺。如果從輛車頭對齊開始算，則行24秒後快車超過慢車，如果從輛車尾對齊開始算，則行28秒後快車超過慢車。
快車長多少公尺，滿車長多少公尺？
思路解析：快車每秒行30公尺，慢車每秒行22公尺。如果從輛車頭對齊開始算，則行24秒後快車超過慢車，每秒快8公尺，24秒快出來的就是快車的車長192m，如果從輛車尾對齊開始算，則行28秒後快車超過慢車那麼看來這個慢車比快車車長，長多少呢？
長得就是快車這4秒內比慢車多跑的路程啊 4×8＝32，所以慢車224．
例題4：兩列火車相向而行，甲車每小時行36千公尺，乙車每小時行54千公尺.兩車錯車時，甲車上一乘客發現：
從乙車車頭經過他的車窗時開始到乙車車尾經過他的車窗共用了14秒，求乙車的車長.
思路解析：首先應統一單位：甲車的速度是每秒鐘360003600＝10（公尺），乙車的速度是每秒鐘54000÷3600＝15（公尺）.
此題中甲車上的乘客實際上是以甲車的速度在和乙車相遇。更具體的說是和乙車的車尾相遇。路程和就是乙車的車長。
這樣理解後其實就是乙個簡單的相遇問題。（10＋15）×14＝350（公尺），所以乙車的車長為350公尺.
三. 多個物件間的行程問題
雖然這類問題涉及的物件至少有三個，但在實際分析時不會同時分析
三、四個物件，而是把這些物件兩兩進行對比。因此，求解這類行程問題的關鍵，就在於能否將某兩個物件之間的關係，轉化為與其它物件有關的結論。
例題1. 有甲、乙、丙3人，甲每分鐘走100公尺，乙每分鐘走80公尺，丙每分鐘走75公尺。現在甲從東村，乙、丙兩人從西村同時出發相向而行，在途中甲與乙相遇6分鐘後，甲又與丙相遇。
那麼，東、西兩村之間的距離是多少公尺？
思路解析：本題最關鍵的一段路程，就是甲、乙相遇之後6分鐘內，甲、乙兩人的路程和。這段路程既是甲、乙的路程和，又是乙、丙的路程差。只要明白了這一路程的雙重身份，就能很快求出此題。
例題2：某人沿著電車道旁的便道以每小時千公尺的速度步行，每分鐘有一輛電車迎面開過，每12分鐘有一輛電車從後面追過，如果電車按相等的時間間隔以同一速度不停地往返執行．問：電車的速度是多少？
電車之間的時間間隔是多少？
思路解析：設電車的速度為每分鐘公尺．人的速度為每小時千公尺，相當於每分鐘75公尺．根據題意可列方程如下：，解得，即電車的速度為每分鐘300公尺，相當於每小時18千公尺．相同方向的兩輛電車之間的距離為：
(公尺)，所以電車之間的時間間隔為： (分鐘)
4. 環形問題與時鐘問題
環形問題與其它行程問題相比，最大的特點就在於"週期性"與"對稱性".這是由環形跑道本身的特點決定的。大家再分析環形問題時，一定要留意"週期性"與"對稱性"在題目中的體現。
例題1：有一座時鐘現在顯示10時整．那麼，經過多少分鐘，分針與時針第一次重合；再經過多少分鐘，分針與時針第二次重合?
思路解析：
在lo點時，時針所在位置為刻度10，分針所在位置為刻度12；當兩針重合時，分針必須追上50個小刻度，設分針速度為「l」，有時針速度為「」，於是需要時間：．
所以，再過分鐘，時針與分針將第一次重合．第二次重合時顯然為12點整，所以再經過分鐘，時針與分針第二次重合．
標準的時鐘，每隔分鐘，時針與分針重合一次． 我們來熟悉一下常見鐘錶(機械)的構成：一般時鐘的表盤大刻度有12個，即為小時數；小刻度有60個，即為分鐘數．
所以時針一圈需要12小時，分針一圈需要60分鐘(1小時)，時針的速度為分針速度的．如果設分針的速度為單位「l」，那麼時針的速度為「」．
例題2：幸福村小學有一條200公尺長的環形跑道，冬冬和晶晶同時從起跑線起跑，冬冬每秒鐘跑6公尺，晶晶每秒鐘跑4公尺，問冬冬第一次追上晶晶時兩人各跑了多少公尺，第2次追上晶晶時兩人各跑了多少圈？
思路解析：①首次路程差=周長=200公尺；首次時間200÷（6-4）=100（秒）；
冬6×100=400（公尺）；晶4×100=400（公尺）
②冬（600×2）÷200=6（圈）；晶（400×2）÷200=4（圈）
例題3： 甲、乙二人騎自行車從環形公路上同一地點同時出發，背向而行。現在已知甲走一圈的時間是70分鐘，如果在出發後45分鐘甲、乙二人相遇，那麼乙走一圈的時間是多少分鐘？
思路解析：本題從頭到尾都只有時間：給的條件是時間，問的問題也是時間。
像這種只給時間、求時間的問題，通常的做法就是——設數。把路程或速度這兩個未知量中的某乙個量隨便設個數，然後再進行求解。本題就可以設環形公路的全程為6300公尺，接著便可求甲、乙兩人的速度了。
5. 流水行船問題
流水行船問題與其它行程問題相比，特殊的地方在於速度。由於有水流的因素，船的速度有順流、逆流的區別，因此在流水行船問題中，船的速度有三種：逆水速度、靜水速度、順水速度。
在分析流水行船問題時，一定要把水流的因素考慮到位，很多題目分析的關鍵本身就在水流上！
知識點撥：
1.流水行船問題中常用公式：
v順水速度=v靜水速度+v水流速度
v逆水速度=v靜水速度+ v水流速度
v水流速度= （v順水速度- v逆水速度）÷2
2.流水行船問題中的相遇與追及
①兩隻船在河流中相遇問題，當甲、乙兩船（甲在上游、乙在下游）在江河裡相向開出：
甲船順水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速
②同樣道理，如果兩隻船，同向運動，乙隻船追上另乙隻船所用的時間，與水速無關.
甲船順水速度-乙船順水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速
也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.
說明：兩船在水中的相遇與追及問題同靜水中的及兩車在陸地上的相遇與追及問題一樣，與水速沒有關係.
例題1：甲、乙兩港間的水路長208千公尺，乙隻船從甲港開往乙港，順水8小時到達，從乙港返回甲港，逆水13小時到達，求船在靜水中的速度和水流速度。
思路解析：順水速度：208÷8=26（千公尺/小時）；逆水速度：
208÷13=16（千公尺/小時）；解和差問題：船速：（26+16）÷2=21（千公尺/小時）；水速：
（26—16）÷2=5（千公尺/小時）
例題2：一艘輪船順流航行 120 千公尺，逆流航行 80 千公尺共用 16 時；順流航行 60 千公尺，逆流航行 120 千公尺也用 16 時。求水流的速度。
思路解析：兩次航行都用 16 時，而第一次比第二次順流多行 60 千公尺，逆流少行 40 千公尺，這表明順流行60 千公尺與逆流行 40 千公尺所用的時間相等，即順流速度是逆流速度的 1.5 倍。
將第一次航行看成是 16 時順流航行了 120＋80×1.5＝240（千公尺），由此得到順流速度為 240÷16＝15（千公尺／時），逆流速度為15÷1.5=10（千公尺／時），最後求出水流速度為（15－10）÷2＝2.
5（千公尺／時）。
例題3：小剛和小強租一條小船，向上游劃去，不慎把水壺掉進江中，當他們發現並調過船頭時，水壺與船已經相距2千公尺，假定小船的速度是每小時4千公尺，水流速度是每小時2千公尺，那麼他們追上水壺需要多少時間？
思路解析：2÷4=0.5（小時）
例題4：甲、乙兩船在靜水中速度分別為每小時24千公尺和每小時32千公尺，兩船從某河相距336千公尺的兩港同時出發相向而行，幾小時相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在後，幾小時後乙船追上甲船？
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