數軸思維拓展專題
2009.09.26
在解決比較數的大小、絕對值、相反數、距離等問題時常會用到數軸這一工具。要靈活地運用這個工具，必須理解其三要素，即原點、正方向、單位長度（三者缺一不可）。
首先要會畫出數軸，能夠讀出數軸上的點的數，能夠在數軸上表示各數的點。
例1 在數軸上畫出表示下列各數的點：
解：如圖所示：
注：畫數軸一定要有正方向、原點和單位長度，並在數軸的刻度下面標上相應的數字。把題目中要表示的數字標在相應刻度的上面，如上圖所示。
其次，在數軸上，互為相反數的兩點到原點的距離相等。反過來，兩點到原點的距離相等的的數互為相反數。
第三，要學會通過數軸比較數的大小。如圖：
由圖可知：
1、a<0, b<0, c>0.（數軸左邊的數小於0，數軸右邊的數大於0）
2、|a|>|c|>|b|.（絕對值是點到原點的距離）
3、a a<-c 4、a-b<0, b-c<0, a-c<0（小-大<0）
b-a>0, c-b>0, c-a>0（大-小》0）
5、a+b<0, a+c<0, b+c>0.（同號相加去相同的符號；異號相加取絕對值大的符號，並用絕對值大的減去絕對值小的）
6、|a|=-a, |b|=-b, |c|=c.
|a-b|=b-a, |b-c|=c-b, |a-c|=c-a.
|b-a|=b-a, |c-b|=c-b, |c-a|=c-a.
（正數的絕對值等於它本身，負數的絕對值等於它的相反數）
注：「假設a=-3,b=-1,c=2」這種做法是錯誤的。
7、(a+b)(b+c)<0, (a-b)(b-c)>0, (a+c)(b-c)>0.
（先判斷括號內的符號，再根據同號得正、異號得符判斷最後的符號）
（當有多個括號時如(a+b)(b-c)(a-c)時，先判斷括號內的符號，再根據「奇數個符合得負，偶數個符合得正」判斷最後的符號）
例2 數a、b、c在數軸上對應點如圖所示，化簡|c-a|-|a+c|+|a-c|-|c-b|.
解：由圖可知：
c-a<0, a+c<0, a-c>0, c-b<0.
所以|c-a|=-(c-a)=a-c,
|a+c|=-(a+c)=-a-c,
|a-c|=a-c,
|c-b|=-(c-b)=b-c.
所以原式=(a-c)-(-a-c)+(a-c)-(b-c)
a-c+a+c+a-c-b+c
3a-b.
例3 有理數a,b在數軸上位置如下圖所示，則.
分析：這是乙個填空題，不是解答題，所以可以用簡便的方法。
令,則，；
易知：,
所以，.
注：此方法僅適用於選擇題和填空題，解答題不適用。
例4 已知-1 分析：令,則，，顯然，
則.注：此方法僅適用於選擇題和填空題，解答題不適用。
例5 如圖數a、b、c在數軸上對應點如圖所示，
化簡 解：因為，所以.
則原式=.
因為，所以.
則原式=.
因為a-b<0,a+c<0,b+c>0,所以.
則原式=
0. 其中，只要能夠熟練得判斷有理數的符號（正數、0、負數）,能夠掌握好有理數的絕對值以及有理數的加減法和乘除法，能清晰的分辨正數和負數、加號和減號的區別並認真、仔細地去解決問題，真正理解其本質含義，則這型別問題可以迎刃而解。
第一章分類思維
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